第17讲 数列求和（解析版）

第17讲数列求和【知识点总结】求数列前n项和的常见方法如下：（1）公式法：对于等差、等比数列，直接利用前n项和公式.（2）错位相减法：数列的通项公式为nnab或nnab的形式，其中{}na为等差数列，{}nb为等比数列.（3）分组求和法：数列的通项公式为nnab的形式，其中{}na和{}nb满足不同的求和公式.常见于{}na为等差数列，{}nb为等比数列或者{}na与{}nb分别是数列的奇数项和偶数项，并满足不同的规律.（4）裂项相消法：将数列恒等变形为连续两项或相隔若干项之差的形式，进行消项.（5）倒序相加：应用于等差数列或转化为等差数列的数列求和.【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习）数列na的通项公式11nnan，它的前n项和9nS，则n（）A．9B．10C．99D．100【答案】C【详解】数列na的通项公式111nannnn，则21321119nSnnn．解得99n．故选：C．例2．（2022·全国·高三专题练习）在公差大于0的等差数列na中，71321aa，且1a，31a，65a成等比数列，则数列11nna的前21项和为（）A．12B．21C．11D．31【答案】B【详解】由题意，公差d大于0的等差数列na中，71321aa，可得11212121adad，即11a，由1a，31a，65a成等比数列，可得231615aaa，即为2121155dd，解得2d或34d（舍去），所以数列na的通项公式12121,nannnN，所以数列11nna的前21项和为：2112341920211357373941Saaaaaaa2104121.故选：B.例3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{an}满足：an+1=an-an-1（n≥2，n∈N*），a1=1，a2=2，Sn为数列{an}的前n项和，则S2021=（）A．3B．2C．1D．0【答案】C【详解】∵an+1=an-an-1，a1=1，a2=2，∴a3=1，a4=-1，a5=-2，a6=-1，a7=1，a8=2，…，故数列{an}是周期为6的周期数列，且每连续6项的和为0，故S2021=336×0+a2017+a2018+…+a2021=a1+a2+a3+a4+a5=1+2+1+（-1）+（-2）=1.故选：C.例4．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列na的前n项和为34,3,10nSaS，则12111nSSS___________.【答案】21nn【详解】解：设公差为d，因为343,10aS，所以11234610adad，解得111ad，所以nan，所以12nnnS，所以1211211nnnnSn，所以121111111121222231nSSSnn11111122121223111nnnnn故答案为：21nn例5．（2021·全国·高三专题练习）已知数列{}na的前n项和224()nnSnN，函数()fx对一切实数x总有()(1)1fxfx，数列{}nb满足121(0)()()()(1).nnbfffffnnn分别求数列{}na、{}nb的通项公式.【详解】当12111,244naS当21112,24242nnnnnnnaSS1n时满足上式，故1*2nnanN；∵1fxfx=1∴111nffnn∵120nbfffnn11nffn①∴121nnnbfffnn10ff②∴①②，得1212nnnbnb例6．（2022·全国·高三专题练习）已知na为等差数列，nb为等比数列，且满足114324321,2,4,4abaaabbb．（1）求na和nb的通项公式；（2）对任意的正整数n，设nnncab，求数列nc的前n项和nS．【详解】（1）设等差数列na的公差为d，等比数列nb的公比为q，由14321,4aaaa，则1＋3d＝4d，可得d＝1，所以11nann，因为14322,4bbbb，所以322422qqq，整理得2(2)0q，解得q＝2，所以1222nnnb；（2）2nncn，2323411222322,21222322nnnnSnSnLL，两式相减，得23411121212222222(1)2212nnnnnnSnnnL所以1(1)22nnSn．例7．（2022·全国·高三专题练习）数列na的前n项和为nS，111,21nnaaS.（1）求na，nS；（2）设1nnnnabSS，数列nb的前n项和为nT.证明：1143nT„.【详解】（1）121nnaS121(2)nnaSn①②得：13(2)nnaan令1n时，2112133aaa满足上式13(1)nnaan数列na是1a为首项，3为公比的等比数列.1113nnnaaq1113311132nnnnaqSq（2）证明：由①得：1313,2nnnnaS11312nnS111143211331313131nnnnnnnnnabSS12nnTbbb121111113288263131nn212333n13nT又nT为递增数列01431(31)(91)4nTT1143nT例8．（2021·福建·永安市第三中学高中校高三期中）已知数列na是前n项和为122nnS（1）求数列na的通项公式；（2）令2lognnnbaa，求数列nb的前n项和nT．【详解】（1）∵122nnS当2n时，1122(22)nnnnnaSS2n当1n时，12a满足上式，所以数列na的通项公式为2nna.（2）由（1）得，22log22nnnnbn，则23(21)(22)(23)(2)nnTn23(2222)(123)nn2(12)(1)122nnn21222nnn.【技能提升训练】一、单选题1．（2021·全国·高三专题练习（文））已知函数311fxx，利用课本中推导等差数列的前n项和的公式的方法，可求得5f4067ffff（）.A．25B．26C．13D．252【答案】C【分析】先根据已知条件求出22fxfx，再利用倒序相加法求和即可.【详解】解：311fxx，33221111fxxx，即22fxfx，设543067tffffff，①则765045tffffff，②则①＋②得：257467521326tffffff，故13t.故选：C.2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()yfx满足()(1)1fxfx，若数列na满足121(0)(1)nnafffffnnn，则数列na的前20项和为（）A．100B．105C．110D．115【答案】D【分析】根据函数()yfx满足()(1)1fxfx，利用倒序相加法求出na，再求前20项和.【详解】因为函数()yfx满足()(1)1fxfx，121(0)(1)nnafffffnnn①，121(1)(0)nnnafffffnnn②，由①+②可得21nan，12nna，所以数列na是首项为1，公差为12的等差数列，其前20项和为20120121152.故选：D.【点睛】本题主要考查函数的性质及倒序相加法求和，属于基础题.3．（2020·全国·高三专题练习）已知函数sin3fxxx，则12340332017201720172017ffff的值为A．4033B．-4033C．8066D．-8066【答案】D【详解】试题分析：2sin32sin234fxfxxxxx，所以原式4033480662.考点：函数求值，倒序求和法.【思路点晴】本题主要考查函数求值与倒序相加法.注意到原式中第一个自变量加上最后一个自变量的值为2，依此类推，第二个自变量加上倒数第二个自变量的值也是2，故考虑2fxfx是不是定值.通过算，可以得到24fxfx，每两个数的和是4，其中114,12fff，所以原式等价于4033个2即8066.4．（2021·全国·高三专题练习（文））已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3=7，S6=63，则数列{nan}的前n项和为（）A．-3+(n+1)×2nB．3+(n+1)×2nC．1+(n+1)×2nD．1+(n-1)×2n【答案】D【分析】利用已知条件列出方程组求解即可得1,aq，求出数列{an}的通项公式，再利用错位相减法求和即可.【详解】设等比数列{an}的公比为q，易知q≠1，所以由题设得3136161711631aqSqaqSq，两式相除得1+q3=9，解得q=2，进而可得a1=1，所以an=a1qn-1=2n-1，所以nan=n×2n-1.设数列{nan}的前n项和为Tn，则Tn=1×20+2×21+3×22+…+n×2n-1，2Tn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n，两式作差得-Tn=1+2+22+…+2n-1-n×2n=1212n-n×2n=-1+(1-n)×2n，故Tn=1+(n-1)×2n.故选：D.【点睛】本题主要考查了求等比数列的通项公式问题以及利用错位相减法求和的问题.属于较易题.5．（2022·全国·高三专题练习）化简221(1)2(2)2222nnnSnnn的结果是（）A．122nnB．122nnC．22nnD．122nn【答案】D【分析】用错位相减法求和．【详解】221(1)2(2)2222nnnSnnn，（1）23122(1)2(2)2222nnnSnnn，（2）（2）－（1）得：21112(12)2222222212nnnnnnSnnnn．故选：D．6．（2022·全国·高三专题练习）根据预测，某地第*nnN个月共享单车的投放量和损失量分别为na和nb（单位：辆），其中4515,1310470,