第19节 数列求和（原卷版）

第19节等列求和基础知识要夯实1．求数列的前n项和的方法(1)公式法①等差数列的前n项和公式Sn＝1()2nnaa＝na1＋(1)2nnd.推导方法：倒序相加法；②等比数列的前n项和公式Sn＝111(1)(1)(1)11nnnaqaaqaqqqq推导方法：乘公比，错位相减法．(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．(4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．(6)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.2．常见的裂项公式(1)111(1)1nnnn；(2)1111()(21)(21)22121nnnn；(3)111nnnn.难点正本疑点清源1．解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成．(2)不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和．2．等价转化思想是解决数列问题的基本思想方法，它可将复杂的数列转化为等差、等比数列问题来解决．基本技能要落实考点一分组转化法求和【例1】已知数列{an}的前n项和Sn＝22nn，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和．【方法技巧】若数列通项是几个数列通项的和或差的组合，如：等差加等比，等比加等比．对于这类数列求和，就是对数列通项进行分解，然后分别对每个数列进行求和．例如：an＝bn＋cn＋…＋hn，则1nkka＝1nkkb＋1nkkc＋…＋1nkkh【跟踪训练】1．已知数列{an}的通项公式是an＝2n－315n，则其前20项和为()A．380－1931155B．400－2021155C．420－2031145D．440－20411552．(2022·焦作模拟)已知{an}为等差数列，且a2＝3，{an}前4项的和为16，数列{bn}满足b1＝4，b4＝88，且数列{bn－an}为等比数列．(1)求数列{an}和{bn－an}的通项公式；(2)求数列{bn}的前n项和Sn.考点二错位相减法求和【例2】设数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an－1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝nna，求数列{bn}的前n项和Tn.【方法技巧】如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解．[提醒](1)在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．(2)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．【跟踪训练】1．数列12，34，58，716，…的前10项之和为________．2．(2022·福州模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1.(1)证明：数列{an}是等比数列；(2)设bn＝(2n－1)an，求数列{bn}的前n项和Tn.考点三裂项相消法求和[考法全析]考法(一)形如an＝1()nnk(k为非零常数)型[例2](2022·福州模拟)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋1＝3an－2an－1(n≥2，n∈N*)．设bn＝an＋1－an.(1)证明：数列{bn}是等比数列；(2)设cn＝2(41)2nnbn，求数列{cn}的前n项和Sn.[例3]已知函数f(x)＝xα的图象过点(4,2)，令an＝1(1)()fnfn，n∈N*.记数列{an}的前n项为Sn，则S2018＝()A.2017－1B.2018－1C.2019－1D.2019＋1[规律探求]看个性考法(一)数列的通项公式形如an＝1()nnk时，可转化为an＝111knnk，此类数列适合使用裂项相消法求和．考法(二)数列的通项公式形如an＝1nkn时，可转化为an＝1nkkk，此类数列适合使用裂项相消法求和找共性裂项相消法求和的实质和解题关键裂项相消法求和的实质是将数列中的通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，其解题的关键就是准确裂项和消项．(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项[过关训练]1．(2017·全国卷Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，S4＝10，则11nkkS＝________.2．正项数列{an}的前n项和Sn满足：S2n－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)令bn＝221(2)nnna，数列{bn}的前n项和为Tn.求证：对于任意的n∈N*，都有Tn＜564.达标检测要扎实一、单选题1．数列na是等比数列，363,81aa，则5a（）A．15B．16C．27D．252．观察下列式子:213122，221151233，222111712344，…，则可归纳出2221111231n小于（）A．1nnB．211nnC．211nnD．21nn3．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有一个高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，95，则该数列的第8项为（）A．99B．131C．139D．1414．用数学归纳法证明：对于任意正偶数n均有11111111122341242nnnnn，在验证2n正确后，归纳假设应写成（）A．假设*nkkN时命题成立B．假设*nkkN时命题成立C．假设*2nkkN时命题成立D．假设*21kknN时命题成立5．某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，已知第五实验室比第二实验室的改建费用高42万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高168万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1709.9万元．则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要（）A．3233万元B．4706万元C．4808万元D．4938万元6．已知数列na是等差数列，若9120aa，10110aa，且数列na的前n项和nS有最大值，那么当0nS时，n的最大值为（）A．10B．11C．20D．21【答案】C7．已知正项等比数列na满足2019201820172aaa，若存在两项ma，na使得12mnaaa，则14mn的最小值为（）A．9B．73C．94D．1338．某人于2020年6月1日去银行存款a元，存的是一年定期储蓄，2021年6月1日将到期存款的本息一起取出再加a元之后还存一年定期储蓄，此后每年的6月1日他都按照同样的方法在银行取款和存款．设银行定期储蓄的年利率r不变，则到2025年6月1日他将所有的本息全部取出时，取出的钱共有（）A．41ar元B．51ar元C．61ar元D．611arrr元故选：D．9．已知数列na满足121aa，*212nnnaaanN，则na的前30项之和为（）A．31223B．30223C．15413D．1644310．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间0,1均分为三段，去掉中间的区间段12,33，记为第一次操作；再将剩下的两个区间段10,3，2,13分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于910，则需要操作的次数n的最小值为(参考数据：lg20.3010，lg30.4771)（）A．4B．5C．6D．711．在等比数列na中，11a，238aa，则4512aaaa（）A．8B．6C．4D．212．已知数列na满足123nnnaaan，设数列na的前n项和为nS，若20202019S，20192020S，则2021S（）．A．1008B．1009C．2016D．2018二、填空题13．已知一族双曲线22:2020nnExy（nN且2020n），设直线2x与nE在第一象限内的交点为nA，点nA在nE的两条渐近线上的射影分别为nB、nC，记nnnABC的面积为na，则1232020aaaaL___________.14．已知数列na满足11122nnnnnaaaaa，且1211,3aa，则na的通项公式na_______________________.15．已知数列na的前n项和为2*1,1,NnnnSaSnan，则数列na的通项公式为___________.16．数列na满足：112a，212nnaaana，则数列na的通项公式na___________.三、解答题17．记数列na的前n项和为nS，17a，26a，11N,Rnnakank.(1)证明数列na为等差数列，并求通项公式na；(2)记123nnTaaaa，求20T.18．已知等差数列na的前n项和为nS，33a，5712aa．（1）求na及nS；（2）令12nnbS，求数列2nnb的前n项和nT．19．已知数列na的前n项和nS满足1122nnnSanN，设2nnnca.（1）求证：数列nc是等差数列，并求数列na的通项公式；（2）按以下规律构造数列nb，具体方法如下：11bc，223bcc，34567bcccc，…，1112212221nnnnnbcccc，求数列nb的通项公式.20．已知数列na满足112nnaa，其中10a.（1）求证11na是等差数列，并求数列na的通项公式；（2）设121nnnnTaaa，若nTpn对任意的nN恒成立；求p的最小值.21．已知在等比数列na中，11a，且2a是1a和31a的等差中项.（1）求数列na的通项公式；（2）若数列nb满足*2nnbnanN，求nb的前n项和nS.22．已知正项数列na，其前n项和为,12nnnSaSnN．（1）求数列na的通项公式：（2）设112nnn