第36讲 轨迹方程（解析版）

第36讲轨迹方程【知识点总结】求动点的轨迹方程一、直译法如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系且这些几何简单明了且易于表达，那么只需把这些关系“翻译”成含,xy的等式，就可得到曲线的轨迹方程，由于这种求轨迹方程的过程不需要其他步骤，也不需要特殊的技巧，所以被称为直译法。二、定义法若动点的轨迹符合某一已知曲线（圆，椭圆，双曲线，抛物线）的定义，则可根据定义直接求出方程中的待定系数，故称待定系数法。三、相关点法（代入法）有些问题中，所求轨迹上点,Mxy的几何条件是与另一个已知方程的曲线上点,Mxy相关联的，这时要通过建立这两点之间关系，并用,xy表示,yx，再,yx将代入已知曲线方程，即得,xy关系式。【典型例题】例1．（2021·福建·泉州科技中学高三期中）如图，设点A，B的坐标分别为(3,0)，(3,0)，直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积为23.（1）求P的轨迹方程；（2）设点P的轨迹为C，点M､N是轨迹为C上不同于A，B的两点，且满足AP∥OM，BP∥ON，求△MON的面积.【解析】（1）由已知设点P的坐标为,xy，由题意知23333APBPyykkxxx，化简得P的轨迹方程为221332xyx（2）证明：由题意MN、是椭圆C上非顶点的两点，且//,//APOMBPON，则直线,APBP斜率必存在且不为0，又由已知23APBPkk.因为//,//APOMBPON，所以23OMONkk设直线MN的方程为xmyt，代入椭圆方程22132xy，得222324260mymtyt....①，设,MN的坐标分别为1122,,,xyxy，则2121222426,3232mttyyyymm又2121222221212122636OMONyyyytkkxxmyymtyyttm，所以222262363ttm，得22223tm又22122244872112232△MONttmStyym，所以2226642△MONttSt，即MON△的面积为定值62.例2．（2022·全国·高三专题练习）动点P到定点0,1F的距离与到定直线4y的距离之比为定值12.（1）求动点P的轨迹方程：（2）若直线l与动点P的轨迹交于不同的两点M，N，且线段MN被直线210x平分，求直线l的斜率的取值范围.【解析】（1）设点Pxy，，依题意，有221142xyy两边平方，整理得22134xy所以动点P的轨迹方程为22134xy；（2）联立22210134xxy，解得12333xy.设点11Mxy，，22Nxy，，MN的中点为012Qy，则0333333y，由题意可得1212012xxyyy，又因为点11Mxy，，22Nxy，都在椭圆22134xy上，则22112222134134xyxy将上述两个等式作差得22221212034xxyy.则2212221243yyxx则1212121243yyyyxxxx，即120122413yyyxx所以0423ky，即0223323333333ky，，所以直线l的斜率的取值范围是2332333333，，例3．（2021·新疆·克拉玛依市教育研究所模拟预测（理））已知圆C：22116xy，点()1,0A，P是圆C上任意一点，线段AP的垂直平分线交CP于点Q.（1）求点Q的轨迹方程；（2）过点0,1B作直线MN交点Q的轨迹于M､N两点，设线段MN的中点为H，判断线段AH与HM的大小，并证明你的结论.【解析】（1）∵点Q在线段AP的垂直平分线上，∴AQPQ.又4CPCQQP，∴42CQQACA.∴点Q的轨迹是以坐标原点为中心，1,0C和()1,0A为焦点，长轴长为4的椭圆.可设方程为22221(0)xyabab，则2a，221ab∴23b，∴点Q的轨迹方程为22143xy.（2）结论是：AHHM.①当直线MN的斜率不存在时，1AH，3HM，此时AHHM；②当直线MN的斜率k存在时，设MN：1ykx代入到22143xy，化简得2243880kxkx，设11,Mxy，22,Nxy则122843kxxk，122843xxk，此时111,AMxy，221,ANxy，∴12121212111111AMANxxyyxxkxkx2212122281811(1)224343kkkkxxkxxkk222218882204343kkkkk.∴90MAN，点A在以MN为直径的圆上或圆的内部，所以AHHM.综上所述，AHHM.例4.（2021·全国·高三专题练习）点B是椭圆22221xyab上的动点，(2,0)Aa为定点，求线段AB的中点M的轨迹方程.【详解】设动点M的坐标为（x，y），设B点坐标为（x0，y0），则由M为线段AB中点，可得00002222202xaxxxayyyy，即点B坐标可表示为（2x－2a，2y），因为点B（x0，y0）在椭圆22221xyab上，2200221xyab，从而有2222(22)(2)1xayab，整理得动点M的轨迹方程为22224()41xayab.例5．（2021·全国·高三专题练习）已知椭圆2212xy，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程.【详解】设弦的两个端点分别为1122,,,PxyQxy，PQ的中点为,Mxy.则221112xy，（1）222212xy，（2）(1)(2)得：2222121202xxyy，1212121202xxyyyyxx.又121212122,2,2yyxxxyyyxx，40xy.由于弦中点轨迹在已知椭圆内，联立22412340xyxxy故斜率为2的平行弦中点的轨迹方程：4440()33xyx例6.（2021·广东·石门中学模拟预测）已知动圆P过点(2,0)A且与圆22:212Bxy相内切.（1）求动圆圆心P的轨迹方程D.（2）直线l过原点，且与轨迹D有两个交点,MN.轨迹D上是否存在一点Q，使△QMN为正三角形，若存在，求出Q的坐标，若不存在，说明理由.【详解】设圆的圆心为P(a，b)，半径为r，则由条件知：||23,||PBrPAr，故||||23PAPB，因此，P的轨迹是以AB，为焦点，长轴长为23的椭圆方程.故圆心P的轨迹方程D为：2213xy.（2）解法一：若直线l的斜率存在且不为零.故可设:lykx.直线OQ方程为：1yxk由2222223333211313xyxMNkkykxk2223(1)||,13kMNk同理，得222213(1)3(1)||,331kkOQkk因2222313||||39132313OQMNkkkk，此时无解.若直线的斜率为零，此时也无解.若直线的斜率不存在，可求出(3,0)Q.故Q的坐标为(3,0)解法二：由图形的对称性及正三角形性质，不妨设1122(cos,sin),(cos(),sin())22MrrQrr，代入椭圆方程，得222221112cos3sin1312sinrrr同理222312cosr，由||3||OQOM得cos0，故存在这样的点Q，其坐标为(3,0).例7．（2021·全国·高三专题练习（理））如图，在ABC中，已知||42AB，且三内角A，B，C满足2sinsin2sinACB，以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，求顶点C的轨迹方程.【详解】由已知得22,0,22,0AB，∵2sinsin2sinACB，∴由正弦定理得:22BCABAC，∴1222ACBCABAB，∴由双曲线的定义知，点C的轨迹以,AB为焦点，以22为实轴长的双曲线的右支（除去与x轴的交点），∴2,22,6acb，∴顶点C的轨迹方程为221226xyx.故答案为：221226xyx.例8．（2012·辽宁·高考真题（文））如图，动圆2221:Cxyt,1t3,与椭圆2C：2219xy相交于A，B，C，D四点，点12,AA分别为2C的左，右顶点．(Ⅰ)当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积；(Ⅱ)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程．【解析】（1）设00(,)Axy，则矩形ABCD的面积004Sxy.由220019xy得220019xy，从而22222200000199(1)()9924xxyxx当2092x，2012y时，max6S.从而5t时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为6.（2）证明：由00(,)Axy，00(,)Bxy，1(3,0)A，2(3,0)A知直线1AA的方程为00(3)3yyxx①直线2AB的方程为00(3)3yyxx②由①②得22020(9)9yyxx③又点00(,)Axy在椭圆C上，故220019xy④将④代入③得2219xy(3,0)xy因此点M的轨迹方程为2219xy(3,0)xy.【技能提升训练】1．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，椭圆经过点(3,0)P，求椭圆的标准方程；（2）ABC两个顶点,AB的坐标分别是(6,0),(6,0)，边,ACBC所在直线的斜率之积等于49，求顶点C的轨迹方程.【答案】（1）2219xy或221819yx，（2）2213616xy（6x），【分析】（1）由题意可得3ab，然后分焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况设出椭圆的方程，再将(3,0)P代入方程中可求出,ab的值，从而可求出椭圆的标准方程；（2）设点C的坐标，再由,ACBC所在直线的斜率之积等于49，列方程可求出结果【详解】（1）因为椭圆的长轴长是短轴长的3倍，所以3ab，若焦点在x轴上，设椭圆的方程为22221(0)9xybbb，因为椭圆经过点(3,0)P，所以得1b，所以椭圆的方程为2219xy，若焦点在y轴上，设椭圆的方程为22221(0)9yxbbb，因为椭圆经过点(3,0)P，所以得3b，所以椭圆的方程为221819yx，所以椭圆的标准方程为2219xy或221819yx，（2）设点C的坐标为(,)xy（0y），因为边,ACBC所在直线的斜率之积等于49，所以4669yyxx，化简得2249144xy，即2213616xy（6x），所以顶点C的轨迹方程2213616xy（6x），2．（2021·全国·高三专题练习）在直角坐标系xOy中，动点M到定点1,02的距离比到y轴的距离大12．求动点M的轨迹方程.【答案】22(0)yxx和0(0)yx【分析】设出点M的坐标，根据题意列出,xy所满足的方程，化简方程可求得M的轨迹方程.【详解】设(,)Mxy，由题意：2211||22xyx两边平方可得：21