第30讲 概率小题（解析版）

第30讲概率小题【知识点总结】一、必然事件、不可能事件、随机事件在一定条件下：①必然要发生的事件叫必然事件；②一定不发生的事件叫不可能事件；③可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。二、概率在相同条件下，做次重复实验，事件A发生次，测得A发生的频率为，当很大时，A发生的频率总是在某个常数附近摆动，随着的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做A的概率，记作。对于必然事件A，；对于不可能事件A，=0.三、基本事件和基本事件空间在一次实验中，不可能再分的事件称为基本事件，所有基本事件组成的集合称为基本事件空间。四、古典概型条件：1、基本事件空间含有限个基本事件2、每个基本事件发生的可能性相同包含基本事件数基本事件总数(A)=()cardAPAcard五、互斥事件的概率1、互斥事件在一次实验中不能同时发生的事件称为互斥事件。事件A与事件B互斥，则PABPAPBU。2、对立事件事件A,B互斥，且其中必有一个发生，称事件A,B对立，记作BA或AB.1PApA.3、互斥事件与对立事件的联系对立事件必是互斥事件，即“事件A，B对立”是”事件A，B互斥“的充分不必要条件。六、条件概率与独立事件（1）在事件A发生的条件下，时间B发生的概率叫做A发生时B发生的条件概率，记作PBA，条件概率公式为=PBAPABPA。（2）若（）=PBAPB，即=()()PABPAPB,称A与B为相互独立事件。A与B相互独立，即A发生与否对B的发生与否无影响，反之亦然。即,AB相互独立，则有公式=()()PABPAPB。（3）在n次独立重复实验中，事件A发生k0kn次的概率记作nPk，记A在其中一次实验中发生的概率为PAp，则1nkkknnPkCpp.【典型例题】例1．（2022·浙江·高三专题练习）有两个事件，事件:A抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为偶数；事件:367B人中至少有2人生日相同.下列说法正确的是（）A．事件A、B都是随机事件B．事件A、B都是必然事件C．事件A是随机事件，事件B是必然事件D．事件A是必然事件，事件B是随机事件【答案】C【详解】对于事件A，抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面的点数可能是奇数，也可能是偶数，则事件A为随机事件；对于事件B，一年有365天或366天，由抽屉原理可知，367人中至少有2人生日相同，事件B为必然事件.故选：C.【点睛】本题考查事件类型的判断，属于基础题.例2．（2022·全国·高三专题练习）某同学做立定投篮训练，共两场，第一场投篮20次的命中率为80%，第二场投篮30次的命中率为70%，则该同学这两场投篮的命中率为（）A．72%B．74%C．75%D．76%【答案】B【详解】该同学这两场投篮的命中率为2080%3070%74%2030.故选：B.例3．（2022·全国·高三专题练习）袋子里有3个白球，4个黑球，5个红球，某人一次抽取3个球，若每个球被抽到的机会均等，则此人抽到的球颜色互异的概率是（）A．14B．13C．27D．311【答案】D【详解】基本事件总数为312220C(种)，此人抽到的球颜色互异的情况有3×4×5＝60(种)，故所求概率为60322011.故选：D.例4．（2021·河北衡水中学模拟预测）陕西省西安市周至县的旅游景点楼观台，号称“天下第一福地”，是我国著名的道教胜迹，古代圣哲老子曾在此著《道德经》五千言．景区内有一处景点建筑，是按古典著作《连山易》中记载的金、木、水、火、土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为A．23B．12C．15D．25【答案】B【详解】从五种不同属性的物质中任取两种，基本事件数量为2510C取出两种物质恰好相克的基本事件数量为155C则取出两种物质恰好是相克关系的概率为152551102CC所以选B（多选题）例5．（2022·全国·高三专题练习）下列四个命题错误的是（）A．对立事件一定是互斥事件B．若A，B为两个事件，则PABPAPBC．若事件A，B，C彼此互斥，则1PAPBPCD．若事件A，B满足1PAPB，则A，B是对立事件【答案】BCD【详解】在A中，对立事件一定是互斥事件，故A正确；在B中，若A，B为两个互斥事件，则PABPAPB，若A，B不为两个互斥事件，则PABPAPBPAB，故B错误；在C中，若事件A，B，C彼此互斥，则1PAPBPC，故C错误；在D中，若事件A，B满足1PAPB，则A，B有可能不是对立事件，故D错误；故选：BCD.例6．（2022·全国·高三专题练习）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球.设ξ为取出的4个球中红球的个数，则P(ξ＝2)＝________.【答案】310【详解】由题意可知，111223243222463(2)10CCCCCPCC故答案为：310【技能提升训练】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）下列事件中，随机事件的个数为（）①物体在只受重力的作用下会自由下落；②方程x2＋2x＋8＝0有两个实根；③某信息台每天的某段时间收到信息咨询的请求次数超过10次；④下周六会下雨.A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】根据随机事件的定义判断即可【详解】①为必然事件，②为不可能事件，③④为随机事件.故选：B2．（2022·全国·高三专题练习（理））在对口扶贫工作中，某单位扶贫工作组4人帮扶到户3户贫困户，每名工作组成员帮扶一户，每户至少一人，则扶贫工作组组长甲被分到第一户的概率为（）A．23B．12C．13D．16【答案】C【分析】组长甲被分到第一户，有两种情况，甲单独一人有2232CA种可能，甲两人一组有2343CA种可能，总共有2343CA可能，根据概率公式即可得解.【详解】分两种情况，甲一人一组和甲两人一组，可得概率22123232234313CACAPCA，故选：C.3．（2022·浙江·高三专题练习）在12本书中，有10本语文书，2本英语书，从中任意抽取3本的必然事件是（）A．3本都是语文书B．至少有一本是英语书C．3本都是英语书D．至少有一本是语文书【答案】D【分析】由必然事件的含义：结果一定会出现，直接选择即可.【详解】因为12本书中只有2本英语书，从中任取3本，必然至少会有一本语文书，故选：D【点睛】本题考查了随机事件、必然事件的含义，属于基本概念的考查.4．（2022·全国·高三专题练习）一个人有n把钥匙，其中只有一把可以打开房门，他随意的进行试开，若试开过的钥匙放在一边，试开次数X为随机变量，则PXkA．knB．1nC．1knD．!!kn【答案】B【详解】试题分析：PXk1n，故选B.考点：离散型随机变量及分布列.5．（2022·全国·高三专题练习）某同学做立定投篮训练，共3场，每场投篮次数和命中的次数如表中记录板所示．第一场第二场第三场投篮次数252030投中次数161318根据图中的数据信息，该同学3场投篮的命中率约为（）A．0616．B．0627．C．0635．D．0648．【答案】B【分析】根据题意由总的投中次数除以总的投篮次数，可得答案.【详解】该同学3场投篮的命中率为1613180.627252030，故选：B．6．（2022·全国·高三专题练习）某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，3次中9环，4次中8环，1次未中靶，则此人中靶的频率是（）A．0.2B．0.4C．0.5D．0.9【答案】D【分析】直接利用频率的公式求解.【详解】由题得这个人中靶的次数为2+3+4=9，所以此人中靶的频率是90.910.故选：D7．（2022·全国·高三专题练习（文））从一批产品中取出三件产品，设A“三件产品全不是次品”，B“三件产品全是次品”，C“三件产品不全是次品”，则下列结论不正确的是（）A．A与B互斥且为对立事件B．B与C互斥且为对立事件C．A与C存在有包含关系D．A与C不是对立事件【答案】A【分析】将取出的三件产品分类为M=“三件产品全是正品”，N=“两件正品，一件次品”，P=“一件正品，两件次品”，Q=“三件产品全是次品”，进而根据题意得到答案.【详解】取出的三件产品分类为M=“三件产品全是正品”，N=“两件正品，一件次品”，P=“一件正品，两件次品”，Q=“三件产品全是次品”，它们之间两两互斥.于是A=M，B=Q，CMNP，所以A与B互斥但不对立，A错误；B,C,D正确.故选：A.8．（2022·全国·高三专题练习）抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，若事件A“向上的点数为3”，B“向上的点数为6”，C“向上的点数为3或6”，则有（）A．ABB．CBC．ABCD．ABC【答案】D【分析】根据事件的关系、和事件、积事件的定义逐一判断四个选项的正误，即可得出正确选项【详解】对于A：事件A“向上的点数为3”发生，事件B“向上的点数为6”一定不发生，故选项A不正确；对于B：事件C“向上的点数为3或6”发生，事件B“向上的点数为6”不一定发生，但事件B“向上的点数为6”发生，事件C“向上的点数为3或6”一定发生，所以BC，故选项B不正确；对于C：事件A和事件B不能同时发生，AB，故选项C不正确；对于D：事件A“向上的点数为3”或事件B“向上的点数为6”发生，则事件C“向上的点数为3或6”发生，故选项D正确；故选：D9．（2022·全国·高三专题练习）在一个掷骰子的试验中，事件A表示“向上的面小于5的偶数点出现”，事件B表示“向上的面小于4的点出现”，则在一次试验中，事件AB发生的概率为（）A．12B．23C．13D．56【答案】B【分析】求出事件AB后易得概率．【详解】由题意AB＝“向上的面的点数为2或4或5或6”，所以其概率为4263P．故选：B．10．（2022·全国·高三专题练习）抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A表示“向上的点数是奇数”，事件B表示“向上的点数不超过3”，则P(A∪B)=（）A．12B．23C．56D．1【答案】B【分析】写出事件AB包含的基本事件，可得概率．【详解】A包含向上的点数是1，3，5的情况，B包含向上的点数是1，2，3的情况，所以A∪B包含了向上的点数是1，2，3，5的情况.故P(A∪B)=4263.故选：B．11．（2022·全国·高三专题练习）随着网络技术的发达，电子支付变得愈发流行，若电子支付只包含微信支付和支付宝支付两种.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7【答案】B【分析】由事件的关系，可列式求解.【详解】设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付，则PABPAPBPAB因为PA0.45,PAB0.15所以PB0.4故选B.【点睛】本题主要考查了事件的基本关系，属于基础题.12．（2022·全国·高三专题练习（文））甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为25，和棋的概率为13，则乙获胜的概率为（）A．14B．15C．35D．415【答案】D【分析】结合概率之和为1求得乙获胜的概率.【详解】记“甲获胜”为事件A，“和棋”为事件B，“乙获胜”为事件C，则25PA，13PB，所以4115PCPAPB．故选：D13．（2022·全国·高三专题练习）若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且2PAa，45PBa，则实数a的取值范围是（）A．5,24B．53,42C．54,43D．53,42【答案】C【分析】利用互