第4章　§4.8　正弦定理、余弦定理

§4.8正弦定理、余弦定理考试要求1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.理解三角形的面积公式并能应用.3.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．知识梳理1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容asinA＝＝＝2Ra2＝；b2＝；c2＝变形(1)a＝2RsinA，b＝，c＝；(2)sinA＝a2R，sinB＝，sinC＝；(3)a∶b∶c＝____________cosA＝；cosB＝；cosC＝2．三角形解的判断A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinAaba≥bab解的个数一解两解一解一解3．三角形中常用的面积公式(1)S＝12aha(ha表示边a上的高)；(2)S＝＝＝；(3)S＝(r为三角形的内切圆半径)．常用结论在△ABC中，常有以下结论：(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(3)ab⇔AB⇔sinAsinB，cosAcosB.(4)sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sinA＋B2＝cosC2；cosA＋B2＝sinC2.(5)三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.(6)三角形中的面积S＝pp－ap－bp－cp＝12a＋b＋c.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．()(2)在△ABC中，若sinAsinB，则AB.()(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．()(4)当b2＋c2－a20时，△ABC为锐角三角形．()教材改编题1．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC等于()A.π6B.π3C.2π3D.5π62．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为4，a＝2，B＝30°，则c等于()A．8B．4C．833D．4333．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝30°，b＝2，c＝2，则C＝.题型一利用正弦定理、余弦定理解三角形例1(12分)(2022·新高考全国Ⅰ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA1＋sinA＝sin2B1＋cos2B.(1)若C＝2π3，求B；[切入点：二倍角公式化简](2)求a2＋b2c2的最小值．[关键点：找到角B与角C，A的关系]思维升华解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．跟踪训练1(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A)．(1)证明：2a2＝b2＋c2；(2)若a＝5，cosA＝2531，求△ABC的周长．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________题型二正弦定理、余弦定理的简单应用命题点1三角形的形状判断例2(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c－acosB＝(2a－b)cosA，则△ABC的形状为()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形(2)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，c－a2c＝sin2B2，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________延伸探究将本例(2)中的条件“c－a2c＝sin2B2”改为“sinAsinB＝ac，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc”，试判断△ABC的形状．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华判断三角形形状的两种思路(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．命题点2三角形的面积例3(2022·浙江)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知4a＝5c，cosC＝35.(1)求sinA的值；(2)若b＝11，求△ABC的面积．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．命题点3与平面几何有关的问题例4(2023·厦门模拟)如图，已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，b(1＋cosC)＝3csin∠ABC且△ABC的外接圆面积为49π3.(1)求边c的长；(2)若a＝5，延长CB至M，使得cos∠AMC＝217，求BM.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华在平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题时，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，再解方程即可．若研究最值，常使用函数思想．跟踪训练2(1)(多选)(2023·合肥模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的是()A．若acosA＝bcosB，则△ABC一定是等腰三角形B．若bcosC＋ccosB＝b，则△ABC是等腰三角形C．若acosA＝bcosB＝ccosC，则△ABC一定是等边三角形D．若B＝60°，b2＝ac，则△ABC是直角三角形(2)在①b2＋2ac＝a2＋c2；②cosB＝bcosA；③sinB＋cosB＝2这三个条件中任选一个填在下面的横线中，并解决该问题．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，A＝π3，b＝2，求△ABC的面积．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(3)(2022·重庆八中模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，在①c(sinA－sinC)＝(a－b)(sinA＋sinB)；②2bcosA＋a＝2c；③233acsinB＝a2＋c2－b2三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．①若，求角B的大小；②求sinA＋sinC的取值范围；________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________③如图所示，当sinA＋sinC取得最大值时，若在△ABC所在平面内取一点D(D与B在AC两侧)，使得线段DC＝2，DA＝1，求△BCD面积的最大值．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________