考向08函数与方程（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（解析版）

考向08函数与方程1．（2022年北京卷第14题）设函数21,()(2),axxafxxxa，若()fx存在最小值，则a的一个取值为，a的最大值为________．【答案】0（答案不唯一），1【解析】由题意知，函数最值于函数单调性相关，故可考虑以0,2为分界点研究函数()fx的性质，当0x时，()1,fxaxxa，该段的值域为2(,1)a，故整个函数没有最小值；当0a时，()1,fxaxxa该段值域为1，而2()(2),fxxxa的值域为0,，故此时()fx的值域为0,，即存在最小值为0，故第一个空可填写0；当02a时，()1,fxaxxa，该段的值域为21,a，而2()(2),fxxxa的值域为0,，若存在最小值，则需满足210a，于是可得01a；当2a时，()1,fxaxxa，该段的值域为21,a，而2()(2),fxxxa的值域为2(2),a，若存在最小值，则需满足221(2)aa，此不等式无解。综上，a的取值范围是0,1，故a的最大值为1.2．（2022年浙江卷第14题）已知22,1()11,1xxfxxxx，则1(())2ff；若当[,]xab时，1()3fx，则ba的最大值为．【答案】37,3328【解析】由题可知：117()2244f，所以1737(())()2428fff．当1x时，令()[1,3]fx，解得[1,1]x；当1x时，令()[1,3]fx，解得(1,23]x．所以()[1,3]fx的解集为[1,23]．所以ba的最大值为3+3．3．（2022年天津卷第15题）定义函数()fx代表2x与235xaxa中较小的数，若()fx至少有3个零点，求a的取值范围____________【答案】[10,)a【解析】2()min2,35fxxxaxa设2()35,gxxaxa()gx在(,2)(2,)上的零点才会成为()fx的零点，2只有在(2)0g时才会成为()fx的零点，()fx至少有个零点有以下三种情况：①(2)0,(2)0()gggx且()gx在(,2)(2,)上有两个零点，转化为253xyx与ya的交点105101105aaaa此或情况无解②(2)0,(2)0gg且()gx在(,2)(2,)上有两个零点105101105aaaa此或情况无解③(2)0,(2)0gg且()gx在(,2)(2,)上至少有一个零点，1051010110aaaaa或综上所述：a的取值范围是[10,)a1.判断函数零点个数的3种方法(1)方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点．(3)图形法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．2.根据函数零点的情况求参数的3种常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．3.利用函数零点位置的对称性求和（1）将函数零点问题转化为两个函数图像的交点问题；（2）①如果两个函数图像都关于直线x=a对称，那么这两2个函数图像的交点也关于直线x=a对称，则对应的两零点之和为2a。②如果两个函数图像都关于点（a，0）对称，那么这两个函数图像的交点也关于点（a，0）对称，则对应的两零点之和为2a。有关函数零点的三个结论1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．2.连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．3.连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．【易错点1】函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)＝0的根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．【易错点2】函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象等综合考虑．1．函数f(x)＝lnx－2x的零点所在的大致范围是()A．(1，2)B．(2，3)C．1e，1和(3，4)D．(4，＋∞)【答案】B【解析】选B.易知f(x)为增函数，由f(2)＝ln2－1＜0，f(3)＝ln3－23＞0，得f(2)·f(3)＜0.2.函数f(x)＝log3x＋x－2的零点所在的区间为()A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)【答案】B【解析】方法一(定理法)：函数f(x)＝log3x＋x－2的定义域为(0，＋∞)，并且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，图象是一条连续曲线．由题意知f(1)＝－10，f(2)＝log320，f(3)＝20，根据零点存在性定理可知，函数f(x)＝log3x＋x－2有唯一零点，且零点在区间(1，2)内．方法二(图象法)：函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝log3x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出两个函数的图象如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1，2)．故选B.3．已知实数a1，0b1，则函数f(x)＝ax＋x－b的零点所在的区间是()A．(－2，－1)B．(－1，0)C．(0，1)D．(1，2)【答案】B【解析】因为a1，0b1，f(x)＝ax＋x－b，所以f(－1)＝1a－1－b0，f(0)＝1－b0，由零点存在性定理可知f(x)在区间(－1，0)上存在零点．4．设函数f(x)＝13x－lnx，则函数y＝f(x)()A．在区间1e，1，(1，e)内均有零点B．在区间1e，1，(1，e)内均无零点C．在区间1e，1内有零点，在区间(1，e)内无零点D．在区间1e，1内无零点，在区间(1，e)内有零点【答案】D【解析】选D.令f(x)＝0得13x＝lnx，作出函数y＝13x和y＝lnx的图象，如图，显然y＝f(x)在区间1e，1内无零点，在区间(1，e)内有零点．5.函数f(x)＝x2＋x－2，x≤0，－1＋lnx，x0的零点个数为()A．3B．2C．1D．0【答案】B【解析】方法一(方程法)：由f(x)＝0，得x≤0，x2＋x－2＝0或x0，－1＋lnx＝0，解得x＝－2或x＝e.因此函数f(x)共有2个零点．方法二(图形法)：函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点．6．已知函数f(x)＝x2－2x，x≤0，1＋1x，x0，则函数y＝f(x)＋3x的零点个数是()A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】选C.令f(x)＋3x＝0，则x≤0，x2－2x＋3x＝0或x0，1＋1x＋3x＝0，解得x＝0或x＝－1，所以函数y＝f(x)＋3x的零点个数是2.7．函数f(x)＝1－x2，|x|≤1，|x|，|x|1，若方程f(x)＝a有且只有一个实数根，则实数a满足()A．a＝1B．a1C．0≤a1D．a0【答案】A【解析】方程f(x)＝a有且只有一个实数根，即直线y＝a与f(x)的图象有且只有一个交点，作出函数f(x)的图象如图所示，当a＝1时，直线y＝a与函数f(x)的图象有且只有一个交点，故选A.8.已知函数f(x)＝ex，x≤0，lnx，x0，g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是________．【答案】[－1，＋∞)【解析】函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1.9．若函数f(x)＝2x－a，x≤0，lnx，x0有两个不同的零点，则实数a的取值范围是________．【答案】(0，1]【解析】当x0时，由f(x)＝lnx＝0，得x＝1.因为函数f(x)有两个不同的零点，则当x≤0时，函数f(x)＝2x－a有一个零点．令f(x)＝0，得a＝2x.因为02x≤20＝1，所以0a≤1，所以实数a的取值范围是(0，1]．10.函数f(x)＝ln（－x－1），x－1，2x＋1，x≥－1，若函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________．【答案】[－1，＋∞)【解析】设t＝f(x)，令g(x)＝f(f(x))－a＝0，则a＝f(t)．在同一平面直角坐标系内作y＝a，y＝f(t)的图象(如图)．当a≥－1时，y＝a与y＝f(t)的图象有两个交点．设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2t1)，则t1－1，t2≥－1.当t1－1时，t1＝f(x)有一解；当t2≥－1时，t2＝f(x)有两解．综上，当a≥－1时，函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点．一、单选题1．（2022·江西赣州·二模（文））下列四个命题中正确的是（）A．若函数yfx的定义域为1,1，则1yfx的定义域为0,2B．若正三角形ABC的边长为2，则2ABBCC．已知函数2log11fxx，则函数yfx的零点为1,0D．“”是“tantan”的既不充分也不必要条件【答案】D【解析】对于A选项，若函数yfx的定义域为1,1，对于函数1yfx，则有111x，解得20x，即函数1yfx的定义域为2,0，A错；对于B选项，若正三角形ABC的边长为2，则cos1202ABBCABBC，B错；对于C选项，已知函数2log11fxx，令0fx，解得1x，所以，函数yfx的零点为1，C错；对于D选项，若2，则tan、tan无意义，即“”“tantan”；若tantan，可取4，54，则，即“”“tantan”.因此，“”是“tantan”的既不充分也不必要条件，D对.故选：D.2．（2021·河南·模拟预测（理））已知a是方程lg3xx的解，b是方程21003xx的解，则（）A．232abB．23abC．23abD．322ab【答案】C【解析】在21003xx中，令2tx，则有103tt，因为lgyx与10xy互为反函数，图象关于yx对称.依题意可知a，t就是直线3yx与曲线lgyx，10xy交点的横坐标，所以322at，所以3at，即23ab.故选：C.3．（2022·北京西城·一模）如图，曲线C为函数5sin(0)2yxx≤≤的图象，甲粒子沿曲线C从A点向目的地B点运动，乙粒子沿曲线C从B点向目的地A点运动.两个粒子同时出发，且乙的水平速率为甲的2倍，当其中一个粒子先到达目的地时，另一个粒子随之停止运动.在运动过程中，设甲粒子的坐标为(,)mn，乙粒子的坐标为(,)uv，若记()nvfm，则下列说法中正确的是（）A．()fm在区间(,)2上是增函数B．()fm恰有2个零点C．()fm的最小值为2D．()fm的图