重难点突破06 弦长问题及长度和、差、商、积问题（七大题型）（解析版）

重难点突破06弦长问题及长度和、差、商、积问题目录1、弦长公式的两种形式①若A，B是直线ykxm与圆锥曲线的两个交点，且由两方程消去y后得到一元二次方程20pxqxr，则221211||PQkxxkp．②若A，B是直线xmyn与圆锥曲线的两个交点，且由两方程消去x后得到一元二次方程20pyqyr，则2211||ABABmyymp．题型一：弦长问题例1．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知直线l与圆22:1Oxy相切，且交椭圆22:143xyC于1122,,,AxyBxy两点，若1267yy，则||AB．【答案】4307/4307【解析】设直线:lxmyt，直线l与圆22:1Oxy相切，222||1,11ttmm，将直线l方程与椭圆方程联立，得2224363120mymtyt，所以212231243tyym，因为1267yy，所以22223126,1,2437tmtm，由对称性，不妨取1,2mt，21262626430,||1147777yyAB故答案为：4307.例2．（2023·全国·高三对口高考）已知椭圆2219xy，过左焦点F作倾斜角为π6的直线交椭圆于A、B两点，则弦AB的长为．【答案】2【解析】在椭圆2219xy中，3a，1b，则2222cab，故点22,0F，设点11,Axy、22,Bxy，由题意可知，直线AB的方程为()3223yx=+，即322xy，联立2232299xyxy可得2124610yy，1664121440，由韦达定理可得1263yy，12112yy，所以，22121261134242312AByyyy.故答案为：2.例3．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆2222:1(0)xyCabab，C的上顶点为A，两个焦点为1F，2F，离心率为12．过1F且垂直于2AF的直线与C交于D，E两点，ADEV的周长是13，则DE．【答案】6【解析】如图，连接122,,AFDFEF，因为C的离心率为12，所以12ca，即2ac，所以22223bacc，因为12122AFAFacFF，所以12AFF△为等边三角形，又2DEAF，所以直线DE为线段2AF的垂直平分线，所以2ADDF，2AEEF，则ADEV的周长为22||||||||ADAEDEDFEFDE2211DFEFDFEF134134aa，138c，而1230EFF，所以直线DE的方程为3()3yxc，代入椭圆C的方程2222143xycc，得22138320xcxc，设11,Dxy，22,Exy，则21212832,1313ccxxxx，所以22212121483248144633131313cccDExxxx，故答案为：6.变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C：2213xy，若直线l的倾斜角为60°，且与双曲线C的右支交于M，N两点，与x轴交于点P，若32MN，则点P的坐标为.【答案】3,0【解析】双曲线双曲线C：2213xy的渐近线方程为33yx，而直线l的倾斜角为60°，则直线l的斜率为3，可设直线l的方程为3yxm，与双曲线方程2213xy联立，化简可得22863330xmxm，由222Δ108323312960mmm，得22m或22m．设11,Mxy，22,Nxy，则123304mxx，2123308mxx，则0m，所以22m，2222121212273313242162mmMNxxxxxx2324322m，解得：3m（舍去）或3m，所以直线l的方程为33yx，令0y，可得3x.故点P的坐标为3,0.故答案为：3,0.变式2．（2023·贵州·统考模拟预测）已知双曲线22:10Cxmym的左、右焦点分别为1F，2F，点A，B分别在双曲线C的左支与右支上，且点A，B与点2F共线，若11::2:2:3ABAFBF，则AB.【答案】83【解析】因为11::2:2:3ABAFBF，设1ABAFt，132BFt，由双曲线定义可得21222AFAFAFABBF，所以1224BFBF，即342t，83t，即83AB.故答案为：83.变式3．（2023·四川巴中·高三统考开学考试）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线24yx的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点5,4A射出，经过抛物线上的点B反射后，再经抛物线上的另一点C射出，则BC．【答案】254【解析】如图，由题意可知ABx∥轴，5,4A，将4y代入24yx中得4x，即(4,4)B,又(1,0)F，则404413BFk，故BC的方程为4(1)3yx，联立24yx，可得241740xx，解得14x，或4x（此时C与B关于x轴对称，不合题意），则1(,1)4C，故22125(4)(41)44BC，故答案为：254.变式4．（2023·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）已知抛物线28yx的焦点为F，准线与x轴的交点为C，过点C的直线l与抛物线交于A，B两点，若AFBCFB，则||AF．【答案】8【解析】由题意得，2,0,2,0FC，当直线l的斜率为0时，与抛物线只有1个交点，不合要求，故设直线l的方程为2xmy，不妨设0m，联立28yx，可得28160ymy，易得0，设1122,,,AxyBxy，则120,0yy，则12128,16yymyy，则2121ABmyy，222211BCmymy，由正弦定理得sinsinCFBCCBFCFB，sinsinAFABABFAFB，因为AFBCFB，πCBFABF，所以12yy，CFBCAFAB，即22221212141myyAFyymyy，又由焦半径公式可知111222AFxmymy，则21124ymyyy，即2121212124444myyyyyyyy，即21646464mm，解得233m，则1212163,163yyyy，解得143y，故18|3|2433mAFy，当0m时，同理可得到||8AF.故答案为：8变式5．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知双曲线C两条准线之间的距离为1，离心率为2，直线l经过C的右焦点，且与C相交于A、B两点.(1)求C的标准方程；(2)若直线l与该双曲线的渐近线垂直，求AB的长度.【解析】（1）因为直线l经过C的右焦点，所以该双曲线的焦点在横轴上，因为双曲线C两条准线之间的距离为1，所以有222112aaaccc，又因为离心率为2，所以有122caac代入212ac中，可得2221,2413acbca，∴C的标准方程为：2213yx；（2）由上可知：该双曲线的渐近线方程为3yx，所以直线l的斜率为33，由于双曲线和两条直线都关于y轴对称，所以两条直线与双曲线的相交弦相等.又因为直线斜率的绝对值小于渐近线斜率的绝对值，所以直线与双曲线交于左右两支，因此不妨设直线l的斜率为33，方程为323yx与双曲线方程联立为：2221384130323yxxxyx，设1122,,,AxyBxy，则有1212113,28xxxx，2221212121232323231131443.333348ABxxxxxxxx变式6．（2023·湖南邵阳·高三湖南省邵东市第三中学校考阶段练习）已知抛物线22(0)ypxp的准线方程是12x.(1)求抛物线的方程；(2)设直线(2)(0)ykxk与抛物线相交于M，N两点，若210MN，求实数k的值.【解析】（1）因为抛物线22(0)ypxp的准线方程为2px，所以122p，解得1p，所以抛物线的方程为22yx.（2）如图，设11(,)Mxy，22(,)Nxy.将(2)ykx代入22yx，消去y整理得22222(21)40kxkxk.当22224(21)440kkk时，22122222142kkxxkk，124xx.22212121211()4MNkxxkxxxx222442116210kMNkk，化简得：224116440kkk，解得21k，经检验，此时0，故1k.题型二：长度和问题例4．（2023·宁夏银川·银川一中校考一模）如图所示，由半椭圆2212:104xyCyb和两个半圆222:110Cxyy、223:110Cxyy组成曲线:,0CFxy，其中点12,AA依次为1C的左、右顶点，点B为1C的下顶点，点12,FF依次为1C的左、右焦点．若点12,FF分别为曲线23,CC的圆心．(1)求1C的方程；(2)若过点12,FF作两条平行线12,ll分别与12,CC和13,CC交与,MN和,PQ，求MNPQ的最小值．【解析】（1）由两圆的方程知：圆心分别为11,0C，21,0C，即11,0F，21,0F，214b，解得：23b，221:1043xyCy.（2）由题意知：122MNPQMFPF；12//llQ，由对称性可知：12MFPF为椭圆22143xy截直线2l的弦长，设2:1lxmy，其与椭圆22143xy交于点11,xy和22,xy由221143xmyxy得：2234690mymy，则248330m122634myym，122934yym，2221212122212141443434mMFPFmyyyymm，当0m时，12MFPF取得最小值413，MNPQ的最小值为325.例5．（2023·河南安阳·安阳一中校联考模拟预测）定义：一般地，当0且1时，我们把方程22220xyabab表示的椭圆C称为椭圆222210xyabab的相似椭圆．已知椭圆22:14xCy，椭圆C（0且1）是椭圆C的相似椭圆，点P为椭圆C上异于其左、右顶点,MN的任意一点．(1)当2时，若与椭圆C有且只有一个公共点的直线12ll，恰好相交于点P，直线12ll，的斜率分别为12,kk，求12kk的值；(2)当2e（e为椭圆C的离心率）时，设直线PM与椭圆C交于点,AB，直线PN与椭圆C交于点,DE，求ABDE的值．【解析】（1）设00,Pxy，则直线1l的方程为010yykxx，即1010ykxykx，记010tykx，则1l的方程为1ykxt，将其代入椭圆C的方程，消去y，得22211418440kxktxt，因为直线1l