专题03 导数及其应用（选填题）（理科专用）（教师版）

专题03导数及其应用（选填题）（理科专用）1．【2022年全国甲卷】已知𝑎=3132,𝑏=cos14,𝑐=4sin14，则（）A．𝑐𝑏𝑎B．𝑏𝑎𝑐C．𝑎𝑏𝑐D．𝑎𝑐𝑏【答案】A【解析】【分析】由𝑐𝑏=4tan14结合三角函数的性质可得𝑐𝑏；构造函数𝑓(𝑥)=cos𝑥+12𝑥2−1,𝑥∈(0,+∞)，利用导数可得𝑏𝑎，即可得解.【详解】因为𝑐𝑏=4tan14,因为当𝑥∈(0,π2),sin𝑥𝑥tan𝑥所以tan1414,即𝑐𝑏1,所以𝑐𝑏；设𝑓(𝑥)=cos𝑥+12𝑥2−1,𝑥∈(0,+∞)，𝑓′(𝑥)=−sin𝑥+𝑥0，所以𝑓(𝑥)在(0,+∞)单调递增，则𝑓(14)𝑓(0)=0,所以cos14−31320，所以𝑏𝑎,所以𝑐𝑏𝑎，故选：A2．【2022年新高考1卷】设𝑎=0.1e0.1,𝑏=19，𝑐=−ln0.9，则（）A．𝑎𝑏𝑐B．𝑐𝑏𝑎C．𝑐𝑎𝑏D．𝑎𝑐𝑏【答案】C【解析】【分析】构造函数𝑓(𝑥)=ln(1+𝑥)−𝑥，导数判断其单调性，由此确定𝑎,𝑏,𝑐的大小.【详解】设𝑓(𝑥)=ln(1+𝑥)−𝑥(𝑥−1)，因为𝑓′(𝑥)=11+𝑥−1=−𝑥1+𝑥，当𝑥∈(−1,0)时，𝑓′(𝑥)0，当𝑥∈(0,+∞)时𝑓′(𝑥)0，所以函数𝑓(𝑥)=ln(1+𝑥)−𝑥在(0,+∞)单调递减，在(−1,0)上单调递增，所以𝑓(19)𝑓(0)=0，所以ln109−190，故19ln109=−ln0.9，即𝑏𝑐，所以𝑓(−110)𝑓(0)=0，所以ln910+1100，故910e−110，所以110e11019，故𝑎𝑏，设𝑔(𝑥)=𝑥e𝑥+ln(1−𝑥)(0𝑥1)，则𝑔′(𝑥)=(𝑥+1)e𝑥+1𝑥−1=(𝑥2−1)e𝑥+1𝑥−1,令ℎ(𝑥)=e𝑥(𝑥2−1)+1，ℎ′(𝑥)=e𝑥(𝑥2+2𝑥−1)，当0𝑥√2−1时，ℎ′(𝑥)0，函数ℎ(𝑥)=e𝑥(𝑥2−1)+1单调递减，当√2−1𝑥1时，ℎ′(𝑥)0，函数ℎ(𝑥)=e𝑥(𝑥2−1)+1单调递增，又ℎ(0)=0，所以当0𝑥√2−1时，ℎ(𝑥)0，所以当0𝑥√2−1时，𝑔′(𝑥)0，函数𝑔(𝑥)=𝑥e𝑥+ln(1−𝑥)单调递增，所以𝑔(0.1)𝑔(0)=0，即0.1e0.1−ln0.9，所以𝑎𝑐故选：C.3．【2021年新高考1卷】若过点,ab可以作曲线exy的两条切线，则（）A．ebaB．eabC．0ebaD．0eab【答案】D【解析】【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；解法二：画出曲线xye的图象，根据直观即可判定点,ab在曲线下方和x轴上方时才可以作出两条切线.【详解】在曲线xye上任取一点,tPte，对函数xye求导得exy，所以，曲线xye在点P处的切线方程为ttyeext，即1ttyexte，由题意可知，点,ab在直线1ttyexte上，可得11tttbaeteate，令1tftate，则tftate.当ta时，0ft，此时函数ft单调递增，当ta时，0ft，此时函数ft单调递减，所以，maxaftfae，由题意可知，直线yb与曲线yft的图象有两个交点，则maxabfte，当1ta时，0ft，当1ta时，0ft，作出函数ft的图象如下图所示：由图可知，当0abe时，直线yb与曲线yft的图象有两个交点.故选：D.解法二：画出函数曲线xye的图象如图所示，根据直观即可判定点,ab在曲线下方和x轴上方时才可以作出两条切线.由此可知0abe.故选：D.【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.4．【2020年新课标1卷理科】函数43()2fxxx的图像在点(1(1))f，处的切线方程为（）A．21yxB．21yxC．23yxD．21yx【答案】B【解析】【分析】求得函数yfx的导数fx，计算出1f和1f的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.【详解】432fxxx，3246fxxx，11f，12f，因此，所求切线的方程为121yx，即21yx.故选：B.【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题5．【2020年新课标3卷理科】若直线l与曲线y=x和x2+y2=15都相切，则l的方程为（）A．y=2x+1B．y=2x+12C．y=12x+1D．y=12x+12【答案】D【解析】【分析】根据导数的几何意义设出直线l的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.【详解】设直线l在曲线yx上的切点为00,xx，则00x，函数yx的导数为12yx，则直线l的斜率012kx，设直线l的方程为00012yxxxx，即0020xxyx，由于直线l与圆2215xy相切，则001145xx，两边平方并整理得2005410xx，解得01x，015x（舍），则直线l的方程为210xy，即1122yx.故选：D.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.6．【2019年新课标3卷理科】已知曲线elnxyaxx在点1,ae处的切线方程为2yxb，则A．,1aebB．,1aebC．1,1aebD．1,1aeb【答案】D【解析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得a，将点的坐标代入直线方程，求得b．【详解】详解：ln1,xyaex1|12xkyae，1ae将(1,1)代入2yxb得21,1bb，故选D．【点睛】本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．7．【2018年新课标1卷理科】设函数321fxxaxax．若fx为奇函数，则曲线yfx在点00，处的切线方程为()A．2yxB．yxC．2yxD．yx【答案】D【解析】【详解】分析：利用奇函数偶次项系数为零求得1a，进而得到()fx的解析式，再对()fx求导得出切线的斜率k，进而求得切线方程.详解：因为函数()fx是奇函数，所以10a，解得1a，所以3()fxxx，2()31xf'x，所以'(0)1,(0)0ff，所以曲线()yfx在点(0,0)处的切线方程为(0)'(0)yffx，化简可得yx，故选D.点睛：该题考查的是有关曲线()yfx在某个点00(,())xfx处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得'()fx，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.8．【2022年新高考1卷】已知函数𝑓(𝑥)=𝑥3−𝑥+1，则（）A．𝑓(𝑥)有两个极值点B．𝑓(𝑥)有三个零点C．点(0,1)是曲线𝑦=𝑓(𝑥)的对称中心D．直线𝑦=2𝑥是曲线𝑦=𝑓(𝑥)的切线【答案】AC【解析】【分析】利用极值点的定义可判断A，结合𝑓(𝑥)的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.【详解】由题，𝑓′(𝑥)=3𝑥2−1，令𝑓′(𝑥)0得𝑥√33或𝑥−√33，令𝑓′(𝑥)0得−√33𝑥√33，所以𝑓(𝑥)在(−√33,√33)上单调递减，在(−∞,−√33)，(√33,+∞)上单调递增，所以𝑥=±√33是极值点，故A正确；因𝑓(−√33)=1+2√390，𝑓(√33)=1−2√390，𝑓(−2)=−50，所以，函数𝑓(𝑥)在(−∞,−√33)上有一个零点，当𝑥≥√33时，𝑓(𝑥)≥𝑓(√33)0，即函数𝑓(𝑥)在(√33,+∞)上无零点，综上所述，函数𝑓(𝑥)有一个零点，故B错误；令ℎ(𝑥)=𝑥3−𝑥，该函数的定义域为𝑅，ℎ(−𝑥)=(−𝑥)3−(−𝑥)=−𝑥3+𝑥=−ℎ(𝑥)，则ℎ(𝑥)是奇函数，(0,0)是ℎ(𝑥)的对称中心，将ℎ(𝑥)的图象向上移动一个单位得到𝑓(𝑥)的图象，所以点(0,1)是曲线𝑦=𝑓(𝑥)的对称中心，故C正确；令𝑓′(𝑥)=3𝑥2−1=2，可得𝑥=±1，又𝑓(1)=𝑓(−1)=1，当切点为(1,1)时，切线方程为𝑦=2𝑥−1，当切点为(−1,1)时，切线方程为𝑦=2𝑥+3，故D错误.故选：AC.9．【2022年全国乙卷】已知𝑥=𝑥1和𝑥=𝑥2分别是函数𝑓(𝑥)=2𝑎𝑥−e𝑥2（𝑎0且𝑎≠1）的极小值点和极大值点．若𝑥1𝑥2，则a的取值范围是____________．【答案】(1e,1)【解析】【分析】由𝑥1,𝑥2分别是函数𝑓(𝑥)=2𝑎𝑥−e𝑥2的极小值点和极大值点，可得𝑥∈(−∞,𝑥1)∪(𝑥2,+∞)时，𝑓′(𝑥)0，𝑥∈(𝑥1,𝑥2)时，𝑓′(𝑥)0，再分𝑎1和0𝑎1两种情况讨论，方程2ln𝑎⋅𝑎𝑥−2e𝑥=0的两个根为𝑥1,𝑥2，即函数𝑦=ln𝑎⋅𝑎𝑥与函数𝑦=e𝑥的图象有两个不同的交点，构造函数𝑔(𝑥)=ln𝑎⋅𝑎𝑥，利用指数函数的图象和图象变换得到𝑔(𝑥)的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.【详解】解：𝑓′(𝑥)=2ln𝑎⋅𝑎𝑥−2e𝑥，因为𝑥1,𝑥2分别是函数𝑓(𝑥)=2𝑎𝑥−e𝑥2的极小值点和极大值点，所以函数𝑓(𝑥)在(−∞,𝑥1)和(𝑥2,+∞)上递减，在(𝑥1,𝑥2)上递增，所以当𝑥∈(−∞,𝑥1)∪(𝑥2,+∞)时，𝑓′(𝑥)0，当𝑥∈(𝑥1,𝑥2)时，𝑓′(𝑥)0，若𝑎1时，当𝑥0时，2ln𝑎⋅𝑎𝑥0,2e𝑥0，则此时𝑓′(𝑥)0，与前面矛盾，故𝑎1不符合题意，若0𝑎1时，则方程2ln𝑎⋅𝑎𝑥−2e𝑥=0的两个根为𝑥1,𝑥2，即方程ln𝑎⋅𝑎𝑥=e𝑥的两个根为𝑥1,𝑥2，即函数𝑦=ln𝑎⋅𝑎𝑥与函数𝑦=e𝑥的图象有两个不同的交点，∵0𝑎1,∴函数𝑦=𝑎𝑥的图象是单调递减的指数函数，又∵ln𝑎0,∴𝑦=ln𝑎⋅𝑎𝑥的图象由指数函数𝑦=𝑎𝑥向下关于𝑥轴作对称变换，然后将图象上的每个点的横坐标保持不变，纵坐标伸长或缩短为原来的|ln𝑎|倍得到，如图所示：设过原点且与函数𝑦=𝑔(𝑥)的图象相切的直线的切点为(𝑥0,ln𝑎⋅𝑎𝑥0)，则切线的斜率为𝑔′(𝑥0)=ln2𝑎⋅𝑎𝑥0，故切线方程为𝑦−ln𝑎⋅𝑎𝑥0=ln2𝑎⋅𝑎𝑥0(𝑥−𝑥0)，则有−ln𝑎⋅𝑎𝑥0=−𝑥0ln2𝑎⋅𝑎𝑥0，解得𝑥0=1ln𝑎，则切线的斜率为ln2𝑎⋅𝑎1ln𝑎=eln2𝑎，因为函数𝑦=ln𝑎⋅𝑎𝑥与函数�