考点5-2 向量基底、模与数量积(文理）-2023年高考数学一轮复习小题多维练（全国通用）（解析版）

考点5-2向量基底、模与数量积1．（2020·山东·高考真题）已知平行四边形ABCD，点E，F分别是AB，BC的中点（如图所示），设ABa，ADb，则EF等于（）A．12abB．12abC．12baD．12ab【答案】A【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案；【详解】连结AC，则AC为ABC的中位线，111222EFACab，故选：A2．（2022·北京·高考真题）在ABC中，3,4,90ACBCC．P为ABC所在平面内的动点，且1PC，则PAPB的取值范围是（）A．[5,3]B．[3,5]C．[6,4]D．[4,6]【答案】D【分析】依题意建立平面直角坐标系，设cos,sinPθθ，表示出PA，PB，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则0,0C，3,0A，0,4B，因为1PC，所以P在以C为圆心，1为半径的圆上运动，设cos,sinPθθ，0,2，所以3cos,sinPA，cos,4sinPB，所以cos3cos4sinsinPAPB22cos3cos4sinsin13cos4sin15sin，其中3sin5，4cos5，因为1sin1，所以415sin6，即4,6PAPB；故选：D3．（2022·全国·高考真题（理））已知向量,ab满足||1,||3,|2|3abab，则ab（）A．2B．1C．1D．2【答案】C【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.【详解】解：∵222|2|||44abaabb，又∵||1,||3,|2|3,abab∴91443134abab，∴1ab故选：C.4.（2022·全国·高考真题（理））设向量a，b的夹角的余弦值为13，且1a，3br，则2abb_________．【答案】11【分析】设a与b的夹角为，依题意可得1cos3，再根据数量积的定义求出ab，最后根据数量积的运算律计算可得．【详解】解：设a与b的夹角为，因为a与b的夹角的余弦值为13，即1cos3，又1a，3br，所以1cos1313abab，所以22222221311abbabbabb．故答案为：11．5．（2021·全国·高考真题）已知向量0abc，1a，2bc，abbcca_______．【答案】92【分析】由已知可得20abc，展开化简后可得结果.【详解】由已知可得22222920abcabcabbccaabbcca，因此，92abbcca.故答案为：92.6．（2023·河南·洛宁县第一高级中学一模（文））设向量a，b夹角的余弦值为34，且4a，1b，则23abb（）A．2B．3C．4D．4【答案】B【分析】根据向量的数量积公式及向量的数量积的运算律即可求解.【详解】因为向量a，b夹角的余弦值为34，且4a，1b，所以3cos,4134ababab.所以223232333abbabb．故选：B.7．（2023·全国·高三专题练习）已知ab，是平面内两个不共线向量，2ABmab，3BCab，A，B，C三点共线，则m＝（）A．－23B．23C．－6D．6【答案】C【分析】根据向量共线定理，列方程求m即可.【详解】因为A，B，C三点共线，所以AB，BC共线，又ab，是平面内两个不共线向量，所以可设ABBC，因为2ABmab，3BCab，所以23mabtab，所以3,2mtt，所以6m，故选：C.8．（2022·全国·高三专题练习）在平行四边形ABCD中，设CBa，CDb，E为AD的中点，CE与BD交于F，则AF（）A．23abB．23abC．23abD．23ab【答案】B【分析】根据题意得13AFACAD，再分析求解即可.【详解】如下图所示，连接AC与BD交于O，则O为AC的中点，因为E为AD的中点，所以F为三角形ACD的重心，所以112333abAFACADaba.故选：B.9.（2023·全国·高三专题练习）已知△ABC的面积为S满足323S，且3ABBC，AB与BC的夹角为θ.则AB与BC夹角的取值范围_________．【答案】ππ,64.【分析】由题，结合面积公式，向量点乘定义，可得113sinsc3intan22os2BSAACBBC，进一步讨论θ的取值范围即可【详解】由题，πABC，∴11sinsin22SBABBCABBCCA，cos30AABBCBBC，cos0，θ为锐角，∵323S，即313sin222ABBC剟，又3cosABBC，∴3133sin22cos2剟，即333tan222剟，∴3tan13剟，ππ64剟，故答案为：ππ,6410．（2022·上海·模拟预测）若||||||abc，且满足0,2,1abacbc，则___________.【答案】45##145【分析】设,ac，利用数量积定义求出25cos5，即可求出.【详解】因为0ab，所以ab，设,ac.由21acbc可得：cos2cos12acbc，两式相除得：1tan2.又22cossin1，且0,解得：255cos,sin55.因为2ac，所以25cos25ac，解得：45.故答案为：45.11.（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量a、b、c满足221cacb，则4ab与2cb所成夹角的最大值是（）A．6B．3C．23D．56【答案】A【分析】设2ac与2cb夹角为，4ab与2cb所成夹角为，利用平面向量的数量积可得出cos0，并可得出222cos354cos9cos54cos8161654cos，利用基本不等式可求得cos的最小值，可得出的取值范围，即可得解.【详解】设2ac与2cb夹角为，4ab与2cb所成夹角为，4222abaccb，所以，2224242422cos54cosabaccbaccb，①24222222222abcbaccbcbaccbcb2cos0，②又4242cos4cos0cos0abcbabcbab，③②与③联立可得2224cos2cos4cos2cosabab，④①④联立可得22222coscos116cos259354cos9cos1154cos54cos1654cos8161654cos354cos9328161654cos4，当且仅当1cos2时，取等号，233coscos42，0,，则0,6，故4ab与2cb所成夹角的最大值是6，故选：A.【点睛】方法点睛：求平面向量夹角的方法：（1）定义法：利用向量数量积的定义得cos,ababab，其中两向量,ab的取值范围是0,；（2）坐标法：若非零向量()11,axy=r、()22,bxy=r，则121222221122cos,xxyyabxyxy.12．（2023·全国·高三专题练习）已知a与b为单位向量，且a⊥b，向量c满足||2bcarrr，则|c|的可能取值有（）A．6B．5C．4D．3【答案】D【分析】建立平面直角坐标系，由向量的坐标计算公式可得(1,1)cabxy，进而由向量模的计算公式可得22(1)(1)4xy，分析可得C在以(1,1)为圆心，半径为2的圆上，结合点与圆的位置关系分析可得答案．【详解】根据题意，设OAa，OBb，OCc，以O为坐标原点，OA的方向为x轴正方向，OB的方向为y轴的正方向建立坐标系，则(1,0)A，(0,1)B，设(,)Cxy，则(1,1)cabxy，若||2bcarrr，则有22(1)(1)4xy，则C在以(1,1)为圆心，半径为2的圆上，设(1,1)为点M，则||2OM，则有||||||rOMOCrOM剟，即22||22OC剟，则||c的取值范围为22,22；故选：D．13．（2023·全国·高三专题练习）ABC中，24ABACB，，O是ABC外接圆圆心，是OCABCACB的最大值为（）A．0B．1C．3D．5【答案】C【分析】根据给定条件，利用向量运算化简变形向量等式，再利用正弦定理求出||CA的最大值即可计算作答.【详解】过点O作,ODACOEBC，垂足分别为D，E，如图，因O是ABC外接圆圆心，则D，E分别为AC，BC的中点，在ABC中，ABCBCA，则222||||||2ABCACBCACB，即22||||22CACBCACB，21|cos|2COCACOCAOCACDCACA，同理21||2COCBCB，因此，OCABCACBOCCBCACACBCOCACOCBCACB2222211||||2||||||1222CACBCACBCA，由正弦定理得：||sin2sin||2sin2sinsin4ABBBCABACB，当且仅当2B时取“=”，所以OCABCACB的最大值为3.故选：C14．（2022·浙江·湖州市菱湖中学模拟预测）已知平面向量a，b，c满足1a，2b，2aab，22cbc，则22cacb的最小值为_____________.【答案】732【分析】令OAa，OBb，OCc，OB的中点为D，AB的中点为E，OD的中点为F，a与b的夹角为，由题意，计算3，3AB，判断出点C的轨迹为以OD为直径的圆，利用向量基底表示，将222222cbBCaACc转化为222243cbCEca，然后转化为圆上任意一点到定点距离的最小值进而求解222cabc最小值.【详解】令OAa，OBb，OCc，OB的中点为D，AB的中点为E，OD的中点为F，a与b的夹角为，连接CA、CB、CD、CO、EF.由1a，2b，2aab，得112cos，1cos2，因为0,，所以3，在OAB中，由余弦定理得3AB.又由22cbc，得02bcc，所以点C的轨迹为以OD为直径的圆.因为2222222211222422cbACBCECABECABCEABca22143437232CEEF，当且仅当点C、E、F共线，且点C在点E、F之间时，等号成立.所以22cacb的最小值为732.故答案为：732.【点睛】求解向量模的最值问题时，一般需要利用数形结合法，解答本题的关键是将求向量