专题06 数列(文理）-2023年高考数学一轮复习小题多维练（全国通用）（解析版）

专题06数列一、单选题1．（2022·全国·高考真题（理））嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列nb：1111b，212111b，31231111b，…，依此类推，其中(1,2,)kkN．则（）A．15bbB．38bbC．62bbD．47bb【答案】D【分析】根据*1,2,kkN…，再利用数列nb与k的关系判断nb中各项的大小，即可求解.【详解】解：因为*1,2,kkN，所以1121，112111，得到12bb，同理11223111，可得23bb，13bb又因为223411,11112233411111，故24bb，34bb；以此类推，可得1357bbbb…，78bb，故A错误；178bbb，故B错误；26231111…，得26bb，故C错误；11237264111111…，得47bb，故D正确.故选：D.2．（2021·全国·高考真题（文））记nS为等比数列na的前n项和.若24S，46S，则6S（）A．7B．8C．9D．10【答案】A【分析】根据题目条件可得2S，42SS，64SS成等比数列，从而求出641SS，进一步求出答案.【详解】∵nS为等比数列na的前n项和，∴2S，42SS，64SS成等比数列∴24S，42642SS∴641SS，∴641167SS.故选：A.3．（2022·江西·高三阶段练习（文））已知数列na的前n项和为nS，且满足12πcos3nnnnaaa，11a，则2023S（）A．0B．12C．lD．32【答案】C【分析】由20231234567202120222023Saaaaaaaaaa求解即可.【详解】解：20231234567202120222023Saaaaaaaaaa2π5π1coscos332018π2021πcoscos332π5π1337coscos133．故选:C．4．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列{}na的前n项和为nS，已知344(1)2012(1)1aa，320092009(1)2012(1)1aa，则下列结论中正确的是（）A．20122012S，20094aaB．20122012S，20094aaC．20122011S，20094aaD．20122011S，20094aa【答案】A【分析】先由题设得410a，200910a，即可得到20094aa；将两式相加，结合立方差公式化简得出420092aa，再由等差数列性质结合求和公式求解即可.【详解】由题意344(1)2012(1)1aa，320092009(1)2012(1)1aa，显然344(1),1aa同号，320092009(1),1aa同号，则410a，200910a，则200941aa，把已知的两式相加可得334420092009(1)2012(1)(1)2012(1)0aaaa，整理可得22420094200942009(2)[(1)(1)(1)(1)2012]0aaaaaa，又42009(1)(1)0aa，则224200942009(1)(1)(1)(1)20120aaaa，所以420092aa，而2012120124200920122012()()201222Saaaa.故选：A．5．（2021·全国·高考真题（理））等比数列na的公比为q，前n项和为nS，设甲：0q，乙：nS是递增数列，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【分析】当0q时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当nS是递增数列时，必有0na成立即可说明0q成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．【详解】由题，当数列为2,4,8,时，满足0q，但是nS不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若nS是递增数列，则必有0na成立，若0q不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则0q成立，所以甲是乙的必要条件．故选：B．【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．6．（2022·北京·高考真题）设na是公差不为0的无穷等差数列，则“na为递增数列”是“存在正整数0N，当0nN时，0na”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】设等差数列na的公差为d，则0d，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】设等差数列na的公差为d，则0d，记x为不超过x的最大整数.若na为单调递增数列，则0d，若10a，则当2n时，10naa；若10a，则11naand，由110naand可得11and，取1011aNd，则当0nN时，0na，所以，“na是递增数列”“存在正整数0N，当0nN时，0na”；若存在正整数0N，当0nN时，0na，取Nk且0kN，0ka，假设0d，令0nkaankd可得kankd，且kakkd，当1kankd时，0na，与题设矛盾，假设不成立，则0d，即数列na是递增数列.所以，“na是递增数列”“存在正整数0N，当0nN时，0na”.所以，“na是递增数列”是“存在正整数0N，当0nN时，0na”的充分必要条件.故选：C.7．（2022·全国·高考真题（文））已知等比数列na的前3项和为168，2542aa，则6a（）A．14B．12C．6D．3【答案】D【分析】设等比数列na的公比为,0qq，易得1q，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.【详解】解：设等比数列na的公比为,0qq，若1q，则250aa，与题意矛盾，所以1q，则31123425111168142aqaaaqaaaqaq，解得19612aq，所以5613aaq.故选：D.8．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）已知等差数列na的前n项和为nS，且满足552sin2350aa，201820182sin2370aa，则下列结论正确的是（）A．20222022S，且52018aaB．20222022S，且52018aaC．20224044S，且52018aaD．20224044S，且52018aa【答案】C【分析】根据题意构造函数()2sin3fxxx，确定函数的奇偶性及单调性，进而根据520182,2fafa的关系即可确定答案.【详解】设函数()2sin3fxxx，则()fx为奇函数，且()2cos30fxx，所以()fx在R上递减，由已知可得552sin2321aa，201820182sin2321aa，有521fa，201821fa，所以5201822fafa，且5201822fafa，所以520185201822aaaa，且5201822aa，所以520184aa，120222022520182022()1011()40442aaSaa.故选：C.9．（2022·全国·模拟预测）已知数列na满足对任意的*nN，总存在*mN，使得nmSa，则na可能等于（）A．2022nB．2022nC．22022nD．2022n【答案】B【分析】A选项，利用等比数列求和公式列出方程，令n＝2时，得到120222023m，m不存在，A错误；B选项，利用等差数列求和公式进行求解得到方程101112022nnm，取12nnm即可，C选项，利用平方和公式得到21216nnnm，当n＝2时，25m，m不存在；D选项，当n＝2时，1112m，m不存在.【详解】对于选项A：当2022nna时，则na是等比数列，因为nmSa所以20222022120222021nm，当n＝2时，120222023m，m不存在，A错误；对于选项B：当2022nan时，na是等差数列，因为nmSa，则120221011120222nnnSnnm，取12nnm即可，B正确；对于选项C：当22022nan时，nmSa，则2222121202212202220226nnnnSnm，当n＝2时，25m，m不存在，C错误；对于选项D：当2022nan时，nmSa，则11120222022123nm，当n＝2时，1112m，m不存在，D错误．故选：B．10．（2021·河南·睢县高级中学高三阶段练习（理））设数列na的通项公式为*121cos1N2nnnann，其前n项和为nS，则120S（）A．60B．120C．180D．240【答案】D【分析】分别取43nk，42k，41k和4k，*kN，可验证出43424148kkkkaaaa，利用周期性可验算得到结果.【详解】当43nk，*Nk时，cos02n，431ka；当42nk，*Nk时，1os2cn，4224211186kakk；当41nk，*Nk时，cos02n，411ka；当4nk，*Nk时，cos12n，424118kakk.4342414186188kkkkaaaakk，12012082404S.故选：D11．（2023·四川·成都七中模拟预测（理））数列na满足2*11102nnnaaanNa，，，则以下说法正确的个数（）①10nnaa②22221231naaaaa；③对任意正数b，都存在正整数m使得12311111111mbaaaa成立④11nanA．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】利用二次函数的性质及递推关系得0na，然后作差1nnaa，可判断①，已知等式变形为21nnnaaa，求出平方和可得②成立，利用简单的放缩可得12111111nnaaa，可判断③，利用数学归纳法思想判断④．【详解】因为22111(+)24nnnnaaaa，若10,2na，则130,4na，∴210nnnaaa，∴10nnaa，①错误；由已知21nnnaaa，∴2221221321111()()()nnnnaaaaaaaaaaaa，②正确；由110,2a及①得1112na，1121na，∴12111111nnaaa，显然对任意的正数b，在在正整数m