考点07对数函数（12种题型2个易错考点）（解析版）

考点07对数函数（12种题型2个易错考点）考题考点考向2022·北京·统考高考真题对数的运算对数的运算解决实际问题2022·天津·统考高考真题对数的运算对数的运算性质的应用1、4种方法﹣﹣解决对数运算问题的方法（1）将真数化为底数（或已知对数的数）的幂的积，再展开；（2）将同底对数的和、差、倍合并；（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；（4）利用常用对数中的lg2+lg5＝1．2、3个基本点﹣﹣对数函数图象的三个基本点（1）当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．（2）对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），（，﹣1）函数图象只在第一、四象限．（3）底数的大小与对数函数的图象位置之间的关系．3、2个应用﹣﹣对数函数单调性的应用（1）比较对数式的大小：①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，需对底数进行分类讨论．②若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．③若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．（2）解对数不等式：形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．形如logax＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．一、真题多维细目表二、命题规律与备考策略三、2022真题抢先刷，考向提前知4．（2022·北京·统考高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lgP的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar．下列结论中正确的是（）A．当220T，1026P时，二氧化碳处于液态B．当270T，128P时，二氧化碳处于气态C．当300T，9987P时，二氧化碳处于超临界状态D．当360T，729P时，二氧化碳处于超临界状态【答案】D【分析】根据T与lgP的关系图可得正确的选项.【详解】当220T，1026P时，lg3P，此时二氧化碳处于固态，故A错误.当270T，128P时，2lg3P，此时二氧化碳处于液态，故B错误.当300T，9987P时，lgP与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C错误.当360T，729P时，因2lg3P,故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.故选：D5．（2022·天津·统考高考真题）化简48392log3log3log2log2的值为（）A．1B．2C．4D．6【答案】B【分析】根据对数的性质可求代数式的值.【详解】原式2233111(2log3log3)(log2log2)2322343log3log2232，故选：B一．对数的概念1．对数的定义如果ax＝N（a＞0且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．（2）几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为a（a＞0且a≠1）logaN常用对数底数为10lgN自然对数底数为elnN二．指数式与对数式的互化ab＝N⇔logaN＝b；alogaN＝N；logaaN＝N指数方程和对数方程主要有以下几种类型：（1）af（x）＝b⇔f（x）＝logab；logaf（x）＝b⇔f（x）＝ab（定义法）（2）af（x）＝ag（x）⇔f（x）＝g（x）；logaf（x）＝logag（x）⇔f（x）＝g（x）＞0（同底法）（3）af（x）＝bg（x）⇔f（x）logma＝g（x）logmb；（两边取对数法）（4）logaf（x）＝logbg（x）⇔logaf（x）＝；（换底法）（5）Alogx+Blogax+C＝0（A（ax）2+Bax+C＝0）（设t＝logax或t＝ax）（换元法）三．对数的运算性质对数的性质：①＝N；②logaaN＝N（a＞0且a≠1）．loga（MN）＝logaM+logaN；loga＝logaM﹣logaN；logaMn＝nlogaM；loga＝logaM．四．换底公式的应用换底公式及换底性质：（1）logaN＝（a＞0，a≠1，m＞0，m≠1，N＞0）．（2）logab＝，四、考点清单（3）logab•logbc＝logac，（4）loganbm＝logab．五．对数函数的定义一般地，如果a（a＞0，且a≠1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．即ab＝N，logaN＝b．底数则要大于0且不为1．六．对数函数的定义域一般地，我们把函数y＝logax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R．七．对数函数的值域与最值一般地，我们把函数y＝logax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R．定点：函数图象恒过定点（1，0）八．对数值大小的比较1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较．2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）九．对数函数的图象与性质十．对数函数的单调性与特殊点对数函数的单调性和特殊点：1、对数函数的单调性当a＞1时，y＝logax在（0，+∞）上为增函数当0＜a＜1时，y＝logax在（0，+∞）上为减函数2、特殊点对数函数恒过点（1，0）十一．指数函数与对数函数的关系（1）对数函数与指数函数互为反函数，它们的定义域、值域互换，图象关于直线y＝x对称．（2）它们都是单调函数，都不具有奇偶性．当a＞l时，它们是增函数；当O＜a＜l时，它们是减函数．（3）指数函数与对数函数的联系与区别：十二．对数函数图象与性质的综合应用1、对数函数的图象与性质：a＞10＜a＜1图象定义域（0，+∞）值域R定点过点（1，0）单调性在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数函数值正负当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1，y＜0当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞02、由对数函数的图象确定参数的方法已知对数型函数的图象研究其解析式及解析式中所含参数的取值范围问题，通常是观察图象，获得函数的单调性、对称性、奇偶性、经过的特殊点等，由此确定函数解析式以及其中所含参数的取值范围．一．对数的概念（共2小题）1．（2022秋•宝应县校级月考）若对数ln（x2﹣5x+6）存在，则x的取值范围为（﹣∞，2）∪（3，+∞）．【分析】由已知利用对数的概念可得x2﹣5x+6＞0，解不等式即可得解．【解答】解：∵对数ln（x2﹣5x+6）存在，∴x2﹣5x+6＞0，∴解得：3＜x或x＜2，即x的取值范围为：（﹣∞，2）∪（3，+∞）．故答案为：（﹣∞，2）∪（3，+∞）．【点评】本题考查对数函数的定义域的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．2．（2022春•闵行区校级期中）从1，2，3，4，9这五个数中任取两个数分别作为对数的底数和真数，则可以得到9种不同的对数值．【分析】分构成的对数式含1，不含1两种情况讨论，注意重复情况．【解答】解：当构成的对数式含有1时，得到的对数值为0；当构成的对数式不含1时，有＝12种，其中log23＝log49，log24＝log39，log32＝log94，log42＝log93，重复4个，有12﹣4＝8个；综上，可以得到1+8＝9种不同的对数值，故答案为：9．【点评】该题考查对数的运算性质、排列知识，属基础题．二．指数式与对数式的互化（共4小题）3．（2023•河西区模拟）已知3a＝4b＝m，，则m的值为（）A．36B．6C．D．【分析】由已知结合指数与对数的转化及对数的运算性质即可求解．【解答】解：由题意可得，a＝log3m，b＝log4m，m＞0，又因为，所以+＝2，所以logm3+logm2＝2，即logm6＝2，所以m＝．故选：C．五、题型方法【点评】本题主要考查了指数与对数式的转化及对数的运算性质，属于基础题．（多选）4．（2023•宣城模拟）已知3x＝5y＝15，则实数x，y满足（）A．x＞yB．x+y＜4C．D．xy＞4【分析】把指数式改写为对数式，再结合对数运算法则、换底公式变形，利用基本不等式判断各选项．【解答】解：因为3x＝5y＝15，所以x＝log315，y＝log515，x＝log315＝1+log35，y＝log515＝1+log53，易知log35＞1＞log53，所以x＞y，A正确；，C错；显然x＞0，y＞0，x≠y，，B错；xy＝（1+log35）（1+log53）＝1+log35+log53+log35⋅log53＝，D正确．故选：AD．【点评】本题主要考查对数的运算性质，以及基本不等式的公式，属于基础题．5．（2023•滨海新区模拟）已知，4b＝n，若，则n的值为（）A．B．5C．D．25【分析】先把指数式化为对数式，再利用对数的换底公式求解即可．【解答】解：∵，4b＝n，∴a＝log52＝＝，b＝log4n＝＝，∴ab＝＝log5n＝，∴log5n＝2，即n＝25．故选：D．【点评】本题考查了指数式和对数式的互化，对数的换底公式，属于基础题．6．（2023•天津模拟）已知4x＝3y＝m，且＝2，则m＝（）A．2B．4C．6D．9【分析】先利用指数式与对数式的互化，表示出x，y，然后利用换底公式何对数式的定义将＝2，转化为m2＝4×32＝36，求解即可．【解答】解：因为4x＝3y＝m，则x＝log4m，y＝log3m，所以，所以m2＝4×32＝36，又m＞0，所以m＝6．故选：C．【点评】本题考查了指数式与对数式的互化，对数运算性质的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．三．对数的运算性质（共7小题）7．（2023•江西二模）已知a＞1，b＞1，a3b＝100，则loga10+3logb10的最小值为（）A．4B．6C．8D．12【分析】条件等式两边取对数后，得3lga+lgb＝2，再结合换底公式，以及基本不等式“1”的妙用，即可求解．【解答】解：因为a3b＝100，所以lga3b＝2，即3lga+lgb＝2，所以，当且仅当lgb＝3lga，即，b＝10时等号成立，所以loga10+3logb10的最小值为6．故选：B．【点评】本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题．8．（2023•贵州模拟）1707年Euler发现了指数与对数的互逆关系：当a＞0，a≠1时，ax＝N等价于x＝logaN．若ex＝25，lg2≈0.3010，lge≈0.4343，则x的值约为（）A．3.2190B．2.3256C．3.1775D．2.7316【分析】根据已知，利用一些常用对数、对数的运算性质以及换底公式计算．【解答】解：，≈3.2190．故选：A．【点评】本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题．9．（2023•河北模拟）斯特林公式（Stirling'sapproximation）是由英国数学家斯特林提出的一条用来取n的阶乘的近似值的数学公式，即n!≈（）n，其中π为圆周率，e为自然对数的底数．一般来说，当n很大的时候，n的阶乘的计算量十分大，所以斯特林公式十分好用．斯特林公式在理论和应用上都具有重要的价值，对于概率论的发展也有着重大的意义．若利用斯特林公式分析100！计算结果，则该结果写成十进制数时的位数约为（）（参考数据：lg2≈0.301，lgπ≈0.497，lge≈0.434）A．154B．158C．164D．172【分析】根据题意可得出，然后两边求以10为底的对数，可求出lg100!≈157.999，即得出100!＝100.999•10157，从而可得出100!写成十进制