考向20等比数列及其前n项和（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（学生版）

考向20等比数列1（2021年甲卷理科第7题）等比数列na的公比为q，前n项和为nS．设甲：0q．乙：nS是递增数列，则A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲不是乙的充分条件也不是必要条件【答案】B【解析】11,2aq时，nS是递减数列，所以甲不是乙的充分条件；nS是递增数列，可以推出110nnnaSS，可以推出0q，甲是乙的必要条件．故选：B．2.（2021年甲卷文科第9题）记nS为等比数列{}na的前n项和．若24S，46S，则6SA．7B．8C．9D．10【答案】A【解析】由题意可知，124aa，342aa，因为{}na是等比数列，所以561aa，从而64217S．3.（2022年乙卷理科第8题，文科第10题）已知等比数列{}na的前3项和为168，2542aa，则6aA．14B．12C．6D．3【答案】D【解析】设等比数列{}na首项1a，公比q由题意，1232516842aaaaa，即2131(1)168(1)42aqqaqq，即2121(1)168(1)(1)42aqqaqqqq解得，12q，196a，所以5613aaq4．（2021年上海第8题）已知等比数列123,nnaba，na的各项和为9，则数列nb的各项和为________．【答案】185【解析】因为na的各项和为9，13a，所以191aq，解得23q，所以12492nnnba即数列的各项和为1221841519bSq5.（2022新课标2卷第17题）已知{}na为等差数列，{}nb是公比为2的等比数列，且223344ababba（1）证明：11ab；（2）求集合1{|,1500}kmkbaam剟中元素的个数．【答案】（1）见解析；（2）9．【解析】（1）设等差数列{}na公差为d由2233abab，知1111224adbadb，故12db由2244abba，知1111283adbbad，故111243adbdad；故1112adbda，整理得11ab，得证．（2）由（1）知1122dba，由1kmbaa知：111121kbamda即11111212kbbmbb，即122km，因为1500m剟，故1221000k剟，解得210k剟故集合1{|,1500}kmkbaam剟中元素的个数为9个．1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件．利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．2.在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．3.解决等比数列基本运算问题的两种常用思想(1)方程的思想:等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解;(2)分类讨论的思想:等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝a1（1－qn）1－q＝a1－anq1－q.1．等比数列的单调性当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列；当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列；当q＝1时，{an}是常数列．2．等比数列与指数函数的关系当q≠1时，an＝a1q·qn，可以看成函数y＝cqx，是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列{an}各项所对应的点都在函数y＝cqx的图象上．3．等比数列{an}的前n项和Sn＝A＋B·Cn⇔A＋B＝0，公比q＝C.(A，B，C均不为零)1．在等比数列中，易忽视每一项与公比都不为0.2．在求等比数列的前n项和时，易忽略q＝1这一特殊情形．1．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1＝－2，S3＝－6，且公比q≠1，则a3＝()A．－2B．2C．－8D．－2或－82．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4＝()A．16B．15C．8D．73．已知在等比数列{an}中，a3＝7，前三项之和S3＝21，则公比q的值是()A．1B．－12C．1或－12D．－1或124.设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则公比q＝()A．5B．4C．3D．25.在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的两个实数根，则a2a16a9的值为()A．－2＋22B．－2C.2D．－2或26.设单调递增等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a4＝10，a2a3a4＝64，则正确的是()A．Sn＝2n－1－1B．an＝2nC．Sn＋1－Sn＝2n＋1D．Sn＝2n－17．(多选)已知数列{an}是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是()A.1anB．{log2a2n}C．{an＋an＋1}D．{an＋an＋1＋an＋2}8．(多选)已知数列{an}是正项等比数列，且2a3＋3a7＝6，则a5的值可能是()A．2B．4C.85D.839.已知数列{an}是等比数列，a2＝1，a5＝－18，若Sk＝－118，则k＝________．10.设等比数列{an}满足a1＋a2＝4，a3－a1＝8.则通项公式an＝________．11．在等比数列{an}中，a2＝4，a10＝16，则a2和a10的等比中项为________．12．在等比数列{an}中，若a1a5＝16，a4＝8，则a6＝________．13.在等比数列{an}中，a1＝6，a2＝12－a3.(1)求{an}的通项公式；(2)记Sn为{an}的前n项和，若Sm＝66，求m.14.在数列{bn}中，点(bn，Tn)在直线y＝－12x＋1上，其中Tn是数列{bn}的前n项和．求证：数列{bn}是等比数列．一、单选题1．（2022·上海奉贤·二模）若a，b，c，d成等比数列，则下列三个数列：①,,abbccd；②,,abbccd；③,,abbccd，必成等比数列的个数为（）A．0B．1C．2D．32．（2022·陕西西安·一模（理））2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽脱贫攻坚取得重大胜利！为进步巩固脱贫攻坚成果，接续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金500万元，资金年平均增长率可达到20%．每年年底扣除下一年必须的消费资金后，剩余资金全部投入再生产为了实现5年后投入再生产的资金达到800万元的目标，每年应扣除的消费资金至多为（）（单位：万元，结果精确到万元）（参考数据：41.22.07，51.22.49）A．83B．60C．50D．443．（2022·四川凉山·三模（理））下列选项中，p是q的充分不必要条件的是（）A．ABC中，:pAB，:sinsinqABB．2:pbac，:,,qabc成等比数列C．nS是数列na的前n项和，p：数列na为等比数列，q：数列mS，2mmSS，32mmSS成等比数列D．R，:tan2p，3:cos25q4．（2022·全国·模拟预测（文））设正项等比数列na的前n项和为nS，19a，31a．记121,2,nnTaaan，下列说法正确的是（）A．数列na的公比为13B．272nSC．nT存在最大值，但无最小值D．2343nnnnTa5．（2022·江西省丰城中学模拟预测（理））记数列13n中不超过正整数n的项的个数为na，设数列na的前n项的和为nS，则3kSNk等于（）A．1323kkkB．13322kkkC．333722kkkD．37322kk6．（2022·浙江省义乌中学模拟预测）已知数列nnnabc、、满足*111112233411111112334nnnnnnnnnnnbabccaaccnSnTnbbbbaaanN，，，（），（），则下列有可能成立的是（）A．若na为等比数列，则220222022abB．若nc为递增的等差数列，则20222022STC．若na为等比数列，则220222022abD．若nc为递增的等差数列，则20222022ST二、多选题7．（2022·全国·模拟预测）已知等比数列na的公比为q，且20221a，记na的前n项和为nS，前n项积为nT，则下列说法正确的是（）A．当01q时，nS递减B．当0q时，40434043SC．当1q时，2022nTTD．当10q时，2022nTT8．（2022·湖北武汉·二模）数列na共有M项（常数M为大于5的正整数），对任意正整数kM„，有10kMkaa，且当2Mn„时，12nna.记na的前n项和为nS，则下列说法中正确的有（）A．若10231024nS„，则20M„B．na中可能出现连续五项构成等差数列C．对任意小于M的正整数,pq，存在正整数,ij，使得ijpqaaSSD．对na中任意一项ra，必存在,staast，使得,,rstaaa按照一定顺序排列可以构成等差数列三、填空题9．（2022·山东青岛·二模）将等差数列中的项排成如下数阵，已知该数阵第n行共有12n个数，若12a，且该数阵中第5行第6列的数为42，则na___________.a1a2a3a4a5a6a7……10．（2021·四川成都·三模（理））已知等比数列na的前n项和nS满足12nnSm，数列nb满足2lognnba，其中*nN，给出以下命题：①1m；②若4nntab对*nN恒成立，则132t；③设36()nnfnaa，*nN，则fn的最小值为12；④设21,4,4nnnnbbncan，*nN若数列nc单调递增，则实数的取值范围为15,34．其中所有正确的命题的序号为________．11．（2022·广西师范大学附属外国语学校模拟预测）设等差数列na的前n项和为nS，等比数列nb的前项和13nnTk，数列nc满足12c，23c，33cb，且1nnncca；下列几个结论中，所有正确结论的编号为___________.①3k；②222211nnnnabab；③221nnnSSS；④121111nncccn.12．（2022·全国·长郡中学模拟预测）公比为q的等比数列{na}满足：910ln0aa，记123nnTaaaa，则当q最小时，使1nT成立的最小n值是___________13．（2022·山东青岛·二模）已知等比数列na为递增数列，11a，12a是2a与3a的等差中项.(1)求数列na的通项公式；(2)若项数为n的数列nb满足：1inibb（1i，2，3，…，n）我们称其为n项的“对称数列”.例如：数列1，2，2，1为4项的“对称数列”；数列1，2，3，2，1为5项的“对称数列”.设数列nc为212kk项的“对称数列”，其中1c，2c，3c，…，nc是公差为2的等差数列，数列nc的最大项等于4a.记数列nc的前21k项和为21kS，若2132kS，求k.14．（2022·天津市咸水沽第一中学模拟预测）已知数列na满足11nnaa，其前5项和为15