第12讲 不等式大小关系及不等式的解法（解析版）

第12讲不等式大小关系及不等式的解法【知识点总结】一、基本概念不等关系与等量关系一样，也是自然界中存在的基本数量关系，他们在现实世界和日常生活中大量存在.不等关系建立在表示数量的代数式之间，可以是常量、变量及稍复杂的代数式.用不等号（如“”，“”，“”，“”，“”等）连接的式子叫做不等式，其中“”或“”连接的不等式叫做严格不等式；用“”或“”连接的不等式叫做非严格的不等式.不等式可分为绝对值不等式（不论用什么实数代替不等式中的字母，不等式都成立）、条件不等式（只能用某些范围内的实数代替不等式中的字母，不等式才能够成立）和矛盾不等式（不论用什么样的实数代替不等式中的字母，不等式都不能成立）.二、基本性质不等式的性质是证明和解不等式的主要依据.运用时，对每一条性质要弄清条件和结论，注意条件加强和放宽厚条件和结论之间的变化；不仅要记住不等式运算法则的结论形式，还要掌握法则成立的条件，避免由于忽略某些限制条件而造成解题失误.1.两个不等式的同向合成，一律为“”（充分不必要条件）（1）,abbcac（传递性，注意找中间量）（2）,abcdacbd（同向可加性）（3）0,00abcdacbd（同正可乘性，注意条件为正）2.一个不等式的等价变形，一律为“”（充要条件），这是不等式解法的理论依据（1）0;0;0abababababab.（2）abba（对称性）（3）,0(0)abcacbcc（乘正保号性）（4）,0(0)abcacbcc（5）,abcRacbc（不等量加等量）（6）*0,0nnabnNab（乘方保号性，注意条件为正）（7）*0,0nnabnNab（开方保号性，注意条件为正）（8）11,0ababab（同号可倒性）；110,ababab.三、一元一次不等式（axb）（1）若0a，解集为|bxxa.（2）若0a，解集为|bxxa（3）若0a，当0b时，解集为；当0b时，解集为R四、一元一次不等式组（）（1）xx，解集为|xx.（2）xx，解集为|xx（3）xx，解集为|xx（4）xx，解集为五、一元二次不等式一元二次不等式20(0)axbxca，其中24bac，12,xx是方程20(0)axbxca的两个根，且12xx（1）当0a时，二次函数图象开口向上.（2）①若0，解集为21|xxxxx或.②若0，解集为|2bxxRxa且.③若0，解集为R.(2)当0a时，二次函数图象开口向下.①若0，解集为12|xxxx②若0，解集为六、简单的一元高次不等式的解法简单的一元高次不等式常用“穿根法”求解，其具体步骤如下.例如，解一元高次不等式()0fx（1）将()fx最高次项系数化为正数（2）将()fx分解为若干个一次因式或二次不可分因式（0）（3）将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线（注意重根情况，偶次方根切而不过，奇次方根既穿又过，简称“奇穿偶不穿”）.（4）根据曲线显现出的()fx的值的符号变化规律写出不等式的解集.七、分式不等式（1）()0()()0()fxfxgxgx（2）()0()()0()fxfxgxgx（3）()()0()0()0()fxgxfxgxgx（4）()()0()0()0()fxgxfxgxgx八、绝对值不等式（1）22()()[()][()]fxgxfxgx（2）()()(()0)()()()()fxgxgxfxgxfxgx或；()()(()0)()()()fxgxgxgxfxgx；（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解【典型例题】例1．（2021·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高三期中（文））下列说法正确的有（）A．若ab，则22acbcB．若22abcc，则abC．若ab，则1122abD．若ab，则22ab【答案】B【详解】A：若ab，则22acbc（20c），故A错误；B：若22abcc，则20c，所以ab，所以B正确；C：若ab，则1122ab，所以C错误；D：若0ab，则22ab，故D错误.故选：B.例2．（2022·全国·高三专题练习）下列四个命题中，为真命题的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣dC．若a＞|b|，则a2＞b2D．若a＞b，则11ab【答案】C【详解】当c＝0时，A不成立；21，3－1，而2－31－(－1)，故B不成立；a＝2，b＝1时，112，D不成立；由a|b|知a0，所以a2b2，C正确．故选：C．例3．（2022·全国·高三专题练习）实数a，b，c满足221aacb且210ab，则下列关系成立的是（）A．bacB．cabC．bcaD．cba【答案】D【详解】由221aacb可得2(1)0acb，利用完全平方可得由210ab可得211ab，所以cb，22131()024babbb，ba，综上cba，故选：D例4．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x的不等式220axbx的解集是1xx或2x，则ab的值是___________.【答案】0【详解】由题意，得：0a，且1，2是方程220axbx的两根，则121ba，22a，解得1a，1b，则0ab.故答案为：0.例5．（2022·全国·高三专题练习）已知22:24pxaxa，2:log13qx.若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是______.【答案】1,5【详解】由2224xaxa，得220xaxa，得22axa，所以:22pxaxa，由2log13x，得018x，得17x，所以:17qxx，因为p是q的充分不必要条件，所以集合22xaxa是集合17xx的真子集，所以2721aa，即15a．故答案为：1,5．【点睛】关键点点睛：本题的解答关键是将p是q的充分不必要条件转化为集合22xaxa是17xx的真子集.例6．（2022·全国·高三专题练习）若关于x的不等式2210axx有实数解，则a的取值范围是_____．【答案】,1【详解】当0a时，不等式为210x有实数解，所以0a符合题意；当0a时，不等式对应的二次函数开口向下，所以不等式2210axx有实数解，符合题意；当0a时，要使不等式2210axx有实数解，则需满足440a，可得1a，所以01a，综上所述：a的取值范围是,1，故答案为：,1.例7．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x的不等式210mxmx恒成立，则m的取值范围为_______【答案】0,4【详解】当0m时，不等式10恒成立，所以0m符合题意；当0m时，若关于x的不等式210mxmx恒成立，则2040mmm，解得：04m，综上所述m的取值范围为：0,4，故答案为：0,4.【技能提升训练】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）若a，b，c∈R，ab，则下列不等式恒成立的是（）A．1a1bB．a2b2C．21ac21bcD．a|c|b|c|【答案】C【分析】举特例即可判断选项A，B，D，利用不等式的性质判断C即可作答.【详解】当a=1，b=-2时，满足ab，但11ab，a2b2，排除A，B；因211c0，ab，由不等式性质得2211abcc，C正确；当c=0时，a|c|b|c|不成立，排除D，故选：C2．（2022·全国·高三专题练习）若,xy满足44xy，则xy的取值范围是（）A．(,0)2B．(,)22C．(,0)4πD．(),44【答案】A【分析】根据不等式的性质，求得0xy，且22xy，即可求解.【详解】由xy，可得0xy，又由44y，可得44y，因为44x，可得22xy，所以02xy，即xy的取值范围是(,0)2.故选：A.3．（2022·全国·高三专题练习（文））下列说法正确的个数为（）①若a|b|，则a2b2；②若ab，cd，则a－cb－d；③若ab，cd，则acbd；④若ab0，c0，则ccab.A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】利用不等式的性质逐一判断即可.【详解】①∵a|b|≥0，∴a2b2成立，∴①正确；②取a＝2，b＝1，c＝3，d＝－2，则2－31－(－2)，故②错误；③取a＝4，b＝1，c＝－1，d＝－2，则4×(－1)1×(－2)，故③错误；④∵ab0，∴01a1b且c0，∴ccab，∴④正确．故选：B4．（2022·全国·高三专题练习（文））若m＝2x2＋2x＋1，n＝(x＋1)2，则m，n的大小关系为（）A．m＞nB．m≥nC．m＜nD．m≤n【答案】B【分析】运用作差法进行比较即可得到答案.【详解】因为m－n＝(2x2＋2x＋1)－(x＋1)2＝2x2＋2x＋1－x2－2x－1＝x2≥0.所以m≥n.故选：B.5．（2022·全国·高三专题练习（文））已知－3a－2，3b4，则2ab的取值范围为（）A．(1，3)B．4934，C．2334，D．112，【答案】A【分析】先求出a2的范围，利用不等式的性质即可求出2ab的范围.【详解】因为－3a－2，所以a2∈(4，9)，而3b4，故2ab的取值范围为(1，3)，故选：A．6．（2022·全国·高三专题练习）设13＜13b＜13a＜1，则()A．aa＜ab＜baB．aa＜ba＜abC．ab＜aa＜baD．ab＜ba＜aa【答案】C【分析】先由题得到0＜a＜b＜1，再比较选项数的大小.【详解】∵13＜13b＜13a＜1，∴0＜a＜b＜1.∴abab＝aa－b＞1.∴ab＜aa.∵aaab＝aab，,0＜ab＜1，a＞0，∴aab＜1.∴aa＜ba.∴ab＜aa＜ba.故答案为C【点睛】（1）本题主要考查比较法和指数函数的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）比差的一般步骤是：作差→变形（配方、因式分解、通分等）→与零比→下结论；比商的一般步骤是：作商→变形（配方、因式分解、通分等）→与1比→下结论.如果两个数都是正数，一般用比商，其它一般用比差.7．（2022·全国·高三专题练习）已知三个不等式：①ab＞0；②bc＞ad；③cdab.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成正确命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【分析】讨论三种情况，利用不等式的性质，逐一判断即可.【详解】（1）若以①②为条件，③为结论.则cdbcadabab，因为0,abbcad，即0,0abbcad，故0cdab，即cdab；则此时可以组成真命题；（2）若以①③为条件，②为结论.则由cdab，即0bcadab，结合0ab，故可得bcad.则此时可以组成真命题；（3）若以②③为条件，①为结论.则由cd