综合训练01集合与常用逻辑用语（18种题型60题专练）（解析版）

综合训练01集合与常用逻辑用语（18种题型60题专练）一．元素与集合关系的判断（共7小题）1．（2023•海淀区校级模拟）设集合M＝{2m﹣1，m﹣3}，若﹣3∈M，则实数m＝（）A．0B．﹣1C．0或﹣1D．0或1【分析】根据元素与集合的关系，分别讨论2m﹣1＝﹣3和m﹣3＝﹣3两种情况，求解m并检验集合的互异性，可得到答案．【解答】解：设集合M＝{2m﹣1，m﹣3}，∵﹣3∈M，∴2m﹣1＝﹣3或m﹣3＝﹣3，当2m﹣1＝﹣3时，m＝﹣1，此时M＝{﹣3，﹣4}；当m﹣3＝﹣3时，m＝0，此时M＝{﹣3，﹣1}；所以m＝﹣1或0．故选：C．【点评】本题主要考查元素与集合的关系，考查运算求解能力，属于基础题．2．（2023•平顶山模拟）已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，3，6，7}，则（）A．2∉A∩BB．3∈A∩BC．4∉A∪BD．5∈A∪B【分析】求出集合A，B的交集，并集，然后对各个选项逐个分析即可判断求解．【解答】解：由已知可得A∩B＝{2，3}，A∪B＝{1，2，3，4，6，7}，所以A，C，D错误，B正确，故选：B．【点评】本题考查了集合的交集，并集运算，考查了元素与集合的关系，属于基础题．3．（2023•新疆模拟）集合A＝{x|＞1，x∈Z}，B＝{x|x为1～10以内的质数}，记A∩B＝M，则（）A．1∈MB．2∉MC．3∉MD．4∉M【分析】化简集合A，B，再根据交集的定义求集合M，最后利用元素与集合间的关系判断即可．【解答】解：A＝{x|＞1，x∈Z}＝{﹣1，0，1，2，3，4，5}，B＝{x|x为1﹣10以内的质数}＝{2，3，5，7}，故M＝A∩B＝{2，3，5}，故1∉M，2∈M，3∈M，4∉M．故选：D．【点评】本题主要考查元素与集合的关系，集合的化简与运算，属于基础题．4．（2023•海安市校级模拟）已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{m|m2﹣1∈A，m﹣1∉A}，则集合B中所有元素之和为（）A．0B．1C．﹣1D．【分析】根据题意列式求得m的值，即可得出答案．【解答】解：根据条件分别令m2﹣1＝﹣1，0，1，解得，又m﹣1∉A，所以，，所以集合B中所有元素之和是﹣1，故选：C．【点评】本题主要考查了元素与集合关系的应用，属于基础题．5．（2023•延边州二模）已知集合A＝{x|ax2﹣3x+2＝0}的元素只有一个，则实数a的值为（）A．B．0C．或0D．无解【分析】集合A有一个元素，即方程ax2﹣3x+2＝0有一解，分a＝0，a≠0两种情况讨论，即可得解．【解答】解：集合A有一个元素，即方程ax2﹣3x+2＝0有一解，当a＝0时，，符合题意，当a≠0时，ax2﹣3x+2＝0有一解，则Δ＝9﹣8a＝0，解得：，综上可得：a＝0或，故选：C．【点评】本题主要考查了元素与集合的关系，考查了分类讨论的数学思想，属于基础题．6．（2023•成都模拟）设全集U＝R，集合A＝{x|2＜x≤4}，则（）A．1∈AB．2∈AC．3∉∁UAD．4∈∁UA【分析】根据补集定义、元素和集合的关系直接判断各选项即可．【解答】解：对于AB，∵A＝{x|2＜x≤4}，∴1∉A，2∉A，A错误，B错误；对于CD，∁UA＝{x|x≤2或x＞4}，3∉∁UA，4∉∁UA，C正确，D错误．故选：C．【点评】本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题．7．（2023•福建二模）M是正整数集的子集，满足：1∈M，2022∈M，2023∉M，并有如下性质：若a，b∈M，则[]∈M，则M的非空子集数为（）A．2022B．2023C．22022﹣1D．22023﹣1【分析】根据题意，求出M，再根据子集的个数与集合元素个数之间的关系即可得答案．【解答】解：由题意可知：若x，y∈M（x＜y），则x+1，x+2，…，y﹣1均属于M，而事实上，若y﹣x≥2，，中x+1≤＜＜y，所以x+1≤[]≤y﹣1，故[x，y]中有正整数[]，从而M中相邻两数不可能大于等于2，故2，3，…，2021∈M，若p≥2024，p∈M，则有2023∈M，与2023∉M矛盾，故M＝{1，2，…，2022}，所以非空子集有22022﹣1个．故选：C．【点评】本题考查了求非空子集的个数，难点在于求出M，也考查了逻辑推理能力，属于难题．二．集合的确定性、互异性、无序性（共1小题）8．（2022•渭滨区校级模拟）设集合A＝{2，1﹣a，a2﹣a+2}，若4∈A，则a＝（）A．﹣3或﹣1或2B．﹣3或﹣1C．﹣3或2D．﹣1或2【分析】分别由1﹣a＝4，a2﹣a+2＝4，求出a的值，代入观察即可．【解答】解：若1﹣a＝4，则a＝﹣3，∴a2﹣a+2＝14，∴A＝{2，4，14}；若a2﹣a+2＝4，则a＝2或a＝﹣1，a＝2时，1﹣a＝﹣1，∴A＝{2，﹣1，4}；a＝﹣1时，1﹣a＝2（舍），故选：C．【点评】本题考查了集合的确定性，互异性，无序性，本题是一道基础题．三．集合的表示法（共1小题）9．（2022•西宁一模）给定集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{1，2，3，4}，定义一种新运算，A*B＝{x|x∈A或x∈B，x∉A∩B}，试用列举法写出A*B＝{﹣1，0，3，4}．【分析】根据题意，由A*B的定义，结合集合A、B，计算即可得答案．【解答】解：根据题意，A*B＝{x|x∈A或x∈B，x∉A∩B}，又由集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{1，2，3，4}，则A∩B＝{1，2}则A*B＝{﹣1，0，3，4}；故答案为：{﹣1，0，3，4}．【点评】本题考查集合的表示法，关键是理解集合运算A*B的定义．四．集合的相等（共3小题）10．（2023•江西模拟）已知集合A＝{1，a，b}，B＝{a2，a，ab}，若A＝B，则a2023+b2022＝（）A．﹣1B．0C．1D．2【分析】根据A＝B可得出或，解出a，b的值，然后即可求出答案．【解答】解：∵A＝B，∴或，解得a＝﹣1，b＝0，∴a2023+b2022＝﹣1．故选：A．【点评】本题考查了集合相等的定义，集合元素的互异性，考查了计算能力，属于基础题．11．（2023•江西二模）已知集合，则A⋂B＝（）A．[1，3）B．（1，3）C．（0，1]D．（0，3）【分析】先求出集合A，B，再根据交集的定义计算即可．【解答】解：由题得A＝{x|x2＜3x}＝{x|0＜x＜3}，，所以A∩B＝{x|1≤x＜3}．故选：A．【点评】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．12．（2023•河南模拟）已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，4，6}，B＝{x|2x﹣2＜4}，则A⋂B＝（）A．{﹣2，﹣1，0}B．{﹣2，﹣1，4}C．{﹣1，0，4}D．{﹣2，﹣1，0，4}【分析】首先根据指数函数的性质解出指数不等式，即可求出B，再根据交集的定义计算可得．【解答】解：由2x﹣2＜4，即2x﹣2＜22，所以x﹣2＜2，解得x＜4，所以B＝{x|2x﹣2＜4}＝{x|x＜4}，又A＝{﹣2，﹣1，0，4，6}，所以A⋂B＝{﹣2，﹣1，0}．故选：A．【点评】本题主要考查集合的相等，属于基础题．五．集合的包含关系判断及应用（共6小题）13．（2023•千阳县校级模拟）设A、B、C是三个集合，若A∪B＝B∩C，则下列结论不正确的是（）A．A⊆BB．B⊆CC．B⊆AD．A⊆C【分析】利用集合之间的基本关系直接判断求解．【解答】解：B⊆A∪B，∵A∪B＝B∩C，∴B⊆B∩C，∴B⊆C，故B正确；∴B∩C＝B，∴A∪B＝B∩C＝B，∴A⊆B⊆C，故AD正确，C错误．故选：C．【点评】本题考查集合的运算，考查集合之间的包含关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．（2023•福建模拟）已知集合A＝{x|y＝lgx}，B＝{y|y＝x2}，则（）A．A∪B＝RB．∁RA⊆BC．A∩B＝BD．A⊆B【分析】利用函数的定义域及值域求出两个集合，再根据集合的交集、并集、补集运算即可．【解答】解：因为A＝{x|y＝lgx}＝{x|x＞0}，B＝{y|y＝x2}＝{y|y≥0}，所以A⊆B，所以A∪B＝B，A∩B＝A，又A＝{x|x＞0}，所以∁RA＝{x|x≤0}，不满足∁RA⊆B，故选项A、B、C错误，选项D正确．故选：D．【点评】本题主要考查集合的基本运算，集合的包含关系，考查运算求解能力，属于基础题．15．（2023•河南二模）已知集合A＝{1，3，5，7}，B＝{x∈Z|x2＜4x}，则A⋂B＝（）A．{1}B．{1，3}C．{3，5}D．{1，3，5}【分析】化简集合，然后根据交集的定义运算即得．【解答】解：因为A＝{1，3，5，7}，B＝{x∈Z|0＜x＜4}＝{1，2，3}，所以A∩B＝{1，3}．故选：B．【点评】本题主要考查交集及其运算，考查运算求解能力，属于基础题．16．（2023•贵州模拟）设A＝{0，1，2，3}，B＝{x|（x﹣1）（x﹣2）＞0}，则A⋂B＝（）A．{0，1}B．{0，3}C．{1，2}D．{2，3}【分析】先求出集合B中元素范围，然后再求A∩B即可．【解答】解：由已知B＝{x|（x﹣1）（x﹣2）＞0}＝{x|x＜1或x＞2}，∵A＝{0，1，2，3}，∴A∩B＝{0，3}．故选：B．【点评】本题主要考查交集的运算，考查运算求解能力，属于基础题．17．（2023•湖北模拟）已知集合M＝{x|x2﹣2x＞0}和N＝{x|ln（x+1）＞1}，则（）A．N⊆MB．M⊆NC．M∩N＝（e﹣1，+∞）D．M∪N＝（﹣∞，0）∪（e﹣1，+∞）【分析】化简集合M，N，根据集合的交集，并集及包含关系判断即可．【解答】解：∵M＝{x|x2﹣2x＞0}＝（﹣∞，0）∪（2，+∞），N＝{x|ln（x+1）＞1}＝（e﹣1，+∞），A、B选项错误；∴M∩N＝（2，+∞），M∪N＝（﹣∞，0）∪（e﹣1，+∞），故C错误，D正确．故选：D．【点评】本题主要考查了集合的交集及并集运算，还考查了集合的包含关系的判断，属于基础题．18．（2023•铁岭模拟）设，N＝{x|x＞a}，若M⊆N，则实数a的取值范围为（）A．a＜1B．a≤1C．D．【分析】先求出集合M，再根据M⊆N，即可求得a的取值范围．【解答】解：∵，∵N＝{x|x＞a}，M⊆N，∴a＜1．故选：A．【点评】本题主要考查了集合包含关系的应用，属于基础题．六．子集与真子集（共7小题）19．（2023•怀化二模）已知集合M＝{﹣1，1，2，3，4，5}，N＝{1，2，4}，P＝M∩N，则P的真子集共有（）A．3个B．6个C．7个D．8个【分析】先利用交集运算求解交集，再根据交集的元素个数来求解答案．【解答】解：因为M＝{﹣1，1，2，3，4，5}，N＝{1，2，4}，所以P＝M⋂N＝{1，2，4}，所以P的真子集共有23﹣1＝7个．故选：C．【点评】本题主要考查真子集个数的求解，属于基础题．20．（2023•安徽三模）已知集合，B＝{y|y＝x2，x∈A}，则集合A∪B的非空真子集的个数为（）A．14B．15C．30D．62【分析】先求出集合A，进而求出集合B，再利用集合的并集运算求出A∪B，结合非空真子集的个数公式求解即可．【解答】解：不等式，等价于（x﹣3）（x+1）≤0，且x+1≠0，解得﹣1＜x≤3，∴集合＝{0，1，2，3}，∴B＝{y|y＝x2，x∈A}＝{0，1，4，9}，∴A∪B＝{0，1，2，3，4，9}，∴集合A∪B的非空真子集的个数为26﹣2＝62．故选：D．【点评】本题主要考查了分式不等式的解法，考查了集合的基本运算，属于基础题．21．（2023•黄埔区校级模拟）设集合M＝{x|x2﹣2x﹣3＜0，x∈Z}，则集合M的真子集个数为（）A．8B．7C．4D．3【分析】根据已知条件，先求出集合M，再结合真子集的定义，即可求解．【解答】解：集合M＝{x|x2﹣2x﹣3＜0，x∈Z}＝{x|（x﹣3）（x+1）＜0，x∈Z}＝{0，1，2}，则集合M中元素个数为3个，故集合M的真子集个数为23﹣1＝7．故选：B．【点评】本题主要考查真子