第4章　§4.6　函数y＝Asin(ωx＋φ)

§4.6函数y＝Asin(ωx＋φ)考试要求1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．知识梳理1．简谐运动的有关概念已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)，x≥0振幅周期频率相位初相AT＝_____f＝1T＝ω2πωx＋φφ2.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)一个周期内的简图时，要找五个特征点ωx＋φ0π2π3π22πxy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A03.函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象的两种途径常用结论1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．2．函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋π2，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A.()(2)函数f(x)＝sin2x向右平移π6个单位长度后对应的函数g(x)＝sin2x－π6.()(3)把y＝sinx的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，所得函数解析式为y＝sin12x.()(4)如果y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为T2.()教材改编题1．函数y＝2sin2x＋π4的振幅、频率和初相分别为()A．2，1π，π4B．2，12π，π4C．2，1π，π8D．2，12π，－π82．(2022·浙江)为了得到函数y＝2sin3x的图象，只要把函数y＝2sin3x＋π5图象上所有的点()A．向左平移π5个单位长度B．向右平移π5个单位长度C．向左平移π15个单位长度D．向右平移π15个单位长度3．某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系式f(t)＝2sin5π12t－π6，其中f(t)的单位为m，t的单位是h，则12点时潮水的高度是________m.题型一函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换例1(1)(2021·全国乙卷)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y＝sinx－π4的图象，则f(x)等于()A．sinx2－7π12B．sinx2＋π12C．sin2x－7π12D．sin2x＋π12(2)(2022·全国甲卷)将函数f(x)＝sinωx＋π3(ω＞0)的图象向左平移π2个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是()A.16B.14C.13D.12听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华(1)由y＝sinωx的图象到y＝sin(ωx＋φ)的图象的变换：向左平移φω(ω0，φ0)个单位长度而非φ个单位长度．(2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值．跟踪训练1(1)(2023·洛阳模拟)已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sin2x＋π3，为了得到曲线C2，则对曲线C1的变换正确的是()A．先把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度B．先把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向左平移π6个单位长度C．先把横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向右平移π12个单位长度D．先把横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度(2)(2023·宁波模拟)将函数y＝tanωx－π2(ω0)的图象分别向左、向右各平移π6个单位长度后，所得的两个图象对称中心重合，则ω的最小值为()A.32B．2C．3D．6题型二由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式例2(1)(2023·芜湖模拟)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)＋bA0，ω0，|φ|π2的大致图象如图所示，将函数f(x)的图象上点的横坐标拉伸为原来的3倍后，再向左平移π2个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的单调递增区间为()A.－3π2＋3kπ，3kπ(k∈Z)B.3kπ，3kπ＋3π2(k∈Z)C.－7π4＋3kπ，－π4＋3kπ(k∈Z)D.－π4＋3kπ，5π4＋3kπ(k∈Z)(2)(2021·全国甲卷)已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则fπ2＝______.听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A0，ω0)的步骤和方法(1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝M－m2，b＝M＋m2.(2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝2πT.(3)求φ.常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．跟踪训练2(1)(2020·全国Ⅰ改编)设函数f(x)＝cosωx＋π6在[－π，π]上的图象大致如图，则f(x)的解析式为()A．f(x)＝cos－32x＋π6B．f(x)＝cos32x＋π6C．f(x)＝cos34x－π6D．f(x)＝cos34x＋π6(2)(2023·潍坊模拟)已知函数g(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω0，|φ|π)的部分图象如图所示，将函数g(x)的图象向右平移π6个单位长度，得到函数f(x)的图象，则f35π12＝________.听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________题型三三角函数图象、性质的综合应用命题点1图象与性质的综合应用例3(2023·临沂模拟)已知函数f(x)＝3sin2ωx＋cos2ωx(ω0)的零点构成一个公差为π2的等差数列，把f(x)的图象沿x轴向右平移π3个单位长度得到函数g(x)的图象，则()A．g(x)在π4，π2上单调递减B．点π4，0是g(x)的一个对称中心C．g(x)是奇函数D．g(x)在区间π6，2π3上的值域为[0,2]听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________命题点2函数零点(方程根)问题例4已知关于x的方程2sin2x－3sin2x＋m－1＝0在π2，π上有两个不同的实数根，则m的取值范围是____________．延伸探究本例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m的取值范围是________．听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________命题点3三角函数模型例5(多选)(2023·石家庄模拟)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图1)，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图2)．一半径为2米的筒车水轮如图3所示，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图3中点P0)开始计时，则下列结论正确的是()A．点P再次进入水中时用时30秒B．当水轮转动50秒时，点P处于最低点C．当水轮转动150秒时，点P距离水面2米D．点P第二次到达距水面(1＋3)米时用时25秒听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华(1)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．(3)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．跟踪训练3(1)(2022·长沙模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A0，ω0，－πφ－π2的部分图象如图所示，把函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的1110倍，得到函数y＝g(x)的图象，则下列说法正确的是()A．gx＋π3为偶函数B．g(x)的最小正周期是πC．g(x)的图象关于直线x＝π2对称D．g(x)在区间7π12，π上单调递减(2)(2023·六安模拟)已知函数f(x)＝sinπωx－3cosπωx(ω0)在(0,1)内恰有3个极值点和4个零点，则实数ω的取值范围是()A.103，236B.103，133C.176，133D.176，236(3)(2022·南京模拟)时钟花是原产于南美热带雨林的藤蔓植物，其开放与闭合与体内的一种时钟酶有关．研究表明，当气温上升到20℃时，时钟酶活跃起来，花朵开始开放；当气温上升到28℃时，时钟酶的活性减弱，花朵开始闭合，且每天开闭一次．已知某景区一天内5～17时的气温T(单位：℃)与时间t(单位：h)近似满足关系式T＝20－10sinπ8t－π8，则该景区这天时钟花从开始开放到开始闭合约经历()sin3π10≈0.8A．1.4hB．2.4hC．3.2hD．5.6h