考点04函数及其性质（20种题型10个易错考点）（解析版）

考点04函数及其性质（20种题型10个易错考点）考题考点考向2022新高考1，第12题函数奇偶性与周期性利用奇偶性求函数值2022新高考2，第8题函数奇偶性与周期性利用周期性求值2021新高考1，第13题函数奇偶性与周期性利用奇偶性求解参数的值2021全国乙理，第4题函数奇偶性与周期性判断函数奇偶性2020新高考1，第8题函数奇偶性与周期性解不等式2020新高考2，第7题函数单调性与最值利用单调性求参数的取值范围本专题一般不会出现单一知识点的考题，常综合函数的单调性、奇偶性、周期性，或将函数的性质融入函数图象进行考查，函数的零点是考查的热点之一，需要结合导数、不等式等知识进行求解。1．（2022•新高考Ⅱ）已知函数f（x）的定义域为R，且f（x+y）+f（x﹣y）＝f（x）f（y），f（1）＝1，则f（k）＝（）A．﹣3B．﹣2C．0D．1【分析】先根据题意求得函数f（x）的周期为6，再计算一个周期内的每个函数值，由此可得解．【解答】解：令y＝1，则f（x+1）+f（x﹣1）＝f（x），即f（x+1）＝f（x）﹣f（x﹣1），∴f（x+2）＝f（x+1）﹣f（x），f（x+3）＝f（x+2）﹣f（x+1），∴f（x+3）＝﹣f（x），则f（x+6）＝﹣f（x+3）＝f（x），∴f（x）的周期为6，令x＝1，y＝0得f（1）+f（1）＝f（1）×f（0），解得f（0）＝2，又f（x+1）＝f（x）﹣f（x﹣1），∴f（2）＝f（1）﹣f（0）＝﹣1，f（3）＝f（2）﹣f（1）＝﹣2，f（4）＝f（3）﹣f（2）＝﹣1，f（5）＝f（4）﹣f（3）＝1，f（6）＝f（5）﹣f（4）＝2，一、真题多维细目表二、命题规律与备考策略三、2022真题抢先刷，考向提前知∴，∴＝f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝﹣3．故选：A．【点评】本题考查抽象函数以及函数周期性的运用，考查运算求解能力，属于中档题．2．（2021•新高考Ⅱ）已知函数f（x）的定义域为R（f（x）不恒为0），f（x+2）为偶函数，f（2x+1）为奇函数，则（）A．f（﹣）＝0B．f（﹣1）＝0C．f（2）＝0D．f（4）＝0【分析】根据f（x+2）为偶函数，可得f（x+4）＝f（﹣x），f（2x+1）为奇函数，可得f（﹣2x+1）＝﹣f（2x+1），即可判断选项．【解答】解：∵函数f（x+2）为偶函数，∴f（2+x）＝f（2﹣x），∵f（2x+1）为奇函数，∴f（1﹣2x）＝﹣f（2x+1），用x替换上式中2x+1，得f（2﹣x）＝﹣f（x），∴f（2+x）＝﹣f（x），f（4+x）＝﹣f（2+x）＝f（x），即f（x）＝f（x+4），故函数f（x）是以4为周期的周期函数，∵f（2x+1）为奇函数，∴f（1﹣2x）＝﹣f（2x+1），即f（2x+1）+f（﹣2x+1）＝0，用x替换上式中2x+1，可得，f（x）+f（2﹣x）＝0，∴f（x）关于（1，0）对称，又∵f（1）＝0，∴f（﹣1）＝﹣f（2+1）＝﹣f（1）＝0．故选：B．【点评】本题考查了函数的奇偶性的综合应用，属于中档题．3．（2021•新高考Ⅱ）写出一个同时具有下列性质①②③的函数f（x）：f（x）＝x2．①f（x1x2）＝f（x1）f（x2）；②当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0；③f′（x）是奇函数．【分析】可看出f（x）＝x2满足这三个性质．【解答】解：f（x）＝x2时，；当x∈（0，+∞）时，f′（x）＝2x＞0；f′（x）＝2x是奇函数．故答案为：f（x）＝x2．另解：幂函数f（x）＝xa（a＞0）即可满足条件①和②；偶函数即可满足条件③，综上所述，取f（x）＝x2即可．【点评】本题考查了幂函数的求导公式，奇函数的定义及判断，考查了计算能力，属于基础题．4．（2021•新高考Ⅰ）已知函数f（x）＝x3（a•2x﹣2﹣x）是偶函数，则a＝1．【分析】利用奇函数的定义即可求解a的值．【解答】解：函数f（x）＝x3（a•2x﹣2﹣x）是偶函数，y＝x3为R上的奇函数，故y＝a•2x﹣2﹣x也为R上的奇函数，所以y|x＝0＝a•20﹣20＝a﹣1＝0，所以a＝1．法二：因为函数f（x）＝x3（a•2x﹣2﹣x）是偶函数，所以f（﹣x）＝f（x），即﹣x3（a•2﹣x﹣2x）＝x3（a•2x﹣2﹣x），即x3（a•2x﹣2﹣x）+x3（a•2﹣x﹣2x）＝0，即（a﹣1）（2x+2﹣x）x3＝0，所以a＝1．故答案为：1．【点评】本题主要考查利用函数奇偶性的应用，考查计算能力，属于基础题．5．（2021•新高考Ⅰ）函数f（x）＝|2x﹣1|﹣2lnx的最小值为1．【分析】法一、求出函数定义域，对x分段去绝对值，当0＜x时，分析函数的单调性；当x＞时，利用导数分析单调性并求最小值，即可得到f（x）的最小值．法二、令g（x）＝|2x﹣1|，h（x）＝2lnx，分别作出两函数的图象，数形结合得答案．【解答】解：法一、函数f（x）＝|2x﹣1|﹣2lnx的定义域为（0，+∞）．当0＜x时，f（x）＝|2x﹣1|﹣2lnx＝﹣2x+1﹣2lnx，此时函数f（x）在（0，]上为减函数，当x＞时，f（x）＝|2x﹣1|﹣2lnx＝2x﹣1﹣2lnx，则f′（x）＝＝，当x∈（，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∵f（x）在（0，+∞）上是连续函数，∴当x∈（0，1）时，f（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，f（x）单调递增．∴当x＝1时f（x）取得最小值为f（1）＝2×1﹣1﹣2ln1＝1．故答案为：1．法二、令g（x）＝|2x﹣1|，h（x）＝2lnx，分别作出两函数的图象如图：由图可知，f（x）≥f（1）＝1，则数f（x）＝|2x﹣1|﹣2lnx的最小值为1．故答案为：1．【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，利用导数求最值的应用，考查运算求解能力，是中档题．一．函数的概念及其构成要素初中函数的定义：设在某一变化过程中有两个变量x和y，如果对于每一个x值，y都有唯一的值和它对应，那么就说y是x的函数，x叫自变量，y叫因变量．高中函数的定义：一般地，设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合中A任意一个数x，在集合中B四、考点清单都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称为A→B从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f（x），x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集．函数的构成要素：定义域、对应关系、值域．注意：①值域由定义域和对应关系唯一确定；②f（x）是函数符号，f表示对应关系，f（x）表示x对应的函数值，绝对不能理解为f与x的乘积．在不同的函数中f的具体含义不同，由以上三个实例可看出对应关系可以是解析式、图象、表格等．函数除了可用符号f（x）表示外，还可用g（x），F（x）等表示．【解题方法点拨】注意函数的解析式，函数的定义域，对应法则，值域的求法．【命题方向】由于函数是代数的基础部分，能够与高中数学的各个部分相结合，所以高考中函数命题比较多，以小题与大题出现，可以考查函数的定义域，值域，具体函数也可以考查抽象函数，函数的性质，与导数相联系常常是压轴题，难度比较大．二．判断两个函数是否为同一函数函数的构成要素：定义域、对应关系、值域．所以判断两个函数是不是同一函数，就看定义域和对应法则是否一样．【解题方法点拨】判断函数是否是同一个函数，一般是同解变形化简函数的表达式，考察两个函数的定义域是否相同，对应法则是否相同．【命题方向】高考中以小题出现，选择题与填空题的形式，由于函数涉及知识面广，所以函数是否为相同函数命题比较少．三．函数的定义域及其求法【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围．求解函数定义域的常规方法：①分母不等于零；②根式（开偶次方）被开方式≥0；③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1；④指数为零时，底数不为零．⑤实际问题中函数的定义域；【解题方法点拨】求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组．（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）．（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在．（4）抽象函数的定义域：①对在同一对应法则f下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；②函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x的范围．【命题方向】高考会考中多以小题形式出现，也可以是大题中的一小题．四．函数的值域【知识点的认识】函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．A是函数的定义域．【解题方法点拨】（1）求函数的值域此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等．无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域．（2）函数的综合性题目此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目．此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力．在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强．（3）运用函数的值域解决实际问题此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决．此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力．【命题方向】函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一，有时在函数与导数的压轴题中出现，是常考题型．五．函数解析式的求解及常用方法【知识点的认识】通过求解函数的解析式中字母的值，得到函数的解析式的过程就是函数的解析式的求解．求解函数解析式的几种常用方法主要有1、换元法；2、待定系数法；3、凑配法；4、消元法；5、赋值法等等．【解题方法点拨】常常利用函数的基本性质，函数的图象特征，例如二次函数的对称轴，函数与坐标轴的交点等；利用函数的解析式的求解方法求解函数的解析式，有时利用待定系数法．【命题方向】求解函数解析式是高考重点考查内容之一，在三角函数的解析式中常考．是基础题．六．函数的表示方法【知识点的认识】1、列表法：通过列出自变量与对应的函数值的表来表达函数关系的方法叫列表法．2、图象法：在坐标平面中用曲线的表示出函数关系．即图象上的任意点的坐标满足函数的关系式，反之满足函数关系的点都在图象上．这种由图形表示函数的方法叫作图象法．3、解析法：用解析式把把x与y的对应关系表述出来，y＝f（x）；这种方法叫做解析法．图象法，比较常用，经常和解析式结合起来理解函数的性质．【解题方法点拨】函数的三种表示方法间具有互补性，因此在实际研究问题时，通常是三种方法交替使用，例如在研究用解析式表示的某一函数的性质时，可以根据解析式画出函数图象，数形结合更清晰、直观，如何画函数图象？列表法，通常取其自变量的部分值，根据解析式算出相应的函数值，列表显示其数值的对应关系，再根据表格，在平面直角坐标系中描点，形成该函数的图象．【命题方向】函数的表示方法的选择，与集合以及映射，函数的定义域与值域，考题一般是基础题．七．函数的图象与图象的变换【函数图象的作法】函数图象的作法：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线．解题方法点拨：一般情况下，函数需要同解变形后，结合函数的定义域，通过函数的对应法则，列出表格，然后在直角坐标系中，准确描点，然后连线（平滑曲线）．命题方向：一般考试是以小题形式出现，或大题中的一问，常见考题是，常见函数的图象，有时结合函数的奇偶性、对称性、单调性知识结合命题．【图象的变换】1．利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线．首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等