第八章 平面解析几何（测试）（解析版）

第八章平面解析几何（测试）时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知命题p：1k，命题q：直线10kxy与抛物线2yx=有两个公共点，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题意，联立可得210kxyyx，消去y整理可得：210xkx，则240k恒成立，则直线10kxy与抛物线2yx=必定有两个交点，则pq显然成立，qp不成立，故选：A.2．已知双曲线22124xy的右顶点为P，过点P的直线l垂直于x轴，并且与两条渐近线分别相交于A，B两点，则PAPB（）A．2B．2C．4D．4【答案】C【解析】双曲线的右顶点2,0P，直线l的方程为2x，双曲线的两条渐近线方程为2yx或2yx，当2x时，2y或2，即2,2A，2,2B，则224PAPB.故选：C．3．已知双曲线C：2219yx，若双曲线C的一条弦的中点为1,4，则这条弦所在直线的斜率为（）A．94B．1C．1D．94【答案】D【解析】设该弦为AB，设1122,,,AxyBxy，则有221122221919yxyx，两式相减，得121212129yyyxxxxx，因为双曲线C的一条弦的中点为1,4，所以12122,8xxyy，因此由121212121212994yyyxyxxxxxxx，即这条弦所在直线的斜率为94，方程为99741444yxyx，代入双曲线方程中，得2631261930xx，因为21264631930，所以该弦存在，故选：D4．我们都知道：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点1,0A和2,1B，且该平面内的点P满足||2||PAPB，若点P的轨迹关于直线20(,0)mxnymn对称，则25mn的最小值是（）A．10B．20C．30D．40【答案】B【解析】设点P的坐标为,xy，因为2PAPB，则222PAPB，即22221221xyxy，所以点P的轨迹方程为22(5)(2)20xy-+-=，因为P点的轨迹关于直线200,0mxnymn对称，所以圆心5,2在此直线上，即522mn，所以25mn125522mnmn14251425201022022nmnmmnmn，当且仅当425nmmn，即11,52mn时，等号成立，所以25mn的最小值是20.故选：B.5．已知抛物线C：220ypxp的顶点为O，经过点0,2Ax，且F为抛物线C的焦点，若3AFOF，则p＝（）A．12B．1C．2D．2【答案】C【解析】因为点0,2Ax在抛物线上，3AFOF，所以0322ppx，所以0xp，所以,2Ap，所以242p，解得2p.故选：C6．已知点(0,4)F是抛物线2:2(0)Cxpyp的焦点，点(2,3)P，且点M为抛物线C上任意一点，则||||MFMP的最小值为（）A．5B．6C．7D．8【答案】C【解析】因为点(0,4)F是抛物线2:2(0)Cxpyp的焦点，所以42p，解得8p，所以抛物线C的方程为：216xy．由抛物线的定义知：点M到点(0,4)F的距离等于点M到准线4y的距离，结合点(2,3)P与抛物线C的位置关系可知，||||MFMP的最小值是点(2,3)P到准线4y的距离，故||||MFMP的最小值为7．故选：C.7．首钢滑雪大跳台是冬奥史上第一座与工业旧址结合再利用的竞赛场馆，它的设计创造性地融入了敦煌壁画中飞天的元素，建筑外形优美流畅，飘逸灵动，被形象地称为雪飞天.中国选手谷爱凌和苏翊鸣分别在此摘得女子自由式滑雪大跳台和男子单板滑雪大跳台比赛的金牌.雪飞天的助滑道可以看成一个线段PQ和一段圆弧QM组成，如图所示.在适当的坐标系下圆弧QM所在圆的方程为22103128xy，若某运动员在起跳点M以倾斜角为45且与圆C相切的直线方向起跳，起跳后的飞行轨迹是一个对称轴在y轴上的抛物线的一部分，如下图所示，则该抛物线的轨迹方程为（）A．244xyB．2132yxC．2321xyD．2144yx【答案】A【解析】由题意知：1CMk，又10,3C，直线CM方程为：310yx，即70xy；由2270103128xyxy得：25xy或1811xy，即2,5M或18,11M，M为靠近y轴的切点，2,5M；设飞行轨迹的抛物线方程为：2yaxc，则2yax，在点M处的切线斜率为1，41a，解得：14a，1544c，解得：4c，2144yx，即抛物线方程为：244xy.故选：A.8．已知双曲线22221(0,0)xyabab的左，右顶点分别为1A，2A，点M在直线xc上运动，若12AMA的最大值为45，则双曲线的离心率e（）A．2B．2C．233D．512【答案】A【解析】不妨设,Mct在第一象限，则0t，又1F，2F分别是双曲线的左右焦点，所以1,0Aa，2,0Aa，1,0Fc，2,0Fc，设12AMF,22AMF，则12AMA，tanact，tancat，所以12tantantantan1tantanAMA2222222212accaataaattaccabtacbbtttttt，当且仅当2btt，即tb时，等号成立，故12tanaAMAb，由题意可得tan451ba，所以离心率2212cbeaa.故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知方程22141xytt表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（）A．当14t时，曲线C是椭圆B．当4t或1t时，曲线C是双曲线C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则512tD．若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则4t【答案】BCD【解析】对于A，当52t时，3412tt，则曲线C是圆，A错误；对于B，当4t或1t时，(4)(1)0tt，曲线C是双曲线，B正确；对于C，若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则410tt，解得512t，C正确；对于D，若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则401tt，解得4t，D正确．故选：BCD10．已知抛物线C：24yx的焦点为F，准线为l，点Al，线段AF交抛物线C于点B，过点B作l的垂线，垂足为H，若3FAFB，则（）A．53BHB．4AFC．3AFBHD．4AFBH【答案】BC【解析】抛物线C：24yx的焦点(1,0)F，准线l为=1x，设准线l与x轴交于点M，∵3FAFB，由ABH与△AFM相似得：||||2||||3BHABMFAF，∵||2MF，∴24||233BH，即34BH，故A错误；由抛物线定义得||||BFBH，∴||3||3||4AFBFBH，即4AF，3AFBH，故BC正确，D错误．故选：BC．11．(多选)已知点1F，2F是双曲线C：22221(0,0)xyabab的左、右焦点，P是双曲线C位于第一象限内一点，若120PFPF，212PFPF，则下列结论正确的是（）A．12PFF△的面积为232aB．双曲线C的离心率为5C．双曲线C的渐近线方程为20xyD．若双曲线C的焦距为25，则双曲线C的方程为2214yx【答案】BD【解析】对于选项A：由定义可得122PFPFa，因为122PFPF，所以14PFa，22PFa，由已知1290FPF，所以12PFF△的面积为2121142422PFPFaaa，故A错误；对于选项B：由勾股定理得222(2)(4)(2)aac，即225ac，所以225cceaa，故B正确；对于选项C：因为22224bcaa，所以224ba，即2ba，所以双曲线的渐近线方程为：20xy，故C错误；对于选项D：由双曲线C的焦距为25得5c，从而21a，24b，所以双曲线C的方程为2214yx，故D正确.故选：BD.12．已知离心率为22的椭圆2222:1(0)xyCabab的左，右焦点分别为1F，2F，过点1F且斜率为0kk的直线l交椭圆于A，B两点，A在x轴上方，M为线段AB上一点，且满足11934AMMFFB，则（）A．12123AFFBFFSSB．直线l的斜率为2C．2AF，AB，2BF成等差数列D．2AMF的内切圆半径13ra【答案】AC【解析】如图1：因为11934AMMFFB，设1MFm，则1143,,43mAMmFBFAm，所以113AFFB，所以123yy，故12123AFFBFFSS，故A正确.设1,0Fc，2,0Fc，:lxtyc，由椭圆离心率为22可得：2ac，bc，故椭圆方程可化为：22222ycx，联立直线l方程整理得：222220tytcyc.设11(,)Axy，22(,)Bxy，则有：12222tcyyt，21222cyyt，又123yy，所以1222222tcyyyt，21222223cyyty，所以2222322tcctt，解得：21t，故22111kkt，故B错误.如图2：设椭圆上顶点为A，则12122cos45,2AFceaFAFF，因为1,k所以1245AFF，所以A与A重合，所以A为上顶点，故22AFac，242233ABccc，2125222233BFaBFccc，易知满足222ABAFBF，故C正确对于D：由122145AFFAFF知：2AMF是以A为直角的直角三角形，故内切圆半径222AMAFMFr352222144244cccca，故D错误.故选：AC.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．抛物线22(0)ypxp焦点为F，准线上有点(,23),2pMQ是抛物线上一点，MQF为等边三角形，则Q点坐标为．【答案】(3,23)【解析】抛物线22(0)ypxp焦点为F，点(,23)2pM在准线2px上，在等边MQF中，||||QMQF，因此QM长等于点Q到准线的距离，即有QM与抛物线准线垂直，令抛物线准线与x轴交于点N，则||23MN，由//QMx轴，得60MFNQMF，于是||||||2,||||4tan60sin60MNMNpFNQMMF，令0(,23)Qx，则042px，解得03x，所以Q点坐标为(3,23).故答案为：(3,23)14．点P是双曲线1C：22221xyab（0a，0b）和圆2C：2222xyab的一个交点，且122PFF21PFF，其中1F，2F是双曲线1C的两个焦点，则双曲线1C的离心率为．【答案】31/13【解析】由题中条件知，圆的直径是双曲线的