第12讲 不等式大小关系及不等式的解法（原卷版）

第12讲不等式大小关系及不等式的解法【知识点总结】一、基本概念不等关系与等量关系一样，也是自然界中存在的基本数量关系，他们在现实世界和日常生活中大量存在.不等关系建立在表示数量的代数式之间，可以是常量、变量及稍复杂的代数式.用不等号（如“”，“”，“”，“”，“”等）连接的式子叫做不等式，其中“”或“”连接的不等式叫做严格不等式；用“”或“”连接的不等式叫做非严格的不等式.不等式可分为绝对值不等式（不论用什么实数代替不等式中的字母，不等式都成立）、条件不等式（只能用某些范围内的实数代替不等式中的字母，不等式才能够成立）和矛盾不等式（不论用什么样的实数代替不等式中的字母，不等式都不能成立）.二、基本性质不等式的性质是证明和解不等式的主要依据.运用时，对每一条性质要弄清条件和结论，注意条件加强和放宽厚条件和结论之间的变化；不仅要记住不等式运算法则的结论形式，还要掌握法则成立的条件，避免由于忽略某些限制条件而造成解题失误.1.两个不等式的同向合成，一律为“”（充分不必要条件）（1）,abbcac（传递性，注意找中间量）（2）,abcdacbd（同向可加性）（3）0,00abcdacbd（同正可乘性，注意条件为正）2.一个不等式的等价变形，一律为“”（充要条件），这是不等式解法的理论依据（1）0;0;0abababababab.（2）abba（对称性）（3）,0(0)abcacbcc（乘正保号性）（4）,0(0)abcacbcc（5）,abcRacbc（不等量加等量）（6）*0,0nnabnNab（乘方保号性，注意条件为正）（7）*0,0nnabnNab（开方保号性，注意条件为正）（8）11,0ababab（同号可倒性）；110,ababab.三、一元一次不等式（axb）（1）若0a，解集为|bxxa.（2）若0a，解集为|bxxa（3）若0a，当0b时，解集为；当0b时，解集为R四、一元一次不等式组（）（1）xx，解集为|xx.（2）xx，解集为|xx（3）xx，解集为|xx（4）xx，解集为五、一元二次不等式一元二次不等式20(0)axbxca，其中24bac，12,xx是方程20(0)axbxca的两个根，且12xx（1）当0a时，二次函数图象开口向上.（2）①若0，解集为21|xxxxx或.②若0，解集为|2bxxRxa且.③若0，解集为R.(2)当0a时，二次函数图象开口向下.①若0，解集为12|xxxx②若0，解集为六、简单的一元高次不等式的解法简单的一元高次不等式常用“穿根法”求解，其具体步骤如下.例如，解一元高次不等式()0fx（1）将()fx最高次项系数化为正数（2）将()fx分解为若干个一次因式或二次不可分因式（0）（3）将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线（注意重根情况，偶次方根切而不过，奇次方根既穿又过，简称“奇穿偶不穿”）.（4）根据曲线显现出的()fx的值的符号变化规律写出不等式的解集.七、分式不等式（1）()0()()0()fxfxgxgx（2）()0()()0()fxfxgxgx（3）()()0()0()0()fxgxfxgxgx（4）()()0()0()0()fxgxfxgxgx八、绝对值不等式（1）22()()[()][()]fxgxfxgx（2）()()(()0)()()()()fxgxgxfxgxfxgx或；()()(()0)()()()fxgxgxgxfxgx；（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解【典型例题】例1．（2021·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高三期中（文））下列说法正确的有（）A．若ab，则22acbcB．若22abcc，则abC．若ab，则1122abD．若ab，则22ab例2．（2022·全国·高三专题练习）下列四个命题中，为真命题的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣dC．若a＞|b|，则a2＞b2D．若a＞b，则11ab例3．（2022·全国·高三专题练习）实数a，b，c满足221aacb且210ab，则下列关系成立的是（）A．bacB．cabC．bcaD．cba例4．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x的不等式220axbx的解集是1xx或2x，则ab的值是___________.例5．（2022·全国·高三专题练习）已知22:24pxaxa，2:log13qx.若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是______.例6．（2022·全国·高三专题练习）若关于x的不等式2210axx有实数解，则a的取值范围是_____．例7．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x的不等式210mxmx恒成立，则m的取值范围为_______【技能提升训练】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）若a，b，c∈R，ab，则下列不等式恒成立的是（）A．1a1bB．a2b2C．21ac21bcD．a|c|b|c|2．（2022·全国·高三专题练习）若,xy满足44xy，则xy的取值范围是（）A．(,0)2B．(,)22C．(,0)4πD．(),443．（2022·全国·高三专题练习（文））下列说法正确的个数为（）①若a|b|，则a2b2；②若ab，cd，则a－cb－d；③若ab，cd，则acbd；④若ab0，c0，则ccab.A．1B．2C．3D．44．（2022·全国·高三专题练习（文））若m＝2x2＋2x＋1，n＝(x＋1)2，则m，n的大小关系为（）A．m＞nB．m≥nC．m＜nD．m≤n5．（2022·全国·高三专题练习（文））已知－3a－2，3b4，则2ab的取值范围为（）A．(1，3)B．4934，C．2334，D．112，6．（2022·全国·高三专题练习）设13＜13b＜13a＜1，则()A．aa＜ab＜baB．aa＜ba＜abC．ab＜aa＜baD．ab＜ba＜aa7．（2022·全国·高三专题练习）已知三个不等式：①ab＞0；②bc＞ad；③cdab.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成正确命题的个数是（）A．0B．1C．2D．38．（2022·全国·高三专题练习）若α，β满足22，则2α－β的取值范围是A．－π2α－β0B．－π2α－βπC．－322α－β2D．02α－βπ9．（2021·山东·济宁市教育科学研究院高三期末）若集合2|230Axxx，|39xBx，则AB（）A．1,2B．2,3C．1,D．,310．（2021·吉林·高三阶段练习（文））设2:2310pxx，2:(21)(1)0qxaxaa，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）A．10,2B．10,2C．1(,0],2D．1(,0),211．（2021·山西省长治市第二中学校高三阶段练习（文））若不等式2(1)0axaxa对任意xR恒成立，则实数a的取值范围是（）A．1a或13aB．1aC．13aD．113a12．（2012·重庆·高三阶段练习（理））若不等式220axbx的解集是1123xx，则ab的值为（）A．10B．14C．10D．1413．（2022·全国·高三专题练习）不等式121xx的解集为（）A．1(,1)2B．(－∞，1)C．1(,)2∪(1，＋∞)D．1(,2)214．（2022·全国·高三专题练习）已知集合0.5log21Axyx，集合3420xBx，则AB等于（）A．,1B．12,23C．1,D．2,1315．（2022·全国·高三专题练习）已知集合2540Axxx，24,xBxxZ，则AB（）A．1,2B．1,4C．1,2D．1,416．（2022·江苏·高三专题练习）已知集合22740Axxx∣，ln(1)0Bxx∣，则AB（）A．1,4B．1,4C．2,4D．2,417．（2021·河北邢台·高三阶段练习）已知不等式250xxa的解集是2xxb，则实数a（）A．14B．3C．3D．618．（2022·全国·高三专题练习（理））若关于x的不等式11axx的解集为|1xx或2x，则实数a的值为（）A．12B．12C．2D．219．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x的一元二次不等式260xxa的解集中有且仅有5个整数，则a的取值范围是（）A．0,5B．0,5C．0,5D．0,520．（2021·山东·新泰市第一中学高三阶段练习）若不等式20axxc的解集为1{|1}2xx，则函数2ycxxa的图象可以为（）A．B．C．D．21．（2021·辽宁·渤海大学附属高级中学高三阶段练习）二次不等式210axbx的解集为1{|1}3xx，则ab的值为（）A．5B．5C．6D．6二、多选题22．（2022·全国·高三专题练习）下列命题为真命题的是（）A．若0ab，则22acbcB．若0ab，则22aabbC．若0ab，且0c，则22ccabD．若ab，则11ab三、填空题23．（2022·浙江·高三专题练习）已知0a，10b，那么a，ab，2ab的大小关系为_____________.24．（2022·全国·高三专题练习）已知实数a、x满足0xa，则2a、2x、ax中的最大数为______25．（2022·全国·高三专题练习）比较大小：67______225（用“”或“”符号填空）．26．（2022·浙江·高三专题练习）已知,abR，则2252ab_______42aba．（用“”或“”填空）27．（2022·全国·高三专题练习）已知13ab，12ab，则3zab的取值范围是___________.28．（2022·浙江·高三专题练习）已知14,24xyxy，则32xy的取值范围是_____．29．（2019·江苏·高三专题练习）不等式222x的解集是________．30．（2020·全国·高三专题练习）在R上定义运算:(1)xyxy，若关于x的不等式()()1xaxa的解集为R，则实数a的取值范围是_________.31．（2022·全国·高三专题练习）不等式11xx的解集为________.32．（2021·上海市七宝中学高三期中）关于x的不等式20(,,)mxnxpmnpR的解集为(1,2)，则函数2()lognxpfxnxm的定义域是_______33．（2021·北京·101中学模拟预测）若关于x的不等式22280xaxa（0a）的解集为12|xxxx，且2115xx，则a的值为___________.34．（2021·江苏省苏州第十中学