考向10函数与导数（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（学生版）

考向10函数与导数1.【2022年全国甲卷第6题】6．当1x时，函数()lnbfxaxx取得最大值2，则(2)fA．1B．12C．12D．1【答案】B【解析】2()abfxxx，由条件，得(1)2(1)0fbfab，所以2ab，即222()fxxx，所以2221(2)222f．故选B.2.【2022年乙卷文科第11题】11.函数()cos(1)sin1fxxxx在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为A．ππ,22B．3ππ,22C．ππ,222D．3ππ,222【答案】D【解析】()(1)cosfxxx，当π(0,)2x时，()0fx；当π3π(,)22x时，()0fx；当3π(,2π)2x时，()0fx.所以，3π3π()()22fxf极小值;ππ()()222fxf极大值.又(0)(2π)2ff，所以min3π3π()()22fxf;maxππ()()222fxf.故选D.3.【2022年新高考1卷第10题】10.已知函数3()1fxxx，则（）A.()fx有两个极值点B.()fx有三个零点C.点(0,1)是曲线()yfx的对称中心D.直线2yx是曲线()yfx的切线【答案】AC【解析】由题，231fxx，令0fx得33x或33x，令()0fx得3333x，所以()fx在33(,)33上单调递减，在3(,)3，3(,)3上单调递增，所以33x是极值点，故A正确；因323()1039f，323()1039f，250f，所以，函数fx在3,3上有一个零点，当33x时，303fxf，即函数fx在33,+上无零点，综上所述，函数()fx有一个零点，故B错误；令3()hxxx，该函数的定义域为R，33hxxxxxhx，则()hx是奇函数，(0,0)是()hx的对称中心，将()hx的图象向上移动一个单位得到()fx的图象，所以点(0,1)是曲线()yfx的对称中心，故C正确；令2312fxx，可得1x，又(1)11ff，当切点为(1,1)时，切线方程为21yx，当切点为(1,1)时，切线方程为23yx，故D错误.故选：AC.4．【2022年新高考1卷第12题】12.已知函数()fx及其导函数()fx的定义域均为R，记()()gxfx，若322fx，(2)gx均为偶函数，则（）A.(0)0fB.102gC.(1)(4)ffD.(1)(2)gg【答案】BC【解析】因为322fx，(2)gx均为偶函数，所以332222fxfx即3322fxfx，(2)(2)gxgx，所以3fxfx，(4)()gxgx，则(1)(4)ff，故C正确；函数()fx，()gx的图象分别关于直线3,22xx对称，又()()gxfx，且函数()fx可导，所以30,32ggxgx，所以(4)()3gxgxgx，所以(2)(1)gxgxgx，所以13022gg，112ggg，故B正确，D错误；若函数()fx满足题设条件，则函数()fxC（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定()fx的函数值，故A错误.故选：BC.5.【2022年新高考2卷第14题】写出曲线ln||yx过坐标原点的切线方程：____________，____________．【答案】①.1eyx②.1eyx【解析】因为lnyx，当0x时lnyx，设切点为00,lnxx，由1yx，所以001|xxyx，所以切线方程为0001lnyxxxx，又切线过坐标原点，所以0001lnxxx，解得0ex，所以切线方程为11eeyx，即1eyx；当0x时lnyx，设切点为11,lnxx，由1yx，所以111|xxyx，所以切线方程为1111lnyxxxx，又切线过坐标原点，所以1111lnxxx，解得1ex，所以切线方程为11eeyx，即1eyx；故答案为：1eyx；1eyx6.【2022年新高考1卷第15题】若曲线()exyxa有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是____________．【答案】(,4)(0,)【解析】易得曲线不过原点，设切点为000,()exxxa，则切线斜率为：000'()(1)exfxxa．可得切线方程为00000()e(1)e()xxyxaxaxx，又切线过原点，可得00000()e(1)exxxaxxa，化简得0020aaxx（※），又切线有两条，即※方程有两不等实根，由判别式042aa，得4a，或0a．7.【2022年乙卷理科第16题】已知1xx和2xx分别是函数)10(2)(2aaexaxfx且的极小值点和极大值点，若21xx，则a的取值范围是___________【答案】e1,0【解析】exaaxfxln2'至少要有两个零点1xx和2xx，我们对其求导，eaaxfx2ln22''，（1）若1a，则xf''在R上单调递增，此时若00''xf，则xf'在0,x上单调递减，在,0x上单调递增，此时若有1xx和2xx分别是函数)10(2)(2aaexaxfx且的极小值点和极大值点，则21xx，不符合题意。（2）若10a，则xf''在R上单调递减，此时若00''xf，则xf'在0,x上单调递增，在,0x上单调递减，且20lnlogaexa。此时若有1xx和2xx分别是函数)10(2)(2aaexaxfx且的极小值点和极大值点，且21xx，则需满足00'xf，即22ln12ln12lnln1lnln1lnlnlnlnlnloglnaaaaeaaeaaeeaeaaa，可解得ea或ea10，由于10a，取交集即得ea10。1.求曲线y=f(x)的切线方程的类型及方法（1）已知切点P(x0,y0)，求y=f(x)过点P的切线方程：求出切线的斜率f′(x0)，由点斜式写出方程；（2）已知切线的斜率为k，求y=f(x)的切线方程：设切点P(x0,y0)，通过方程k=f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程；（3）已知切线上一点(非切点)，求y=f(x)的切线方程：设切点P(x0,y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，最后由点斜式或两点式写出方程．（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由k=f′(x0)求出切点坐标(x0,y0)，最后写出切线方程．（5）①在点P处的切线即是以P为切点的切线，P一定在曲线上.②过点P的切线即切线过点P，P不一定是切点．因此在求过点P的切线方程时，应首先检验点P是否在已知曲线上．2．利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式()0fx（()0fx）在给定区间上恒成立．一般步骤为：（1）求f′(x)；（2）确认f′(x)在(a，b)内的符号；（3）作出结论，()0fx时为增函数，()0fx时为减函数．注意：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．3．由函数fx的单调性求参数的取值范围的方法（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上0fx(或0fx)(fx在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；（2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是()0fx(或()0fx)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；（3）若已知fx在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出fx的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围.4．利用导数解决函数的零点问题时，一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点，再利用导数判断在所给区间内的单调性，由此求解.5．求函数f(x)在[a，b]上最值的方法（1）若函数f(x)在[a，b]上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值．（2）若函数f(x)在区间(a，b)内有极值，先求出函数f(x)在区间(a，b)上的极值，与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．（3）函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大(或最小)值点．注意：（1）若函数中含有参数时，要注意分类讨论思想的应用.（2）极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不一定是最值，函数的最值也不一定是极值.要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定.6．利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法：（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，()fxa恒成立，只需min()fxa即可；()fxa恒成立，只需max()fxa即可.（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.易错点1：导数与函数的单调性导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．易错点2：导数与函数的极（最）值求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。易错点3：对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚上为常函数在区间时上为减函数在区间时上为增函数在区间时和增区间为和增区间为DxfxfDxDxfxfDxDxfxfDxDCxfDCxxfBAxfBAxxf)(0)(')(0)(')(0)('...,)(...0)('...,)(...0)('讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论．一、单选题1．曲线e22xyxx在0x处的切线方程是（）A．320xyB．220xyC．220xyD．320xy2．已知函数fx的导函数为fx，且满足21lnfxxfx，则'1f（）A．eB．1C．1D．e3．曲线ln(25)yxx在2x处的切线方程为（）A．4x－y+8＝0B．4x+y+8＝0C．3x－y+6＝0D．3x+y+6＝04．函数21()ln2fxxx的单调递减区间为（）A．(1,1)B．(0,1)C．(1,)D．(0,2)5．已知函数2()2