第15节 三角函数的的图象及性质（解析版）

第15节三角函数的图象及性质基础知识要夯实1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，)1,2(，(π，0)，)1,23(，(2π，0).(2)余弦函数y＝cosx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，)0,2(，(π，－1)，)0,23(，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR{x|xRx≠kπ＋2}值域[－1，1][－1，1]R周期性2π2ππ奇偶性[来源:学科网]奇函数偶函数奇函数递增区间2,222kk[2kπ－π，2kπ],22kk递减区间32,222kk[2kπ，2kπ＋π]无对称中心(kπ，0),02k,02k对称轴方程x＝kπ＋2x＝kπ无核心素养要做实[来源:学科网]考点一三角函数的单调性角度1求三角函数的单调性【例1－1】（2020·四川省泸县第四中学高一月考）已知函数22()sin3sincos2cos,.fxxxxxxR（1）求函数()fx的最小正周期和单调增区间；（2）求函数()fx在区间,312上的最大值．【答案】（1）πT,,()36kkkZ（2）332【解析】（1）22()sin3sincos2cosfxxxxx1cos23sin2(1cos2)22xxx313sin2cos22223sin262xxx[来源:学科网ZXXK]∴fx的最小周期2ππ2T；由题意得令222()262kxkkZ剟，得：()36kxkkZ剟，∴函数fx的单调递增区间为,()36kkkZ；（2）由（1）知()fx在区间,36kk上为增函数；∴()fx在区间,36上为增函数；即()fx在区间,312上为增函数；∴()fx在区间,312上的最大值max3()()sin(2)121262fxf=3+32角度2已知单调性求参数【例1－2】（2020·辽河油田第二高级中学高一期中）0函数()sinsin22xxfx在[]43,上单调递增，则的范围是A．20,3B．30,2C．0,2D．2,【答案】B【解析】由题得111()=sincossinx222fxwxwxw，所以函数的最小正周期为2Tw,因为函数()sinsin22xxfx在[]43,上单调递增，所以24w324w4，又w＞0，所以302w.故选B【方法技巧】1.求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sinx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.2.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.【跟踪训练】1.已知函数231sinsin(0)222xfxx的最小正周期为.（1）求的值及函数fx的单调增区间；（2）当0,2x时，求函数fx的取值范围.【答案】（1）,,36kkkZ（2）1,12【解析】（1）31cos131sinsincossin222226xfxxxxx，因为fx的最小正周期为，所以2.所以sin26fxx由222,262kxkkZ，得,36kxkkZ所以函数fx的单调增区间为,,36kkkZ（2）因为0,2x，所以72,666x，所以1sin2126x所以函数fx在0,2上的取值范围是1,12.2.已知函数2sin6fxx0在,2上单调递减，在2,3上单调递增，则f()A．1B．2C．1D．3【答案】A【解析】∵函数fx在,2上单调递减，在2,3上单调递增，∴当x2时，函数fx取得最小值，∴322,62kkZ，∴2,3kkZ．又232,0T，∴01，∴23，∴22sin36fxx，∴25()2sin2sin1366f．选A．3．若函数()()()sin0fxxww=在区间,32上单调递减，则的取值范围是()A．0≤≤23B．0≤≤32C．23≤≤3D．32≤≤3【答案】D【解析】令22kωx322k（k∈Z），则22kx322k∵函数f（x）＝sinωx（ω＞0）在区间32，上单调递减，∴223k且3222k当0k满足题意，∴332故选：D．考点二三角函数的周期性、奇偶性、对称性多维探究【例2】1.（2020·上海高三专题练习）下列函数中，既为偶函数又在(0,)上单调递增的是（）.A．tan||yxB．cos()yxC．sin2yxD．cot2xy【答案】C【解析】对于函数tan||yx，当2x时无意义，在0,π上不单调，故A不正确；函数cos()cosyxx在(0,)上单调递减，故B不正确；函数sincos2yxx是偶函数，在(0,)上单调递增，故C正确；当(0,)x时，函数1cot2tan2xyx单调递减，故D不正确.故选：C2.．（2022·四川省高一期末）函数sin2cos22yxx是（）A．周期为4的奇函数B．周期为4的偶函数C．周期为2的奇函数D．周期为2的偶函数【答案】C【解析】由题得1sin2cos22sin2cos2sin42yxxxxx，设1()sin42fxx，函数的定义域是R,所以函数的最小正周期为2=42，由于11()sin(4)sin4()22fxxxfx，所以函数是奇函数.故选：C.3.．（2022·大连市普兰店区第一中学高一月考）给出的下列命题中正确的是（）A．若，是第一象限角，且，则tantanB．函数3cos22xy是奇函数C．8x是函数5cos24yx的一条对称轴D．32sin2yx在区间,32上的最大值是2，最小值为2.【答案】B【解析】对于A，若4，136，满足，是第一象限角，且，但是tantan不成立，故A错误；对于B，33cossin222xxy，令3sin2xfx，则33sinsin22xxfx，所以fxfx，所以3cos22xy为奇函数，故B正确；对于C，5cos24yx，524xkkZ，解得582kxkZ，所以8x不是函数5cos24yx的对称轴，故C错误；对于D，32x，33224x，31sin12x，322sin22x，32sin2yx在区间,32上的最大值是2，最小值为2，故D错误.故选：B.4.下列函数中，最小正周期为π的偶函数是（）A．sin2yxB．cos2xyC．sin2cos2xxD．221tan1tanxyx【答案】D【解析】sin2yx为奇函数，排除；cos2xy的周期为4T，排除；sin2cos2xx是非奇非偶函数，排除；221tan1tanxyfxx，22221tan1tan1tan1tanxxyfxfxxx，为偶函数.2222221tancossincos21tancossinxxxyxxxx，T，故D满足.故选：D.【跟踪训练】1．下列函数中为奇函数的是（）A．|sin|yxB．sinyxxC．sin4yxD．sinyxx【答案】D【解析】记每个函数为()yfx，A中()sin()sin()fxxxfx，是偶函数，错；B中()sin()sin()fxxxxxfx，是偶函数，错；C中函数原点不是对称中心，y轴不是对称轴，既不是奇函数也不是偶函数，错；D中函数()sin()()sin()fxxxxxfx，是奇函数，正确．故选：D．2．能使sin(2)3cos(2)yxx为奇函数，且在0,4上是减函数的的一个值是（）A．5π3B．43C．23D．3【答案】C【解析】依题意π2sin23yx，由于函数为奇函数，故πππ,π33kk，当1,2k时，2π3或5π3，由此排除B,D两个选项.当2π3时，2sin2π2sin2yxx在0,4上是减函数，符合题意.当5π3时，2sin22π2sin2yxx，在0,4上是增函数，不符合题意.故选C.3．下列函数中，最小正周期为的偶函数是()A．sin2yxB．cos2xyC．sin2cos2yxxD．|sin|yx【答案】D【解析】函数sin2yx的最小正周期为22，且为奇函数，所以A不正确；函数cos2xy的最小正周期为2412，所以B不正确；函数sin2cos22sin24yxxx，所以最小正周期为22，非奇非偶函数，所以C不正确；函数|sin|yx的最小正周期为1，且为偶函数，故D正确.故选：D4．在下列函数中，既是0,2上的增函数，又是以为最小正周期的偶函数的是（）A．y=sinxB．y=cos2xC．|sin|yxD．|sin2|yx【答案】C【解析】逐一考查所给函数的性质：A.y=sinx，函数在0,2上是增函数，函数的最小正周期为2，函数为奇函数；B.y=cos2x，函数在0,2上是减函数，函数的最小正周期为，函数为偶函数；C.|sin|yx，函数在0,2上是增函数，函数的最小正周期为，函数为偶函数；D.|sin2|yx，函数在0,2上是不具有单调性，函数的最小正周期为2，函数为偶函数.综上可得，只有选项C中的函数符合题意.故选C.达标检测要扎实一、单选题1．函数sin,[0,2]yxx与12y图像交点的个数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】作出函数sinyx在[0,2]上的图象，并作出直线12y，如图：观察图形知：函数sinyx在[0,2]上的图象与直线12y有两个公共点，所以函数sin,[0,2]yxx与12y图像交点的个数为2.故选：C2．已知集合1cos2A，0B，ABC