重难点突破04 轻松搞定圆锥曲线离心率十九大模型（十九大题型）（解析版）

重难点突破04轻松搞定圆锥曲线离心率十九大模型目录求离心率范围的方法一、建立不等式法：1、利用曲线的范围建立不等关系．2、利用线段长度的大小建立不等关系．12,FF为椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点，P为椭圆上的任意一点，1,PFacac；12,FF为双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点，P为双曲线上的任一点，1PFca．3、利用角度长度的大小建立不等关系．12,FF为椭圆22221xyab的左、右焦点，P为椭圆上的动点，若12FPF，则椭圆离心率e的取值范围为sin12e．4、利用题目不等关系建立不等关系．5、利用判别式建立不等关系．6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．7、利用基本不等式，建立不等关系．二、函数法：1、根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；2、通过确定函数的定义域；3、利用函数求值域的方法求解离心率的范围．三、坐标法：由条件求出坐标代入曲线方程建立等量关系．题型一：建立关于a和c的一次或二次方程与不等式例1．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1C与双曲线2C共焦点，双曲线2C实轴的两顶点将椭圆1C的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则双曲线2C的离心率为（）A．3B．2C．5D．6【答案】C【解析】设双曲线2C的实半轴长为a，由双曲线2C实轴的两顶点将椭圆1C的长轴三等分，可得椭圆的长半轴为3a，半焦距为c，设P为椭圆与双曲线在第一象限的交点，设1||PFx，2||PFy，则62xyaxya，可得4,2xaya，由题意P在以12FF为直径的圆上，所以2224xyc，所以可得22204ac，即离心率5cea，故选：C例2．（2023·湖南·高三校联考阶段练习）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为12,FF，经过2F的直线交椭圆C于,PQ两点，O为坐标原点，且2220,2OPOFPQPFFQ，则椭圆C的离心率为.【答案】53/153【解析】因为2220,2OPOFPQPFFQ，所以22302OPOFPF，即22302OPOFOFOP，所以21OPOFOFc，所以12π2FPF.设2FQx，则22PFx，所以1122,2PFaxQFax，由22211||PFPQQF得222(22)(3)(2)axxax，所以3ax，所以2124,33aPFaPF，在12RtPFF△中，由2221212PFPFFF，得22224(2)33aac，所以53cea.故答案为:53.例3．（2023·海南海口·高三统考期中）已知双曲线2222:10,0xyCabab的左顶点为A，右焦点为,0Fc，过点A的直线l与圆222xcyca相切，与C交于另一点B，且π6BAF，则C的离心率为（）A．3B．52C．2D．32【答案】A【解析】显然圆222xcyca的圆心为,0Fc，半径为ca，令直线l与圆相切的切点为D，连接FD，则FDAB，有π6DAF，而||AFac，又||2||AFFD，因此2()acca，解得3ca，所以双曲线C的离心率为3cea.故选：A变式1．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知右焦点为F的椭圆E：222210xyabab上的三点A，B，C满足直线AB过坐标原点，若BFAC于点F，且3BFCF，则E的离心率是（）A．22B．75C．32D．12【答案】A【解析】设椭圆左焦点为1,0Fc，连接1AF，1BF，1CF，设CFm，0m，结合椭圆对称性得13AFBFm，由椭圆定义得23AFam，12CFam，则22ACam.因为1OFOF，OAOB，则四边形1AFBF为平行四边形，则1AFBF∥，而BFAC，故1AFAC，则22211AFACCF，即2229222mamam，整理得3am，在1RtFAF中，22211AFAFFF，即2229232mamc，即22222aaac，∴222ac，故22cea.故选：A变式2．（2023·福建龙岩·福建省龙岩第一中学校考模拟预测）已知双曲线C：22221(0,0)xyabab的右焦点为F，过F分别作C的两条渐近线的平行线与C交于A，B两点，若||23ABb，则C的离心率为【答案】32/23【解析】如图所示：设直线方程为byxca与双曲线方程22221(0,0)xyabab联立，解得223,22acbxycac，因为||23ABb，所以32232bbac，即223bac，即22230caca，解得32cea，故答案为：32变式3．（2023·湖北·高三校联考阶段练习）双曲线2222:1,0xyCabab的左焦点为F，直线FD与双曲线C的右支交于点D，A，B为线段FD的两个三等分点，且22OAOBa（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为.【答案】102【解析】由题意得,0Fc，取AB中点M，连接OM，设双曲线C的右焦点为1F，连接1DF，因为22OAOBa，所以OMAB，又A，B为线段FD的两个三等分点，所以EMDM，即M为FD的中点，又O为1FF的中点，所以1//DFOM，故1FDFD，设12DFm，则OMm，又22OAOBa，由勾股定理得2212AMBMam，则221662DFAMam，由双曲线定义得12DFDFa，即2216222amma①，在Rt1DFF中，由勾股定理得22211DFDFFF，即2222216442ammc②，由①得22132amam，两边平方得2274200aamm，解得2am或710a（负值舍去），将2am代入②得2252ac，故离心率为102ca.故答案为：102变式4．（2023·河南开封·统考模拟预测）已知A是双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右顶点，点(2,3)P在C上，F为C的左焦点，若APF的面积为92，则C的离心率为．【答案】2【解析】由题设知：||AFac，则139||||222APFPSyAFAF，所以3ac且ca，易知：302a，又22491ab，故222249baab，且222abc，所以2222224()9()caaaca，则42222213(4)(3)(4)aacaaa，化简得322346(1)(26)0aaaaaa，解得1a或17a（舍），综上，1a，故2c，则离心率为2ca.故答案为：2变式5．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考一模）如图，在底面半径为1，高为6的圆柱内放置两个球，使得两个球与圆柱侧面相切，且分别与圆柱的上下底面相切.一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面，得到的截线是一个椭圆.则该椭圆的离心率为.【答案】32【解析】如图所示：由题意可得1,2BFBO，所以1sin2BOF，又因为1sinOMODMODOD，结合BOFODM可知11sinsin2OMODMBOFODOD，所以2ODa，而22b，即1b，所以2222213cab，所以离心率32cea.故答案为：32.变式6．（2023·陕西西安·校考三模）已知双曲线C：22221xyab0,0ab的左焦点为F，过F的直线与圆222xya相切于点Q，与双曲线的右支交于点P，若2PQQF，则双曲线C的离心率为.【答案】132【解析】由题知，记右焦点为1F，过1F做1//FMOQ如图所示，QF与圆222xya相切，OQPF，OQa，OFc，22FQcab，O为1FF中点，1//FMOQ，故1FQOFMF△∽，且相似比为1:2，即12FMa，QMb，22PQQFb，PMb，3PFb，在双曲线22221xyab中，有12PFPFa，132PFba，1//FMOQ，OQPF，1FPM为直角三角形，22211FMPMPF，即222232abba，化简可得23ba，上式两边同时平方，将222bca代入可得22413ca，则213ca，即离心率132cea.故答案为：132变式7．（2023·河北·高三校联考期末）双曲线C：22221(0,0)xyabab的左焦点为F，右顶点为A，过A且垂直于x轴的直线交C的渐近线于点P，PO恰为PFA的角平分线，则C的离心率为．【答案】2【解析】设,0Fc，作出图像，如下图：根据题意易知PAb，且PAFA，又FAca，所以由勾股定理可得：2222PFFAPAcab，又PO恰为PFA的角平分线，所以根据角平分线性质定理可得：PFFOPAAO，22cabcba，又222bca，222222222222cacacacccacaa，222221eeee，即2221eee，21ee，即220ee，又1e，所以解得：2e.故答案为：2.题型二：圆锥曲线第一定义例4．（2023·湖南株洲·高三校考阶段练习）已知12,FF分别为双曲线2222:1(0,0)xyEabab的左、右焦点，过原点O的直线l与E交于,AB两点（点A在第一象限），延长2AF交E于点C，若212π,3BFACFBF，则双曲线E的离心率为．【答案】3【解析】由题意,AB关于原点对称，又12,FF也关于原点对称，所以四边形12AFBF是平行四边形，所以11212π,3FBCFFAFAFA，所以1ACF△为等边三角形，则11AFCF，则12ACFF，由双曲线的定义，得122AFAFa，所以124,2AFaAFa，则1222πtan323FFceAFa．故答案为：3．例5．（2023·山西大同·高三统考开学考试）已知椭圆221221(0)xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，点,PQ为C上关于坐标原点对称的两点，且12||||PQFF，且四边形12PFQF的面积为249a，则C的离心率为．【答案】73【解析】因为点,PQ为C上关于坐标原点对称的两点，且12||||PQFF，所以四边形12PFQF为矩形，即12PFPF，所以1212122||||PFQFPFFSSPFPF△，由椭圆定义与勾股定理知：12222122||4PFPFaPFPFc，所以212||||2PFPFb，所以22429ab222()ac，所以73ca，即C的离心率为73．故答案为：73例6．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆2222:10yxEabab的上、下焦点分别为1F、2F，焦距为23，与坐标轴不垂直的直线l过1F且与椭圆E交于A、B两点，点P为线段2AF的中点，若2290ABFFPB，则椭圆E的离心率为．【答案】63/36【解析】因为点P为线段2AF的中点，2290ABFFPB，则2ABBF，所以，2ABF△为等腰直角三角形，设20ABBFmm，则22AFm，由椭圆的定义可得221212422ABBFAFAFAFBFBFam，所以，422ma，所以，122422222BFamaaa，由勾股定理可得2221212BFBFFF，即22222