第8节 抛物线

第8节抛物线考试要求1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质.2.通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想.1.抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).2.抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y2＝2px(p0)y2＝－2px(p0)x2＝2py(p0)x2＝－2py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离性质顶点O(0，0)对称轴y＝0x＝0焦点Fp2，0F－p2，0F0，p2F0，－p2离心率e＝1准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦.2.抛物线y2＝2px(p0)上一点P(x0，y0)到焦点Fp2，0的距离|PF|＝x0＋p2，也称为抛物线的焦半径.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.()(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是a4，0，准线方程是x＝－a4.()(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.()(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切.()答案(1)×(2)×(3)×(4)×解析(1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线，而非抛物线.(2)方程y＝ax2(a≠0)可化为x2＝1ay，是焦点在y轴上的抛物线，且其焦点坐标是0，14a，准线方程是y＝－14a.(3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形.(4)一条直线平行于抛物线的对称轴，此时与抛物线只有一个交点，但不相切.2.(易错题)抛物线y＝－14x2的焦点坐标是()A.(0，－1)B.(0，1)C.(1，0)D.(－1，0)答案A解析抛物线y＝－14x2的标准方程为x2＝－4y，开口向下，p＝2，p2＝1，故焦点为(0，－1).3.(多选)顶点在原点，对称轴为坐标轴且过点P(－2，3)的抛物线的标准方程是()A.y2＝92xB.x2＝43yC.y2＝－92xD.x2＝－43y答案BC解析设抛物线的标准方程是y2＝kx或x2＝my，代入点P(－2，3)，解得k＝－92，m＝43，所以y2＝－92x或x2＝43y.4.(2020·新高考全国Ⅰ卷)斜率为3的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝________.答案163解析由题意得，抛物线焦点为F(1，0)，设直线AB的方程为y＝3(x－1).由y＝3（x－1），y2＝4x，得3x2－10x＋3＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝103，所以|AB|＝x1＋x2＋2＝163.5.(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为________.答案x＝－32解析法一由题意易得|OF|＝p2，|PF|＝p，∠OPF＝∠PQF，所以tan∠OPF＝tan∠PQF，所以|OF||PF|＝|PF||FQ|，即p2p＝p6，解得p＝3，所以C的准线方程为x＝－32.法二由题意易得|OF|＝p2，|PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|，即p2＝p2·6，解得p＝3或p＝0(舍去)，所以C的准线方程为x＝－32.6.(2022·龙岩一模)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线与x轴的交点为A，以AF为直径的圆在第一象限交抛物线于点B，则FA→·FB→的值等于________.答案6－25解析设B(x0，y0).由方程组y2＝4x（x≥0），x2＋y2＝1，消去y并整理，得x2＋4x－1＝0(x≥0)，解得x0＝5－2.由题意，得F(1，0)，A(－1，0)，∴FA→＝(－2，0)，FB→＝(x0－1，y0).∴FA→·FB→＝(－2，0)·(x0－1，y0)＝－2(x0－1)＝2－2x0＝2－2(5－2)＝6－25.考点一抛物线的定义和标准方程1.设抛物线y2＝2px的焦点在直线2x＋3y－8＝0上，则该抛物线的准线方程为()A.x＝－4B.x＝－3C.x＝－2D.x＝－1答案A解析直线2x＋3y－8＝0与x轴的交点为(4，0)，∴抛物线y2＝2px的焦点为(4，0)，∴准线方程为x＝－4.2.动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________.答案y2＝4x解析设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.3.如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为________.答案y2＝3x解析如图，分别过A、B作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，由抛物线的定义知：|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BB1|，∴∠BCB1＝30°，∴∠AFx＝60°，连接A1F，则△AA1F为等边三角形，过F作FF1⊥AA1于F1，则F1为AA1的中点，设l交x轴于K，则|KF|＝|A1F1|＝12|AA1|＝12|AF|，即p＝32，∴抛物线方程为y2＝3x.4.(2022·广州模拟)已知抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，准线为l，点P(4，y0)在抛物线上，K为l与y轴的交点，且|PK|＝2|PF|，则y0＝________，p＝________.答案24解析作PM⊥l，垂足为M，由抛物线定义知|PM|＝|PF|，又知|PK|＝2|PF|，∴在Rt△PKM中，sin∠PKM＝|PM||PK|＝|PF||PK|＝22，∴∠PKM＝45°，∴△PMK为等腰直角三角形，∴|PM|＝|MK|＝4，又知点P在抛物线x2＝2py(p＞0)上，∴py0＝8，y0＋p2＝4，解得p＝4，y0＝2.感悟提升求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.考点二抛物线的几何性质及应用角度1焦半径和焦点弦例1(1)已知点F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，且AF→＝tFB→(t＞1)，|AB|＝163，则t＝()A.2B.3C.4D.5答案B解析∵焦点F(1，0)，设直线l为x＝λy＋1(λ≠0)，代入抛物线方程得y2－4λy－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由韦达定理得y1y2＝－4，①由AF→＝tFB→，即(1－x1，－y1)＝t(x2－1，y2)，有y1＝－ty2，②∴由①②得y2＝2t，y1＝－2t或y2＝－2t，y1＝2t，即x1＝t，x2＝1t，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝1t＋t＋2＝163，化简得3t2－10t＋3＝0，∴t＝3或t＝13(舍).(2)在平面直角坐标系xOy中，双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p＞0)交于A，B两点，若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________.答案y＝±22x解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义：|AF|＝y1＋p2，|BF|＝y2＋p2，|OF|＝p2，所以|AF|＋|BF|＝y1＋p2＋y2＋p2＝y1＋y2＋p＝4|OF|＝2p，可得：y1＋y2＝p，联立方程：x2a2－y2b2＝1，x2＝2py⇒2pya2－y2b2＝1⇒y2b2－2pya2＋1＝0，由根与系数的关系得y1＋y2＝－－2pa21b2＝2pa2·b2＝2b2a2p，∴2b2a2p＝p⇒b2a2＝12⇒ba＝22.∴双曲线渐近线方程为y＝±22x.角度2与抛物线有关的最值问题例2(1)若在抛物线y2＝－4x上存在一点P，使其到焦点F的距离与到A(－2，1)的距离之和最小，则该点的坐标为________.答案－14，1解析如图，∵y2＝－4x，∴p＝2，焦点坐标为(－1，0).依题意可知当A，P及P到准线的垂足三点共线时，点P与点F、点P与点A的距离之和最小，故点P的纵坐标为1.将y＝1代入抛物线方程求得x＝－14，则点P的坐标为－14，1.(2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________.答案5解析如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离.于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1，1)的距离与点P到F(1，0)的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为[1－（－1）]2＋（0－1）2＝5.(3)已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为________.答案2解析由题意知，抛物线的准线l：y＝－1，过点A作AA1⊥l交l于点A1，过点B作BB1⊥l交l于点B1，设弦AB的中点为M，过点M作MM1⊥l交l于点M1，则|MM1|＝|AA1|＋|BB1|2.因为|AB|≤|AF|＋|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|＋|BF|≥6，所以|AA1|＋|BB1|≥6，2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故点M到x轴的距离d≥2，故最短距离为2.感悟提升与抛物线有关的最值问题的两个转化策略转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决.转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.训练1(1)若抛物线y2＝4x的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是()A.2B.135C.145D.3答案A解析由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，由抛物线y2＝4x及直线方程3x＋4y＋7＝0可得直线与抛物线相离.∴点P到准线l的距离与点P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值为点F(1，0)到直线3x＋4y＋7＝0的距离，即|3＋7|32＋42＝2.(2)已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为________.答案2解析由题意知F(1，0)，|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝|AB|－2，即|AC|＋|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值.依抛物线定义知，当|AB|为通径，即|AB|＝2p＝4时为最小值，所以|AC|＋|BD|的最小值为2.考点三直线与抛物线的综合问题例3已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为32的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|＋|BF|＝4，求直线l的方程；(2)若AP→＝3PB→，求|AB|.解设直线l的方程为y＝32x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2).(1)由题设得F34，0，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋32.又|AF|＋|BF|＝4，所以x1＋x2＝52.由y＝32x＋t，y2＝3x可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，其中Δ＝144(1－2t)0，则x1＋x2＝－12（t－1）9.从而