考点4-2 三角恒等变换 (文理）-2023年高考数学一轮复习小题多维练（全国通用）（解析版）

考点4-2三角恒等变换1．（2022·全国·高考真题）若sin()cos()22cossin4，则（）A．tan1B．tan1C．tan1D．tan1【答案】C【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.【详解】由已知得：sincoscossincoscossinsin2cossinsin,即：sincoscossincoscossinsin0，即：sincos0,所以tan1,故选：C2．（2021·全国·高考真题（文））22π5πcoscos1212（）A．12B．33C．22D．32【答案】D【分析】由题意结合诱导公式可得22225coscoscossin12121212，再由二倍角公式即可得解.【详解】由题意，2222225coscoscoscoscossin12121221212123cos26.故选：D.3．（2021·全国·高考真题（文））若cos0,,tan222sin，则tan（）A．1515B．55C．53D．153【答案】A【分析】由二倍角公式可得2sin22sincostan2cos212sin，再结合已知可求得1sin4，利用同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】costan22sin2sin22sincoscostan2cos212sin2sin，0,2，cos0，22sin112sin2sin，解得1sin4，215cos1sin4，sin15tancos15.故选：A.4.（2022·全国·模拟预测）函数ππ3sinsin36fxxx的最大值为______．【答案】2【分析】利用三角诱导公式和恒等变换化简得到2cosfxx，从而求出最大值.【详解】πππππ3sinsin3sincos36362fxxxxxπππππ3sincos2sin2sin2cos33362xxxxx故函数fx的最大值为2故答案为：25．（2023·全国·高三专题练习）已知4cos5,4cos5，则coscos的值为________.【答案】0【分析】根据两角和与差的余弦公式展开,联立方程即可解得.【详解】4coscoscossinsin5……（1）4coscoscossinsin5……（2）由（1）+（2）得：442coscos055coscos0故答案为：06.（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知10cos10，且是第二象限角，则sin2（）A．35B．35-C．45D．45【答案】B【分析】由同角三角函数的基本关系及二倍角公式化简求解.【详解】由题意得310sin10，则3sin22sincos5．故选：B7．（2023·全国·高三专题练习）已知3cos234，则25sin6（）A．32B．144C．144D．34【答案】C【分析】由同角三角函数的基本关系与二倍角公式和诱导公式求解即可【详解】因为3cos2cos20364，所以21cos273sin628，且322,2,622kkkZ，所以3,,644kkkZ，所以714sin684，所以2514sinsin4sin6664．故选：C．8．（2023·全国·高三专题练习）已知，0,π，π2tan32，π6cos63，则cos2（）A．539B．33C．539D．33【答案】D【分析】根据待求式的结构，πππ22362求解即可．【详解】解：因为πππππcos(2)cos2sin236236=ππsin2()cos()36-ππcos2()sin()36.222πππ2tan2sin()cos()πππ22333sin22sin()cos()πππ3333sin()cos()tan1333，22222222π1tancos()sin()π1333cos2cos()sin()π3333cos()sin()tan1333；π6cos63，ππ0,62，所以π3sin63，故3cos(2)3．故选：D.9.（2023·全国·高三专题练习）已知ππ20sin246，，则sin1tan________.【答案】41751【分析】由已知条件求出所以πcos4，利用ππsinsin44两角差的正弦展开式可得sin，再根据三角函数的平方关系和商数关系可得答案.【详解】因为π02，πππ444，所以2π234cos1466，所以ππππππsinsinsincoscossin4444442234211762626，所以171sin6，2171cos1sin6，所以sin171tancos171，则171sin41761tan511711171.故答案为：41751.10．（2023·全国·高三专题练习）已知tantan3，1coscos4，则sin______．【答案】34##0.75【分析】由sincoscossintantancoscos可得答案.【详解】sincoscossintantan3coscos，因为1coscos4，所以3sincoscossinsin3coscos4，故答案为：34.11.（2022·全国·高三专题练习（理））设3sin2cos22cos4xxfxx，则下列说法正确的是（）A．fx值域为33,,22B．fx在0,16上单调递增C．fx在,08上单调递减D．4fxfx【答案】B【分析】由题可得2cos4sin43yxx，进而22213y，可判断A，利用三角函数的性质可判断B，利用导函数可判断C，由题可得sin4342cos4xfxx，可判断D.【详解】∵3sin2cos2sin432cos42cos4xxxfxxx，由sin432cos4xyx，可得2cos4sin43yxx，∴22213y，即2y或2y，∴函数的值域为,22，，故A错误；∵sin4313tan42cos422cos4xfxxxx，当0,,40,164xx时，1tan42yx单调递增，2cos4yx单调递减，32cos4yx单调递增，故fx在0,16上单调递增，故B正确；∵,0,4,082xx，sin432cos4xfxx，令sin3,,02cos2tytt，则2222cos2sinsin313sin4cos2costtttytt，由0y，可得1sin3t，,02t，根据正弦函数在,02上单调递增，可知在,02上存在唯一的实数001,0,sin23tt，当0,2tt时，0y，sin32costyt单调递减，当0,0tt时，0y，sin32costyt单调递增，所以fx在,08上有增有减，故C错误；由sin432cos4xfxx，可得sin43sin43sin4342cos42cos42cos4xxxfxfxxxx，故D错误.故选：B.12．（2023·全国·高三专题练习）若130,0,cos,cos2243423，则cos2（）A．33B．33C．539D．69【答案】C【分析】由于coscos2442结合两角和的余弦公式可求解，由已知条件求出sin4，sin42的值，从而可求出答案【详解】coscoscoscossinsin2442442442，因为0,022所以3,444，,4242，因为1cos43，3cos423，所以22sin43，6sin423，则1322653cos233339．故选：C13．（2022·河南·南阳中学模拟预测（文））已知函数sincosxfxax在区间π,π上的图象如图所示，则a（）A．52B．52C．2D．2【答案】B【分析】法一：利用导函数研究出极值点，进而结合图象及极值求出a的值；法二：设函数值为m，使用辅助角公式及三角函数的有界性及极值列出方程，求出a的值.【详解】法一：当0,πx时，222coscossincos1coscosxaxxaxfxaxax设01cosxa，其中00,πx，则00fx，另外0sin0x，所以021sin1xa，故200011sin21cosxafxaxaa，解得：52a，又因为0π102faa，所以52a，故选：B.法二：由0π102faa，2sinsincos1sincosxmxmxmamxmaax，从而2sin1maxm，由于sin1x，所以211mam，解得：211ma，又从图象可以看出sin2cosxfxax，即2m