第22节 空间几何体的结构特征、三视图和直观图（解析版）

第22节空间几何体的结构特征、三视图和直观图基础知识要夯实1.空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行且相似侧棱平行且相等相交于一点，但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇环2.直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直.(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.3.空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝S底h锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝13S底h台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝13(S上＋S下＋S上S下)h球S＝4πR2V＝43πR33．空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用正投影得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括主视图、左视图、俯视图．[难点正本疑点清源]1．正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫作直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫作正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形．2．正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫作正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心．3．空间几何体的数量关系也体现在三视图中，主视图和左视图的“高平齐”，主视图和俯视图的“长对正”，左视图和俯视图的“宽相等”．其中，主视图、左视图的高就是空间几何体的高，主视图、俯视图中的长就是空间几何体的最大长度，左视图、俯视图中的宽就是空间几何体的最大宽度．要尽量按照这个规则画空间几何体的三视图．基本技能要落实考点一空间几何体的结构特征【例1】(1)给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3(2)给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③存在每个面都是直角三角形的四面体；④棱台的侧棱延长后交于一点.其中正确命题的序号是________.【答案】(1)A(2)②③④【解析】(1)①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；③错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等.(2)①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；③正确，如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形；④正确，由棱台的概念可知.【方法技巧】1.关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例.2.圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系.3.既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略.【跟踪训练】1.下列命题正确的是()A.两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台B.两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C.以直角梯形的一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体是圆台D.用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形【答案】C【解析】如图所示，可排除A，B选项.只有截面与圆柱的母线平行或垂直，则截得的截面为矩形或圆，否则为椭圆或椭圆的一部分.考点二空间几何体的直观图【例2】安徽省黄山市屯溪第一中学2020-2020学年高三上学期期中考试数学（理)试题】水平放置的ABC，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的'''ABC，其中''''2OAOB，''3OC，则ABC绕AB所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为()A．83B．163C．833D．16312【答案】B【解析】本题考查了平面图形的直观图问题，也考查了旋转体的表面积求法.根据“斜二测画法”可得AO=BO=2，OC=23，∴AC=BC=22223=4，如图所示，∴△ABC是边长为4的等边三角形；△ABC绕AB所在直线旋转一周后形成的几何体是两个相同圆锥的组合体，它的表面积为S=2πrl=2π×23×4=163π．故答案为：B【方法技巧】1.画几何体的直观图一般采用斜二测画法，其规则可以用“斜”(两坐标轴成45°或135°)和“二测”(平行于y轴的线段长度减半，平行于x轴和z轴的线段长度不变)来掌握.2.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图＝24S原图形.【跟踪训练】如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是()A.2＋2B.122C.222D.1＋2【答案】A【解析】恢复后的原图形为一直角梯形，所以S＝12(1＋2＋1)×2＝2＋2.故选A.考点三空间几何体的三视图【例3】在一个几何体的三视图中，主视图和俯视图如图所示，则相应的左视图可以为【答案】A【跟踪训练】1.如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是()【答案】D达标检测要扎实一、单选题1．已知一个侧棱均相等的三棱锥的三视图(如图)，根据图中标出尺寸(单位：cm)，可得这个三棱锥的体积是（）A．324B．312C．18D．14【答案】C【解析】由三视图可画出三棱锥的直观图，如下在三棱锥PABC中，32AMMC，3AC，1PM，1ABBCCHHA，PH平面ABC，32PH，PAPBPC，1AHBHCH，1122HMBHABC中23ABC，所以1133133428PABCABCVSPHV.故选:C.2．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的棱长为()A．7B．6C．5D．22【答案】A【解析】根据三视图知，该几何体是一个正四棱锥，画出图形如图所示；则AC2，DC2BE2，AC底面CDEB，结合图形中的数据，求得BC2，在RtABC中，由勾股定理得2222ABACBC(2)(2)2，同理求得22AD(2)26，22222222AEACCEACCDDE(2)217．故选A．3．如图，在三棱柱ABCABC中，侧棱AA底面ABC，且ABCV是正三角形，若点P是上底面ABC内的任意一点，则三棱锥PABC的正视图与侧视图的面积之比为（）（注：以垂直于平面ACCA的方向为正视图方向）A．12B．32C．1D．233【答案】D【解析】a，高为h，则三棱锥PABC的正视图是以底为a，高为h的三角形，其面积为12ah，三棱锥PABC的侧视图是以底为32a高为h的三角形，其面积为133224ahah，则所求面积比为1232334ahah，故选：D.4．若一个平面图形的斜二测直观图是一个边长为2的正方形（如图），则原图的周长为（）A．82B．16C．426D．443【答案】B【解析】由题意，平面图形的斜二测直观图是一个边长为2的正方形，所以原图形是一个平行四边形，斜二测画法中平行于'x轴的边长在原图中长度为2，斜二测画法中与'x轴垂直的边长在原图中的长度为222(42)6，则原图形的周长为2+2+6+6＝16．故选：B．5．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为V，该几何体所有棱的棱长之和为L，则（）A．8,14253VLB．8,1425VLC．8,16253VLD．8,1625VL【答案】A【解析】在如图所示的正方体1111ABCDABCD中，P，E分别为11,BCBC的中点，该几何体为四棱锥PABCD，且PE平面ABCD．由三视图可知2AB，则5,3PCPBPDPA，则21825681425,2233LV．故选：A.6．如图，一个水平放置的图形的直观图是一个等腰直角三角形OAB，斜边长1OB，那么原平面图形的面积是（）A．2B．22C．24D．12【答案】B【解析】根据斜二测画法可得原图形为如图所示OAB△，因为OAB是等腰直角三角形，根据斜二测画法可得OAB△为直角三角形，1OB，1OBOB，22OAOA，所以原平面图形的面积是121222=.故选：B.7．某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（）A．1223B．123C．1823D．183【答案】C【解析】根据三视图得该三棱柱的底面边长为2，高为3，如图，所以三棱柱的表面积为：2212323222182322S.故选：C.8．水平放置的ABC有一边在水平线上，它的斜二测直观图是边长为2的正ABCV，则ABC的面积是（）A．3B．23C．26D．6【答案】C【解析】由题意，122sin323S直.且24SS直原故2226SS原直故选：C二、多选题9．下列说法不正确的是（）A．有两个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台B．圆柱的任意两条母线互相平行C．四棱柱是平行六面体D．菱形的直观图是菱形【答案】ACD【解析】对于A中，由棱台的定义，可得棱台的所有侧棱交于一点，所以有两个面平行，其余各面都是梯形的几何体不一定是棱台，所以A不正确；对于B中，根据圆柱的定义可得棱柱的所有母线都相互平行，所以B正确；对于C中，底面为平行四边形的棱柱才是平行六面体，所以C不正确；对于D中，根据斜二测画法的规则可得菱形的直观图为平行四边形，不一定是菱形，所以D不正确.故选：ACD10．如图所示的是水平放置的三角形直观图，D¢是ABC中BC边上的一点，且DCDB，又//ADy轴，那么原ABC的AB、AD、AC三条线段中（）A．最长的是ABB．最长的是ACC．最短的是ACD．最短的是AD【答案】AD【解析】由题意得到原ABC的平面图为：其中，ADBC，BDDC，∴ABACAD，∴ABC的AB、AD、AC三条线段中最长的是AB，最短的是AD，故选：AD.11．利用斜二测画法得到的下列结论中正确的是（）A．三角形的直观图是三角形B．正方形的直观图是正方形C．菱形的直观图是菱形D．平行四边形的直观图是平行四边形【答案】AD【解析】根据斜二测画法的规则可知，平行于坐标轴的直线平行性不变，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度减半.对于A中，三角形的直观图中，三角形的高于底边的夹角为45或135，长度减少为原来的一半，依然是三角形，所以A正确；对于B中，正方形的直角，在直观图中变为45或135，不是正方形，所以B错误；对于C中，菱形的对角线互相垂直平分，在直观图中对角线的夹角变为45，所以菱形的直观图不是菱形，所以C错误；对于D中，根据平行线不变，可知平行四边形的直观图还是平行四边形，所以D正确.故选：AD.12．三棱锥PABC的三视图如图，图中所示顶点为棱锥对应顶点的投影，正视图与侧视图是全等的等腰直角三角形，俯视