第7章　§7.6　空间向量的概念与运算

§7.6空间向量的概念与运算考试要求1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.3.理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理．知识梳理1．空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有__________和________的量相等向量方向________且模________的向量相反向量长度________而方向________的向量共线向量(或平行向量)表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相________或______的向量共面向量平行于________________的向量2.空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使________________．(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在______的有序实数对(x，y)，使p＝______.(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝____________，{a，b，c}叫做空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积非零向量a，b的数量积a·b＝________________．(2)空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．向量表示坐标表示数量积a·b共线a＝λb(b≠0，λ∈R)垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)模|a|夹角余弦值cos〈a，b〉＝a·b|a||b|(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝______________4.空间位置关系的向量表示(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量．(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a为平面α的法向量．(3)空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2(λ∈R)l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m，l⊄αl∥αn⊥m⇔n·m＝0l⊥αn∥m⇔n＝λm(λ∈R)平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔n＝λm(λ∈R)α⊥βn⊥m⇔n·m＝0常用结论1．三点共线：在平面中A，B，C三点共线⇔OA→＝xOB→＋yOC→(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点．2．四点共面：在空间中P，A，B，C四点共面⇔OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)空间中任意两个非零向量a，b共面．()(2)空间中模相等的两个向量方向相同或相反．()(3)若A，B，C，D是空间中任意四点，则有AB→＋BC→＋CD→＋DA→＝0.()(4)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则a∥α.()教材改编题1.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M，设AB→＝a，AD→＝b，AA1—→＝c，则下列向量中与C1M—→相等的向量是()A．－12a＋12b＋cB.12a＋12b＋cC．－12a－12b－cD．－12a－12b＋c2.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝2a3，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A．相交B．平行C．垂直D．不能确定3．设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，则m＝________.题型一空间向量的线性运算例1(1)在空间四边形ABCD中，AB→＝(－3,5,2)，CD→＝(－7，－1，－4)，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则EF→的坐标为()A．(2,3,3)B．(－2，－3，－3)C．(5，－2,1)D．(－5,2，－1)(2)(2023·北京日坛中学模拟)在三棱柱A1B1C1－ABC中，D是四边形BB1C1C的中心，且AA1—→＝a，AB→＝b，AC→＝c，则A1D—→等于()A.12a＋12b＋12cB.12a－12b＋12cC.12a＋12b－12cD．－12a＋12b＋12c听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华用已知向量表示某一向量的三个关键点(1)要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．(3)在立体几何中，三角形法则、平行四边形法则仍然成立．跟踪训练1(1)已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝12x－2a，则x等于()A．(0,3，－6)B．(0,6，－20)C．(0,6，－6)D．(6,6，－6)(2)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．①化简A1O—→－12AB→－12AD→＝________；②用AB→，AD→，AA1—→表示OC1—→，则OC1—→＝________.题型二空间向量基本定理及其应用例2(1)下列命题正确的是()A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线B．向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面C．若空间向量a，b，c不共面，则a，b，c都不为0D．若a，b，c共面，则存在唯一的实数对(x，y)，使得a＝xb＋yc(2)(多选)下列说法中正确的是()A．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件B．若AB→，CD→共线，则AB∥CDC．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若OP→＝34OA→＋18OB→＋18OC→，则P，A，B，C四点共面D．若P，A，B，C为空间四点，且有PA→＝λPB→＋μPC→(PB→，PC→不共线)，则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华应用共线(面)向量定理、证明点共线(面)的方法比较三点(P，A，B)共线空间四点(M，P，A，B)共面PA→＝λPB→MP→＝xMA→＋yMB→对空间任一点O，OP→＝OA→＋tAB→对空间任一点O，OP→＝OM→＋xMA→＋yMB→对空间任一点O，OP→＝xOA→＋(1－x)OB→对空间任一点O，OP→＝xOM→＋yOA→＋(1－x－y)OB→跟踪训练2(1)已知空间中A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线，设P为空间中任意一点，若BD→＝6PA→－4PB→＋λPC→，则λ等于()A．2B．－2C．1D．－1(2)(2023·金华模拟)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，且满足DE→＝xDA→＋yDC→＋(1－x－y)DD1—→，则|DE→|的最小值是()A.13B.23C.33D.23题型三空间向量数量积及其应用例3(1)已知点O为空间直角坐标系的原点，向量OA→＝(1,2,3)，OB→＝(2,1,2)，OP→＝(1,1,2)，且点Q在直线OP上运动，当QA→·QB→取得最小值时，OQ→的坐标是______．听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________(2)如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.①求线段AC1的长；②求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值；③求证：AA1⊥BD.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华空间向量的数量积运算有两条途径，一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算．跟踪训练3(1)(2023·益阳模拟)在正三棱锥P－ABC中，O是△ABC的中心，PA＝AB＝2，则PO→·PA→等于()A.59B.63C.423D.83(2)(2022·营口模拟)已知A(－1,2,1)，B(－1,5,4)，C(1,3,4)．①求〈AB→，BC→〉；②求AC→在AB→上的投影向量．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________题型四向量法证明平行、垂直例4如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．(1)求证：B1E⊥AD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华(1)利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素)．(2)向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理．跟踪训练4如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．(1)求证：平面A1B1D⊥平面ABD；(2)求证：平面EGF∥平面ABD._____________________________________________________________________________________________________________________________________________________