第3节 等比数列及其前n项和

第3节等比数列及其前n项和考试要求1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系．1.等比数列的概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0).数学语言表达式：anan－1＝q(n≥2，q为非零常数).(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.此时G2＝ab.2.等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；通项公式的推广：an＝amqn－m.(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝a1（1－qn）1－q＝a1－anq1－q.3.等比数列的性质已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝am·an.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.1.若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{a2n}，1an，{an·bn}，anbn也是等比数列.2.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.3.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误.4.三个数成等比数列，通常设为xq，x，xq；四个符号相同的数成等比数列，通常设为xq3，xq，xq，xq3.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)等比数列公比的q是一个常数，它可以是任意实数.()(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.()(3)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝a（1－an）1－a.()(4)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列.()答案(1)×(2)×(3)×(4)×解析(1)在等比数列中，q≠0.(2)若a＝0，b＝0，c＝0满足b2＝ac，但a，b，c不成等比数列.(3)当a＝1时，Sn＝na.(4)若a1＝1，q＝－1，则S4＝0，S8－S4＝0，S12－S8＝0，不成等比数列.2.设b∈R，数列{an}的前n项和Sn＝3n＋b，则()A.{an}是等比数列B.{an}是等差数列C.当b＝－1时，{an}是等比数列D.当b≠－1时，{an}是等比数列答案C解析当n＝1时，a1＝S1＝3＋b，当n≥2，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1，当b＝－1时，a1＝2适合an＝2·3n－1，{an}为等比数列.当b≠－1时，a1不适合an＝2·3n－1，{an}不是等比数列.3.(2021·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S2＝4，S4＝6，则S6＝()A.7B.8C.9D.10答案A解析易知S2，S4－S2，S6－S4构成等比数列，由等比中项得S2(S6－S4)＝(S4－S2)2，即4(S6－6)＝22，所以S6＝7.4.(多选)若{an}是公比为q(q≠0)的等比数列，记Sn为{an}的前n项和，则下列说法正确的是()A.若a1＞0，0＜q＜1，则{an}为递减数列B.若a1＜0，0＜q＜1，则{an}为递增数列C.若q＞0，则S4＋S6＞2S5D.若bn＝1an，则{bn}是等比数列答案ABD解析A，B显然是正确的；C中，若a1＝1，q＝12，则a6＜a5，即S6－S5＜S5－S4，故C错误；D中，bn＋1bn＝anan＋1＝1q(q≠0)，∴{bn}是等比数列.故选ABD.5.(2022·百校大联考)已知在等比数列{an}中，a1a3a11＝8，则a2a8＝________.答案4解析设公比为q，则an＝a1qn－1，则a1·a1q2·a1q10＝8，所以a31q12＝8，所以a1q4＝2，所以a2a8＝a1q·a1q7＝a21q8＝(a1q4)2＝4.6.(易错题)已知在等比数列{an}中，a3＝7，前三项之和S3＝21，则公比q的值是________.答案1或－12解析当q＝1时，a3＝7，S3＝21，符合题意；当q≠1时，a1q2＝7，a1（1－q3）1－q＝21，得q＝－12.综上，q的值是1或－12.考点一等比数列基本量的运算1.已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝14，则公比q等于()A.－12B.－2C.2D.12答案D解析由题意知q3＝a5a2＝18，即q＝12.2.(多选)(2021·潍坊调研)已知等比数列{an}的各项均为正数，且3a1，12a3，2a2成等差数列，则下列说法正确的是()A.a1＞0B.q＞0C.a3a2＝3或－1D.a6a4＝9答案ABD解析设等比数列{an}的公比为q，由题意得212a3＝3a1＋2a2，即a1q2＝3a1＋2a1q.因为数列{an}的各项均为正数，所以a1＞0，且q＞0，故A，B正确；由q2－2q－3＝0，解得q＝3或q＝－1(舍)，所以a3a2＝q＝3，a6a4＝q2＝9，故C错误，D正确，故选ABD.3.(2022·亳州模拟)《九章算术》中有述：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长1尺，蒲生日自半，莞生日自倍.意思是：“今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍.”则当莞长高到长度是蒲的5倍时，需要经过的天数是________.(结果精确到0.1.参考数据：lg2＝0.30，lg3＝0.48)()A.2.9天B.3.9天C.4.9天D.5.9天答案C解析设蒲的长度组成等比数列{an}，其a1＝3，公比为12，前n项和为An.莞的长度组成等比数列{bn}，其b1＝1，公比为2，其前n项和为Bn.则An＝31－12n1－12，Bn＝2n－12－1，由题意可得5×31－12n1－12＝2n－12－1，解得2n＝30，2n＝1(舍去).∴n＝log230＝lg30lg2＝lg3＋1lg2＝1.480.30≈4.9.4.(2019·全国Ⅰ卷)设Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1＝13，a24＝a6，则S5＝________.答案1213解析由a24＝a6得(a1q3)2＝a1q5，整理得q＝1a1＝3.所以S5＝a1（1－q5）1－q＝13（1－35）1－3＝1213.感悟提升1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝a1（1－qn）1－q＝a1－anq1－q.考点二等比数列的判定与证明例1Sn为等比数列{an}的前n项和，已知a4＝9a2，S3＝13，且公比q0.(1)求an及Sn；(2)是否存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.解(1)易知q≠1，由题意可得a1q3＝9a1q，a1（1－q3）1－q＝13，q0，解得a1＝1，q＝3，∴an＝3n－1，Sn＝1－3n1－3＝3n－12.(2)假设存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列，∵S1＋λ＝λ＋1，S2＋λ＝λ＋4，S3＋λ＝λ＋13，∴(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，解得λ＝12，此时Sn＋12＝12×3n，则Sn＋1＋12Sn＋12＝12×3n＋112×3n＝3，故存在常数λ＝12，使得数列{Sn＋12}是以32为首项，3为公比的等比数列.感悟提升1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.2.在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n＝1的情形进行验证.训练1已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＋Sn＝n.(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式.(1)证明∵an＋Sn＝n①，∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1②.②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，所以2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，又a1＋a1＝1，所以a1＝12，∴a1－1＝－12≠0，因为an＋1－1an－1＝12，∴cn＋1cn＝12.故{cn}是以c1＝a1－1＝－12为首项，12为公比的等比数列.(2)解由(1)知cn＝－12×12n－1＝－12n.∵cn＝an－1，∴an＝1－12n.考点三等比数列的性质及应用角度1项与和的性质例2(1)若等比数列{an}的各项均为正数，且a1a10＝9，则log9a1＋log9a2＋…＋log9a10＝()A.6B.5C.4D.1＋log352答案B解析log9a1＋log9a2＋…＋log9a10＝log9[(a1a10)·(a2a9)·(a3a8)·(a4a7)·(a5a6)]＝log995＝5，故选B.(2)(2021·济南模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝1，S30＝7，则S40＝________.答案15解析∵等比数列{an}的前n项和为S10＝1，S30＝7，∴S10、S20－S10、S30－S20、S40－S30成等比数列，即1、S20－1、7－S20、S40－7成等比数列，∴(S20－1)2＝1×(7－S20)，解得S20＝3或S20＝－2(舍)，所以1、2、4、S40－7成等比数列，所以S40－7＝8，解得S40＝15.(3)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.答案2解析由题设，S偶＝S奇－80，S2n＝－240.∴S奇＋qS奇＝－240，qS奇＝S奇－80，∴S奇＝－80，q＝2.角度2等比数列的最值例3(多选)(2022·扬州大学附属中学月考)设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并满足条件a1＞1，a2021a2022＞1，a2021－1a2022－1＜0，下列结论正确的是()A.S2021＜S2022B.a2021a2023－1＜0C.T2022是数列{Tn}中的最大值D.数列{Tn}无最大值答案AB解析当q＜0时，a2021a2022＝a22021q＜0，不成立；当q≥1时，a2021≥1，a2022＞1，a2021－1a2022－1＜0，不成立；故0＜q＜1，且a2021＞1，0＜a2022＜1，故S2022＞S2021，A正确；a2021a2023－1＝a22022－1＜0，故B正确；T2021是数列{Tn}中的最大值，CD错误.故选AB.感悟提升(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.(2)涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响.训练2(1)公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝8，若a2am＝4，则m的值为()A.8B.9C.10D.11答案B解析∵公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝8，∴a5a6＝a4a7＝4，由a2am＝4，∴2＋m＝5＋6＝11，解得m＝9.(2)(2021·长沙检测)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S8－2S4＝5，则a9＋a10＋a11＋a12的最小值为()A.25B.20C.15D.10答案B解析