第3节 平面向量的数量积及其应用

第3节平面向量的数量积及其应用考试要求1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与投影向量的长度的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.1.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos__θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.(3)投影向量如图，在平面内任取一点O，作OM→＝a，ON→＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则OM1→就是向量a在向量b上的投影向量.设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则OM1→与e，a，θ之间的关系为OM1→＝|a|cosθe.2.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.(1)数量积：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2.(2)模：|a|＝a·a＝x21＋y21.(3)夹角：cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤x21＋y21·x22＋y22.3.平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律).(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).4.平面几何中的向量方法三步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；(3)把运算结果“翻译”成几何关系.1.两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b0且a，b不共线.2.平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.3.数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)，不能得出b＝c，两边不能约去同一个向量.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)两个向量的夹角的范围是0，π2.()(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.()(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.()(4)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.()答案(1)×(2)√(3)√(4)×解析(1)两个向量夹角的范围是[0，π].(4)由a·b＝a·c(a≠0)得|a||b|·cos〈a，b〉＝|a||c|·cos〈a，c〉，所以向量b和c不一定相等.2.(2021·湖州二模)在边长为3的等边三角形ABC中，BM→＝12MC→，则BA→·BM→＝()A.32B.32C.34D.12答案B解析∵BM→＝12MC→，∴BM→＝13BC→，∴BA→·BM→＝13BA→·BC→＝13|BA→||BC→|cosπ3＝13×3×3×12＝32.3.(多选)(2021·青岛统检)已知向量a＋b＝(1，1)，a－b＝(－3，1)，c＝(1，1)，设a，b的夹角为θ，则()A.|a|＝|b|B.a⊥cC.b∥cD.θ＝135°答案BD解析由a＋b＝(1，1)，a－b＝(－3，1)，得a＝(－1，1)，b＝(2，0)，则|a|＝2，|b|＝2，故A不正确；a·c＝－1×1＋1×1＝0，故B正确；不存在λ∈R，使b＝λc成立，故C不正确；cosθ＝a·b|a|·|b|＝－22×2＝－22，所以θ＝135°，故D正确.综上知选BD.4.(2021·衡阳一模)非零向量a，b，c满足a·b＝a·c，a与b的夹角为π6，|b|＝4，则c在a上的投影向量的长度为()A.2B.23C.3D.4答案B解析由a·b＝a·c，可得|a||b|cos〈a，b〉＝|a||c|cos〈a，c〉，因为|a|≠0，所以|c|cos〈a，c〉＝|b|cos〈a，b〉＝4×cosπ6＝23，所以c在a上的投影向量的长度为||c|cos〈a，c〉|＝23.5.(易错题)已知a，b为非零向量，则“a·b＞0”是“a与b的夹角为锐角”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B解析根据向量数量积的定义可知，若a·b＞0，则a与b的夹角为锐角或零角，若a与b的夹角为锐角，则一定有a·b＞0，所以“a·b＞0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件，故选B.6.(2021·全国乙卷)已知向量a＝(1，3)，b＝(3，4)，若(a－λb)⊥b，则λ＝________.答案35解析法一a－λb＝(1－3λ，3－4λ)，∵(a－λb)⊥b，∴(a－λb)·b＝0，即(1－3λ，3－4λ)·(3，4)＝0，∴3－9λ＋12－16λ＝0，解得λ＝35.法二由(a－λb)⊥b可知，(a－λb)·b＝0，即a·b－λb2＝0，从而λ＝a·bb2＝（1，3）·（3，4）32＋42＝1525＝35.考点一数量积的计算例1(1)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝23，AD＝5，A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则BD→·AE→＝________.答案－1解析如图，在等腰△ABE中，易得∠BAE＝∠ABE＝30°，故BE＝2.则BD→·AE→＝(AD→－AB→)·(AB→＋BE→)＝AD→·AB→＋AD→·BE→－AB→2－AB→·BE→＝5×23×cos30°＋5×2×cos180°－12－23×2×cos150°＝15－10－12＋6＝－1.(2)(2020·北京卷)已知正方形ABCD的边长为2，点P满足AP→＝12()AB→＋AC→，则|PD→|＝__________；PB→·PD→＝__________.答案5－1解析法一∵AP→＝12(AB→＋AC→)，∴P为BC的中点.以A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意知A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，P(2，1)，∴|PD→|＝（2－0）2＋（1－2）2＝5.易得PB→＝(0，－1)，PD→＝(－2，1).∴PB→·PD→＝(0，－1)·(－2，1)＝－1.法二如图，在正方形ABCD中，由AP→＝12(AB→＋AC→)得点P为BC的中点，∴|PD→|＝12＋22＝5.PB→·PD→＝PB→·(PC→＋CD→)＝PB→·PC→＋PB→·CD→＝－PB→2＋0＝－1.感悟提升平面向量数量积的两种运算方法(1)基底法：当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题；(2)坐标法：当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解.训练1(1)(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则AP→·AB→的取值范围是()A.(－2，6)B.(－6，2)C.(－2，4)D.(－4，6)答案A解析如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C(3，3)，F(－1，3).设P(x，y)，则AP→＝(x，y)，AB→＝(2，0)，且－1＜x＜3.所以AP→·AB→＝(x，y)·(2，0)＝2x∈(－2，6).(2)(2022·石家庄调研)已知AB→⊥AC→，|AB→|＝1t，|AC→|＝t，若点P是△ABC所在平面内的一点，且AP→＝AB→|AB→|＋4AC→|AC→|，则PB→·PC→的最大值为________.答案13解析建立如图所示的平面直角坐标系，则B1t，0，C(0，t)，AB→＝1t，0，AC→＝(0，t)，AP→＝AB→|AB→|＋4AC→|AC→|＝t1t，0＋4t(0，t)＝(1，4)，∴P(1，4)，PB→·PC→＝1t－1，－4·(－1，t－4)＝17－1t＋4t≤17－21t·4t＝13，当且仅当t＝12时等号成立.∴PB→·PC→的最大值等于13.考点二数量积的应用角度1夹角与垂直例2(1)(2020·全国Ⅲ卷)已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos〈a，a＋b〉＝()A.－3135B.－1935C.1735D.1935答案D解析∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝25－12＋36＝49，∴|a＋b|＝7，∴cos〈a，a＋b〉＝a·（a＋b）|a||a＋b|＝a2＋a·b|a||a＋b|＝25－65×7＝1935.(2)(2021·宜昌二模)已知△ABC中，∠A＝120°，且AB＝3，AC＝4，若AP→＝λAB→＋AC→，且AP→⊥BC→，则实数λ的值为()A.2215B.103C.6D.127答案A解析因为AP→＝λAB→＋AC→，且AP→⊥BC→，所以有AP→·BC→＝(λAB→＋AC→)·(AC→－AB→)＝λAB→·AC→－λAB→2＋AC→2－AB→·AC→＝(λ－1)AB→·AC→－λAB→2＋AC→2＝0，整理可得(λ－1)×3×4×cos120°－9λ＋16＝0，解得λ＝2215.角度2平面向量的模例3(1)如果|a|＝2，|b|＝3，a·b＝4，则|a－2b|的值是()A.24B.26C.－24D.－26答案B解析由|a|＝2，|b|＝3，a·b＝4，得|a－2b|＝（a－2b）2＝a2＋4b2－4a·b＝4＋36－4×4＝26.(2)(2021·衡水联考)若向量a，b满足a＝(cosθ，sinθ)(θ∈R)，|b|＝2，则|2a－b|的取值范围为________.答案[0，4]解析设a与b的夹角为α，则(2a－b)2＝4a2＋b2－4a·b＝8－8cosα，因为α∈[0，π]，所以0≤8－8cosα≤16，所以0≤|2a－b|≤4.(3)已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值是________.答案2＋1解析法一由a·b＝0，得a⊥b.如图所示，分别作OA→＝a，OB→＝b，作OC→＝a＋b，则四边形OACB是边长为1的正方形，所以|OC→|＝2.作OP→＝c，则|c－a－b|＝|OP→－OC→|＝|CP→|＝1.所以点P在以C为圆心，1为半径的圆上.由图可知，当点O，C，P三点共线且点P在点P1处时，|OP→|取得最大值2＋1.故|c|的最大值是2＋1.法二由a·b＝0，得a⊥b.建立如图所示的平面直角坐标系，则OA→＝a＝(1，0)，OB→＝b＝(0，1).设c＝OC→＝(x，y)，由|c－a－b|＝1，得(x－1)2＋(y－1)2＝1，所以点C在以(1，1)为圆心，1为半径的圆上.所以|c|max＝2＋1.法三易知|a＋b|＝2，|c－a－b|＝|c－(a＋b)|≥||c|－|a＋b||＝||c|－2|，由已知得||c|－2|≤1，所以|c|≤1＋2，故|c|max＝2＋1.感悟提升(1)根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向量，则cosθ＝a·b|a||b|(夹角公式)，a⊥b⇔a·b＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.(2)计算向量的模：①当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式；②利用|a|＝a·a及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；③几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.训练2(1)(多选)(2022·湖南三校联考)已