重难点04函数的奇偶性（7种考法）（解析版）

重难点04函数的奇偶性（7种考法）【目录】考法1：函数奇偶性的定义与判断考法2：由奇偶性求函数解析式考法3：函数奇偶性的应用考法4：抽象函数的奇偶性考法5：由奇偶性求参数考法6：由函数奇偶性解不等式考法7：奇偶函数对称性的应用一、奇函数解题方法点拨：①如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，如奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝x2+x那么当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x）⇒﹣f（x）＝x2﹣x⇒f（x）＝﹣x2+x命题方向：奇函数是函数里很重要的一个知识点，同学们一定要熟悉奇函数的概念和常用的解题方法，它的考查形式主要也就是上面提到的这两种情况﹣﹣求参数或者求函数的表达式．二、偶函数解题方法点拨：①运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3+bx2+cx+d，那么a+c是多少？②结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f（﹣2）＝0，周期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x轴至少有几个交点．命题方向：与奇函数雷同，熟悉偶函数的性质，高考中主要还是以选择题或者填空题的形式考查对偶函数性质的灵活运用．三．函数奇偶性的性质与判断二、命题规律与备考策略【解题方法点拨】①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．【命题方向】函数奇偶性的应用．本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．四．奇偶函数图象的对称性【解题方法点拨】由函数图象的对称性可知：①奇函数的定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．eg：若奇函数f（x）在区间[1，3]内单调递增，且有最大值和最小值，分别是7和4，求函数f（x）在区间[﹣3，﹣1]内的最值．解：由奇函数的性质可知，f（x）在[﹣3，﹣1]上位单调递增函数，那么最小值为f（﹣3）＝﹣f（3）＝﹣7；最大值为f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣4【命题方向】本知识点是高考的一个重点，同学首先要熟悉奇偶函数的性质并灵活运用，然后要多多总结，特别是偶函数与周期性相结合的试题，现在的一个命题方式是已知周期偶函数某一小段内与x轴交点的个数，求在更大范围内它与x轴的交点个数，同学们务必多多留意．五．奇偶性与单调性的综合【解题方法点拨】参照奇偶函数的性质那一考点，有：①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反【命题方向】奇偶性与单调性的综合．不管出什么样的题，能理解运用奇偶函数的性质是一个基本前提，另外做题的时候多多总结，一定要重视这一个知识点．六．抽象函数及其应用【解题方法点拨】①尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来，如f（x+y）＝f（x）+f（y），它的原型就是y＝kx；②可通过赋特殊值法使问题得以解决例：f（xy）＝f（x）+f（y），求证f（1）＝f（﹣1）＝0令x＝y＝1，则f（1）＝2f（1）⇒f（1）＝0令x＝y＝﹣1，同理可推出f（﹣1）＝0③既然是函数，也可以运用相关的函数性质推断它的奇偶性；【命题方向】抽象函数及其应用．抽象函数是一个重点，也是一个难点，解题的主要方法也就是我上面提到的这两种．高考中一般以中档题和小题为主，要引起重视．考法1：函数奇偶性的定义与判断一、单选题1．（2023·广西·校联考模拟预测）果树的负载量，是影响果树产量和质量的重要因素.苹果树结果期的负载量y（单位：kg）与干周x（树干横截面周长，单位：cm）可用模型23012ybbxbx模拟，其中0b，1b，2b均是常数.则下列最符合实际情况的是（）A．20b时，y是偶函数B．模型函数的图象是中心对称图形C．若1b，2b均是正数，则y有最大值D．苹果树负载量的最小值是0b【答案】C【分析】因为23012ybbxbx的定义域为0xx，不关于原点对称，可判断A，B；对函数求导，得出函数的单调性，可判断C，D.【详解】因为23012ybbxbx的定义域为0xx，不关于原点对称，故A不正确；模型函数的图象也不可能是中心对称图象，故B不正确；2121223230ybxbxxbbx，则0x或1223bxb，若1b，2b，均是正数，则12203bxb，令0y，则1223bxb；令0y，则12203bxb，所以函数在1220,3bb上单调递增，在122,3bb上单调递减，所以当1223bxb时，y有最大值，故C正确；2121223230ybxbxxbbx，若120,0bb，则0y，三、题型方法函数在0,上单调递增，所以0yb，苹果树负载量的最小值不是0b，故D不正确.故选：C.2．（2023·河南新乡·统考三模）函数23ln1()1||xxfxx的部分图象大致为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据函数奇偶性结合函数值的符合分析判断.【详解】由题意可得：()fx的定义域为R，因为12223ln13ln13ln1()()1||1||1||xxxxxxfxfxxxx，所以()fx为奇函数，排除B，D.当0x时，则21||0,11xxx，可得2ln10xx，所以()0fx，排除A.故选：C.3．（2023·北京丰台·统考二模）已知函数11()221xfx，()fx是()fx的导函数，则下列结论正确的是（）A．()()0fxfxB．()0fxC．若120xx，则1221xfxxfxD．若120xx，则1212fxfxfxx【答案】D【分析】根据函数的奇偶性概念判断A，根据导函数值域判断B，利用特例法排除选项C，利用指数运算及指数函数的单调性结合不等式的性质即可判断D.【详解】对于A，易知Rx，1121()2212(21)xxxfx，所以2112()2(21)2(12)xxxxfx，所以()()fxfx，错误；对于B，因为11()221xfx，所以22ln2()(21)xxfx，由ln20知()0fx，错误；对于C，111(1)2216f，2113(2)22110f，虽然012，但是1221ff，故对120xx，1221xfxxfx不恒成立，错误；对于D，函数1121()221222xxxfx，则12121221212(21)2(21)xxxxfxfx，121212212(21)xxxxfxx，因为210xx，所以21221xx，所以1222(21)210xxx，所以12122122xxxx，所以1212122222221xxxxxx，即12122(21)(21)(21)xxxx，所以121221(21)(21)21xxxx，所以121212122(21)21(21)(21)21xxxxxxxx，又12211221212121221xxxxxx，所以1221121212(21)(21)(21)(21)21(21)(21)21xxxxxxxxxx，所以1221121212(21)(21)(21)(21)212(21)(21)2(21)xxxxxxxxxx，即121212122121212(21)2(21)2(21)xxxxxxxx，所以1212fxfxfxx，正确.故选：D4．（2023·新疆乌鲁木齐·统考二模）已知x，ππ,44y，且33sin204sincos0xxayyya，则tan2xy（）A．0B．33C．1D．3【答案】A【分析】33sin20,4sincos0xxayyya抽象为一个函数的两个函数值，分析函数的性质，利用函数值的关系，求出自变量的关系，进而求解.【详解】由已知3sin2xxa，382sincos20yyya，所以3sinπ2xxa，3(2)sin22yya，设3()sinfttt，ππ,22t，则()(2)2fxfya，函数3()sinfttt的定义域为ππ,22，定义域关于原点对称，又33()sinsinftttttft，所以函数3()sinfttt，ππ,22t为奇函数，当π0,2t时，函数3,sinytyt都为增函数，所以函数3()sinfttt在π0,2上单调递增，由函数3()sinfttt，ππ,22t为奇函数，可得函数3()sinfttt在ππ,22上单调递增，所以2xy，故20xy，所以tan(2)0xy.故选：A.二、多选题5．（2023·江苏·统考二模）已知函数2sinsin2fxxx，则（）A．fx是偶函数，也是周期函数B．fx的最大值为332C．fx的图像关于直线π3x对称D．fx在π0,3上单调递增【答案】BD【分析】根据奇偶函数的定义即可判断A，求导得到fx，从而得到其极值，即可判断B，根据对称性的定义即可判断C，由fx在π0,3的正负性即可判断D.【详解】因为2sinsin2fxxx，定义域为R，关于原点对称，且22sinn2sinsin22sinsi2sinfxxxxxfxxx，则fx是奇函数，故A错误；因为22cos2cos22cos22cos122cos1cos1xxxfxxxx，令0fx，则1cos2x或cos1x，当ππ2π,2π,33xkkkZ时，0fx，函数fx单调递增，当π5π2π,2π,33xkkkZ时，0fx，函数fx单调递减，所以maxππ2π32sinsin33332fxf，故B正确；因为00f，2π2π4π32sinsin03332f，所以不关于π3x对称，故C错误；因为22cos1cos1fxxx，当π0,3x时，2cos10,cos10xx，则()0fx¢，所以fx在π0,3上单调递增，故D正确.故选:BD6．（2023·湖南长沙·长郡中学校考一模）已知函数()sinfxxx，则下列说法正确的有（）A．()fx是偶函数B．()fx是周期函数C．在区间π,π2上，()fx有且只有一个极值点D．过0,0作y=()fx的切线，有无数条【答案】AC【分析】根据fx的解析式，分别其对称性，周期性，单调性以及切线方程作出分析.【详解】显然()sinsin()fxxxxxfx