易错点09 直线与圆（解析版）

易错点09直线与圆易错点1：直线的方程若直线方程含多个参数并给出或能求出参数满足的方程，观察直线方程特征与参数方程满足的方程的特征，即可找出直线所过定点坐标，并代入直线方程进行检验。注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算。易错点2：圆的方程(1)圆的一般方程的形式要熟悉，并且能和圆的标准方程的形式区分开；(2)在求解圆的方程时要分析设哪种形式更简单.易错点3：直线与圆相离直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决.易错点4：直线与圆相切直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得.易错点5：直线与圆相交直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理.1．已知A，B分别为x轴，y轴上的动点，若以AB为直径的圆与直线240xy相切，则该圆面积的最小值为（）A．5B．25C．45D．【答案】C【详解】ABQ为直径，90AOB，O点必在圆上，由点O向直线240xy作垂线，垂足为D，当点D恰好为圆与直线的切点时，圆的半径最小，此时圆直径为0,0O到直线240xy的距离2200445521d，即半径255r，所以圆的最小面积2min45Sr，故选：C.2．已知直线(0)ykxk与圆22:214Cxy相交于A，B两点23AB，则k＝（）A．15B．43C．12D．512【答案】B【详解】圆22:214Cxy的圆心2,1C，2r所以圆心2,1C到直线(0)ykxk的距离为d，则2211kdk，而224312ABdr，所以22111kdk，解得：43k.故选：B.3．已知圆C经过点(0,2)，半径为2，若圆C上存在两点关于直线20xkyk对称，则k的最大值为（）A．1B．32C．3D．455【答案】D【详解】设圆心的坐标为,ab，则22(2)4ab，又圆C上存在两点关于直线20xkyk对称，则圆心必在直线上，所以20xkyk与22(2)4xy有交点，则2324kk，解得454555k，故k的最大值为455.故选：D4．已知直线l：310mxym恒过点P，过点P作直线与圆C：22(1)(2)25xy相交于A，B两点，则AB的最小值为（）A．45B．2C．4D．25【答案】A【详解】由(3)10mxy恒过(3,1)P，又22(31)(12)525，即P在圆C内，要使AB最小，只需圆心(1,2)C与P的连线与该直线垂直，所得弦长最短，由||5CP，圆的半径为5，所以225545AB.故选：A5．已知圆C过圆221:42100Cxyxy与圆222:(3)(3)6Cxy的公共点．若圆1C，2C的公共弦恰好是圆C的直径，则圆C的面积为（）A．115B．265C．1305D．1045【答案】B【详解】由题，圆1C，2C的公共弦为2242100xyxy和22(3)(3)6xy的两式相减，化简可得2110xy，又23,3C到2110xy的距离22323112512d，故公共弦长为222626255，故圆C的半径为265，故圆C的面积为265故选：B1．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230xy的距离为（）A．55B．255C．355D．455【答案】B【详解】由于圆上的点2,1在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为,aa，则圆的半径为a，圆的标准方程为222xayaa.由题意可得22221aaa，可得2650aa，解得1a或5a，所以圆心的坐标为1,1或5,5，圆心到直线的距离均为121132555d；圆心到直线的距离均为225532555d圆心到直线230xy的距离均为22555d；所以，圆心到直线230xy的距离为255.故选：B.2．直线30xym与圆22220xyx相切，则实数m等于（）A．3或3B．3或33C．33或3D．33或33【答案】C【详解】圆的方程即为（2213xy），圆心10（，）到直线的距离等于半径33323331mmm＝＝＝或者33m＝故选C．3．过点（，0）引直线ι与曲线21yx交于A,B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线ι的斜率等于A．B．-C．D-【答案】B【详解】画图可知过点（，0）的直线与曲线相切时斜率为-1,所以相交成三角形的直线斜率在（-1,0）之间，故选B.考点：本题主要考查直线与圆的位置关系，考查应用能力和计算能力.4．在圆x2+y2﹣2x﹣6y=0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为A．B．C．D．【答案】B【详解】x2＋y2－2x－6y＝0化成标准方程为（x－1）2＋（y－3）2＝10，则圆心坐标为M（1,3），半径为.由圆的几何性质可知：过点E的最长弦AC为点E所在的直径，则|AC|＝.BD是过点E的最短弦，则点E为线段BD的中点，且AC⊥BD，E为AC与BD的交点，则由垂径定理可是|BD|＝.从而四边形ABCD的面积为|AC||BD|＝××＝.故选B.考点：圆的弦长及四边形的面积.5．若过点(4,0)A的直线l与曲线22(2)1xy有公共点，则直线l的斜率的取值范围为（）A．3,3B．3,3C．33,33D．33,33【答案】C【详解】设直线方程为(4)ykx，即40kxyk，直线l与曲线22(2)1xy有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径22411kkdk，得222141,3kkk，选择C另外，数形结合画出图形也可以判断C正确．一、单选题1．已知A，B分别为x轴，y轴上的动点，若以AB为直径的圆与直线240xy相切，则该圆面积的最小值为（）A．5B．25C．45D．【答案】C【详解】ABQ为直径，90AOB，O点必在圆上，由点O向直线240xy作垂线，垂足为D，当点D恰好为圆与直线的切点时，圆的半径最小，此时圆直径为0,0O到直线240xy的距离2200445521d，即半径255r，所以圆的最小面积2min45Sr，故选：C.2．若直线2232xy与圆224xy相交于,AB两点，O为坐标原点，则OAAB（）A．22B．4C．22D．－4【答案】D【详解】由题意得圆224xy的圆心(0,0)O到直线2232xy的距离为223221(22)d，所以24(2)22AB，所以22AB，所以cosOAABOAABOABcosOAABOAB242AB，故选：D3．过直线5xy上的点作圆22:2410Cxyxy的切线，则切线长的最小值为（）A．32B．23C．15D．6【答案】B【详解】圆22:(1)(2)6Cxy的圆心为(1,2)C，半径为6，因为圆心1,2到直线5xy的距离125322d，所以切线长最小值为2218623ldr.故选：B4．不论k为何值，直线140kxyk都与圆相交，则该圆的方程可以是（）A．222125xyB．221225xyC．223425xyD．221325xy【答案】B【详解】140kxyk，41ykx，∴直线恒过点P（—4，1），对于A，圆心为（2，-1），半径为5，P到圆心的距离为：224211405＞，即P点不在该圆内；对于B，圆心为（-1，-2），半径为5，P到圆心的距离为224112185＜，故点P在该圆内；对于C，圆心为（3，-4），半径为5，P点到圆心的距离为224314745＞，故点P不在该圆内；对于D，圆心为（-1，-3），半径为5，点P到圆心的距离为2241135，点P该在圆上，可能相切也可能相交；故选：B.5．已知直线:20lxy与x轴和y轴分别交于A、B两点，动点P在以点A为圆心，2为半径的圆上，当ABP最大时，△APB的面积为（）A．2B．1C．2D．22【答案】C【详解】由已知2,0A，0,2B圆A的方程为2224xy，当ABP最大时，此时直线PB是圆2224Axy的切线，即直线PB的方程为：2y或0x，当直线PA的方程为2y时，△APB的面积为12222，当直线PA的方程为0x时，△APB的面积为12222，故选：C．6．当圆224xy截直线:10lxmymmR所得的弦长最短时，m的值为（）A．2B．2C．-1D．1【答案】C【详解】直线l过定点1,1A，圆224xy的圆心为0,0O，半径2r，当lOA时，圆224xy截直线:10lxmymmR所得的弦长最短，由于1OAk，所以1lk，即11,1mm.故选：C7．过圆C:22(1)1xy外一点P作圆C的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，若PA⊥PB，则点P到直线:50lxy的距离的最小值为（）A．1B．2C．22D．32【答案】B【详解】∵过圆C:22(1)1xy外一点P向圆C引两条切线,PAPB，切点分别为A，B，由PA⊥PB可知，四边形CAPB为边长为1的正方形，所以||2CP，所以P点的轨迹E是以C(1,0)为圆心，2为半径的圆，圆心(1,0)C到直线:50lxy的距离|105|42222d，所以点P到直线:50lxy的最短距离为2222dr，故选：B8．已知A，B为圆22:4Oxy上的两动点，||23AB，点P是圆22:(3)(4)1Cxy上的一点，则||PAPB的最小值是（）A．2B．4C．6D．8【答案】C【详解】设M是AB的中点，因为||23AB，所以||431OM，即M在以O为圆心，1为半径的圆上，2PAPBPMMAPMMBPM，所以|||2|PAPBPM．又22min||||13414POOC，所以minmin||||1413PMPO，所以min||236PAPB．故选：C.二、多选题9．已知直线:40lxy，圆22:2Oxy，M是l上一点，MA，MB分别是圆O的切线，则（）A．直线l与圆O相切B．圆O上的点到直线l的距离的最小值为2C．存在点M，使90AMBD．存在点M，使AMB为等边三角形【答案】BD【详解】对于A选项，圆心到直线的距离𝑑=|−4|√12+12=2√2√2=𝑟，所以直线和圆相离，故A错误；对于B选项，圆O上的点到直线l的距离的最小值为2dr，故B正确；对于C选项，当OM⊥l时，AMB有最大值60°，故C错误；对于D选项，当OM⊥l时，AMB为等边三角形，故D正确.故选：BD.10．已知圆221:230Oxyx和圆222:210Oxyy的交点为A，B，则（）A．圆1O和圆2O有两条公切线B．直线AB的方程为10xyC．圆2O上存在两点