2023年高考数学二轮复习(全国版理) 第1部分 专题突破 专题5 第2讲　随机变量及其分布

第2讲随机变量及其分布[考情分析]离散型随机变量的分布列、均值、方差和概率的计算问题常常结合在一起进行考查，重点考查超几何分布、二项分布及正态分布，以解答题为主，中等难度．考点一分布列的性质及应用核心提炼离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则(1)pi≥0，i＝1,2，…，n.(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.(3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn.(4)D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn.(5)若Y＝aX＋b，则E(Y)＝aE(X)＋b，D(Y)＝a2D(X)．例1(1)(2022·保定模拟)若离散型随机变量X的分布列为P(X＝k)＝alog2k＋1k(1≤k≤7，k∈Z)，则P(2X≤5)等于()A.14B.23C.13D.13log253答案C解析因为P(X＝k)＝alog2k＋1k＝a[log2(k＋1)－log2k]，P(X＝1)＋P(X＝2)＋…＋P(X＝7)＝1，所以a·(log22－log21＋log23－log22＋…＋log28－log27)＝1，解得a＝13，所以P(2X≤5)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝5)＝13log243＋13log254＋13log265＝13.(2)(2022·烟台模拟)已知随机变量ξ的分布列如下表所示，且满足E(ξ)＝0，则下列方差值中最大的是()ξ－102Pa12bA.D(ξ)B．D(|ξ|)C．D(2ξ＋1)D．D(3|ξ|－2)答案D解析依题意a＋b＋12＝1，－1×a＋0×12＋2×b＝0，解得a＝13，b＝16，所以ξ的分布列为ξ－102P131216则D(ξ)＝13×(－1－0)2＋12×(0－0)2＋16×(2－0)2＝1，则D(2ξ＋1)＝22D(ξ)＝4；|ξ|的分布列为|ξ|102P131216则E(|ξ|)＝1×13＋2×16＝23，D(|ξ|)＝13×1－232＋12×0－232＋16×2－232＝59，所以D(3|ξ|－2)＝32D(|ξ|)＝5，所以D(3|ξ|－2)的值最大．规律方法分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1的性质可求参数的值及检查分布列的正确性．(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率．跟踪演练1(1)(2022·广州调研)投资甲、乙两种股票，每股收益的分布列分别如表1和表2所示．表1股票甲收益的分布列收益X/元－102概率0.10.30.6表2股票乙收益的分布列收益Y/元012概率0.30.40.3则下列结论中正确的是()①投资股票甲的期望收益较小；②投资股票乙的期望收益较小；③投资股票甲比投资股票乙的风险高；④投资股票乙比投资股票甲的风险高．A．①③B．①④C．②③D．②④答案C解析由题意知，E(X)＝－1×0.1＋0×0.3＋2×0.6＝1.1，方差D(X)＝(－1－1.1)2×0.1＋(－1.1)2×0.3＋(2－1.1)2×0.6＝1.29，E(Y)＝0×0.3＋1×0.4＋2×0.3＝1，方差D(Y)＝(0－1)2×0.3＋(1－1)2×0.4＋(2－1)2×0.3＝0.6，所以E(X)E(Y)，D(X)D(Y)，则投资股票乙的期望收益较小，投资股票甲比投资股票乙的风险高．(2)(2022·河南三市联考)甲、乙、丙三人参加2022年冬奥会北京、延庆、张家口三个赛区志愿服务活动，若每人只能选择一个赛区，且选择其中任何一个赛区是等可能的．记X为三人选中的赛区个数，Y为三人没有选中的赛区个数，则()A．E(X)＝E(Y)，D(X)＝D(Y)B．E(X)＝E(Y)，D(X)≠D(Y)C．E(X)≠E(Y)，D(X)≠D(Y)D．E(X)≠E(Y)，D(X)＝D(Y)答案D解析由题意得X的可能取值为1,2,3，则P(X＝1)＝C1333＝19，P(X＝2)＝C23A2333＝23，P(X＝3)＝A3333＝29，∴E(X)＝1×19＋2×23＋3×29＝199，D(X)＝1－1992×19＋2－1992×23＋3－1992×29＝2681，又X＋Y＝3，∴Y＝3－X，∴E(Y)＝3－E(X)＝3－199＝89，D(Y)＝(－1)2D(X)＝D(X)，故选D.考点二随机变量的分布列核心提炼1．二项分布一般地，在n次独立重复试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0p1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．2．超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.考向1相互独立事件例2(2022·全国甲卷)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8，各项目的比赛结果相互独立．(1)求甲学校获得冠军的概率；(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．解(1)设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A，B，C，所以甲学校获得冠军的概率为P＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝0.5×0.4×0.8＋(1－0.5)×0.4×0.8＋0.5×(1－0.4)×0.8＋0.5×0.4×(1－0.8)＝0.16＋0.16＋0.24＋0.04＝0.6.(2)依题可知，X的可能取值为0,10,20,30，所以P(X＝0)＝0.5×0.4×0.8＝0.16，P(X＝10)＝0.5×0.4×0.8＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＝0.44，P(X＝20)＝0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＋0.5×0.6×0.2＝0.34，P(X＝30)＝0.5×0.6×0.2＝0.06.则X的分布列为X0102030P0.160.440.340.06E(X)＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13.考向2超几何分布例3(2022·漳州质检)北京冬奥会某个项目招募志愿者需进行有关专业、礼仪及服务等方面知识的测试，测试合格者录用为志愿者．现有备选题10道，规定每次测试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题者视为合格，已知每位参加笔试的人员测试能否合格是相互独立的．若甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题．求：(1)甲、乙两人至多一人测试合格的概率；(2)甲答对的试题数X的分布列和均值．解(1)根据题意，甲测试合格的概率为C26·C14＋C36C310＝60＋20120＝23；乙测试合格的概率为C28·C12＋C38C310＝56＋56120＝1415，故甲、乙两人都测试合格的概率为23×1415＝2845，则甲、乙两人至多一人测试合格的概率为1－2845＝1745.(2)由题可知，甲答对的试题数X可以取0,1,2,3，又P(X＝0)＝C34C310＝4120＝130，P(X＝1)＝C16·C24C310＝36120＝310，P(X＝2)＝C26·C14C310＝60120＝12，P(X＝3)＝C36C310＝20120＝16，故X的分布列为X0123P1303101216则E(X)＝1×310＋2×12＋3×16＝95.考向3二项分布例4(2022·湖北联考)某中学将立德树人融入到教育的各个环节，开展“职业体验，导航人生”的社会实践教育活动，让学生站在课程“中央”．为了更好地了解学生的喜好情况，根据学校实际将职业体验分为：救死扶伤的医务类、除暴安良的警察类、百花齐放的文化类、公平正义的法律类四种职业体验类型，并在全校学生中随机抽取100名学生调查意向选择喜好类型，统计如下：类型救死扶伤的医务类除暴安良的警察类百花齐放的文化类公平正义的法律类人数30202030在这100名学生中，随机抽取了3名学生，并以统计的频率代替职业意向类型的概率(假设每名学生在选择职业类型时仅能选择其中一类，且不受其他学生选择结果的影响)．(1)求救死扶伤的医务类、除暴安良的警察类这两种职业类型在这3名学生中都有选择的概率；(2)设这3名学生中选择除暴安良的警察类的随机数为X，求X的分布列与均值．解(1)由题意设职业体验选择救死扶伤的医务类、除暴安良的警察类、百花齐放的文化类、公平正义的法律类的概率分别为P(A)，P(B)，P(C)，P(D)，则易知P(A)＝310，P(B)＝15，P(C)＝15，P(D)＝310，所以救死扶伤的医务类、除暴安良的警察类这两类职业类型在这3名学生中都有选择的概率为P1＝A33P(A)·P(B)[1－P(A)－P(B)]＋C13P(A)·P(B)2＋C23P(A)2·P(B)＝A33310·15·12＋C13310152＋C23310215＝27100.(2)由题知选择除暴安良的警察类的概率为P(B)＝15，这3名学生中选择除暴安良的警察类的随机数X的可能取值为0,1,2,3，X～B3，15，则P(X＝i)＝Ci3P(B)i[1－P(B)]3－i(i＝0,1,2,3)，所以X的分布列为X0123P6412548125121251125所以X的均值为E(X)＝3×15＝35.规律方法求随机变量X的均值与方差的方法及步骤(1)理解随机变量X的意义，写出X可能的全部取值；(2)求X取每个值时对应的概率，写出随机变量X的分布列；(3)由均值和方差的计算公式，求得均值E(X)，方差D(X)；(4)若随机变量X的分布列为特殊分布列(如：两点分布、二项分布、超几何分布)，可利用特殊分布列的均值和方差的公式求解．跟踪演练2(2022·广东联考)如图，某市有南、北两条城市主干道，在出行高峰期，北干道有N1，N2，N3，N4，四个交通易堵塞路段，它们被堵塞的概率都是13，南干道有S1，S2，两个交通易堵塞路段，它们被堵塞的概率分别为12，23.某人在高峰期驾车从城西开往城东，假设以上各路段是否被堵塞互不影响．(1)求北干道的N1，N2，N3，N4四个易堵塞路段至少有一个被堵塞的概率；(2)若南干道被堵塞路段的个数为X，求X的分布列及均值E(X)；(3)若按照“平均被堵塞路段少的路线是较好的高峰期出行路线”的标准，则从城西开往城东较好的高峰期出行路线是哪一条？请说明理由．解(1)记北干道的N1，N2，N3，N4四个易堵塞路段至少有一个被堵塞为事件A，则P(A)＝1－1－134＝1－1681＝6581.(2)由题意可知X的可能取值为0,1,2，P(X＝0)＝1－12×1－23＝16，P(X＝1)＝12×1－23＋1－12×23＝12，P(X＝2)＝12×23＝13.随机变量X的分布列为X012P161213E(X)＝0×16＋1×12＋2×13＝76.(3)设北干道被堵塞路段的个数为Y，则Y～B4，13，所以E(Y)＝4×13＝43.因为E(X)E(Y)，所以高峰期出行选择南干道路线较好．考点三正态分布核心提炼解决正态分布问题的三个关键点(1)对称轴x＝μ.(2)样本标准差σ.(3)分布区间：利用3σ原则求概率时，要注意利用μ，σ分布区间的特征把所求的范围转化为3σ的特殊区间．例5(1)(2022·太原模拟)已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，若P(X≥1＋a)＝P(X≤1－a)，则μ等于()A．0B．1C．2D．－1答案B解析因为P(X≥1＋a)＝P(X≤1－a)，根据正态分布的对称性，可得μ＝1＋a＋1－a2＝1.(2)(2022·长春质检)国家质量监督检验标准中，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验