您好,欢迎访问三七文档
当前位置:首页 > 中学教育 > 高中教育 > 重难点突破14 阿基米德三角形 (七大题型)(解析版)
重难点突破14阿基米德三角形目录如图所示,AB为抛物线22(0)xpyp的弦,11(,)Axy,22(,)Bxy,分别过,AB作的抛物线的切线交于点P,称PAB△为阿基米德三角形,弦AB为阿基米德三角形的底边.1、阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴.2、若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内定点00Cxy,,则另一顶点P的轨迹为一条直线.3、若直线l与抛物线没有公共点,以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点.4、底边长为a的阿基米德三角形的面积的最大值为38ap.5、若阿基米德三角形的底边过焦点,则顶点Q的轨迹为准线,且阿基米德三角形的面积的最小值为2p.6、点P的坐标为1212,22xxxxp;7、底边AB所在的直线方程为121220;xxxpyxx8、PAB△的面积为3128PABxxSp.9、若点P的坐标为00,xy,则底边AB的直线方程为000xxpyy.10、如图1,若E为抛物线弧AB上的动点,点E处的切线与PA,PB分别交于点C,D,则||||||||||||ACCEPDCPEDDB.11、若E为抛物线弧AB上的动点,抛物线在点E处的切线与阿基米德三角形PAB△的边PA,PB分别交于点C,D,则2EABPCDSS.12、抛物线和它的一条弦所围成的面积,等于以此弦为底边的阿基米德三角形面积的23.图1xyPBFAO题型一:定点问题例1.(2023·山西太原·高二山西大附中校考期末)已知点0,1A,0,1B,动点P满足PBABPABA.记点P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程;(2)设D为直线=2y上的动点,过D作C的两条切线,切点分别是E,F.证明:直线EF过定点.【解析】(1)设,Pxy,则,1PAxy,,1PBxy,0,2AB,0,2BA,所以,PBABPABA可以化为2211xyy,化简得24xy.所以,C的方程为24xy.(2)由题设可设,2Dt,11,Exy,22,Fxy,由题意知切线DE,DF的斜率都存在,由24xy,得24xy,则2xy,所以12DExk,直线DE的方程为1112xyyxx,即211122xxyyx,①因为11,Exy在24xy上,所以2114xy,即21122xy,②将②代入①得11220xxyy,所以直线DE的方程为11220xxyy同理可得直线DF的方程为22220xxyy.因为,2Dt在直线DE上,所以11240txy,又,2Dt在直线DF上,所以22240txy,所以直线EF的方程为240txy,故直线EF过定点0,2.例2.(2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测)已知动圆M恒过定点10,8F,圆心M到直线14y的距离为1,8ddMF.(1)求M点的轨迹C的方程;(2)过直线1yx上的动点Q作C的两条切线12,ll,切点分别为,AB,证明:直线AB恒过定点.【解析】(1)设,Mxy,则2211,84MFxydy,因为18dMF,即22111488yxy,当104y,即14y时,则22111488yxy,整理得212xy;当104y,即14y时,则22111488yxy,整理得2108xy,不成立;综上所述:M点的轨迹C的方程212xy.(2)由(1)可知:曲线C:212xy,即22yx,则4yx,设221122,2,,,,1AxxBxxQtt,可知切线QA的斜率为14x,所以切线QA:211124yxxxx,则2111124txxtx,整理得2112410xtxt,同理由切线QB可得:2222410xtxt,可知:12,xx为方程22410xtxt的两根,则121212,2txxtxx,可得直线AB的斜率221212122224ABxxkxxtxx,设AB的中点为00,Nxy,则2222121200121222,24122xxxxxtyxxxxtt,即2,41Nttt,所以直线AB:2414ytttxt,整理得1144ytx,所以直线AB恒过定点1,14P.例3.(2023·全国·高二专题练习)已知平面曲线C满足:它上面任意一定到10,2的距离比到直线32y的距离小1.(1)求曲线C的方程;(2)D为直线12y上的动点,过点D作曲线C的两条切线,切点分别为AB、,证明:直线AB过定点;(3)在(2)的条件下,以50,2E为圆心的圆与直线AB相切,且切点为线段AB的中点,求四边形ADBE的面积.【解析】(1)思路一:由题意知,曲线C是一个以10,2为焦点,以12y的抛物线,故C的方程为:22xy.思路二:设曲线C上的点为,xy,则2213122xyy,由题意易知,0y,整理得,22xy.(2)设111,,,2DtAxy,则21112yx.又因为212yx,所以yx.则切线DA的斜率为1x,故11112yxxt,整理得112210txy.设22,Bxy,同理得222210txy.1122,,,AxyBxy都满足直线方程2210txy.于是直线2210txy过点,AB,而两个不同的点确定一条直线,所以直线AB方程为2210txy,即2210txy,当20,210xy时等式恒成立.所以直线AB恒过定点10,2.(3)思路一:利用公共边结合韦达定理求面积设AB的中点为1122G,,,,AxyBxy,则121212125,,,2222xxyyxxyyGEG,1212,BAxxyy.由0EGBA,得121212125022xxyyxxyy,将22xy代入上式并整理得2212121260xxxxxx,因为120xx,所以120xx或22126xx.由(1)知121,22xxD,所以DGx轴,则21221212121411228ABEABDADBExxSSSEFxxGDxxxxxx四边形(设21xx).当120xx时,2221121244xxxxxx,即212,3ADBExxS四边形;当22126xx时,222122112124,48xxxxxxxx,即2122,42ADBExxS四边形.综上,四边形ADBE的面积为3或42.思路二:利用弦长公式结合面积公式求面积设1,2Dt,由(1)知抛物线的焦点F的坐标为10,2,准线方程为12y.由抛物线的定义,得22221212212211421122222222xxxxxxtABt.线段AB的中点为21,2Gtt.当120xx时,0,tABy轴,2AB,15123;222ADBES四边形;当120xx时,0t,由EGAB,得2152210ttt,即1t.所以34,1,2ABG,直线AB的方程为12yx.根据对称性考虑点311,,1,22GD和直线AB的方程12yx即可.E到直线AB的距离为2253(01)222EG,D到直线AB的距离为221112221(1).所以1422422ADBES四边形.综上,四边形ADBE的面积为3或42.思路三:结合抛物线的光学性质求面积图5中,由抛物线的光学性质易得12,又13,所以23.因为1,AFAAADAD,所以AFD△≌1AAD△,所以1190,,AFDAADDFABDADF.同理BDFV≌11BDBDBDF,所以11DADB,即点D为11AB中点.图6中已去掉坐标系和抛物线,并延长11,BABA于点H.因为,GEABDFAB,所以GEDF∥.又因为,GD分别为11,ABAB的中点,所以1GDAAEF∥∥,故EFDG为平行四边形,从而112,24GDEFABAABBGD.因为FIGD∥且12FIGD,所以I为HD的中点,从而2DFGE.114222ADBABEADBESSSABDFABGE四边形.当直线AB平行于准线时,易得3ADBES四边形.综上,四边形ADBE的面积为3或42.思路四:结合弦长公式和向量的运算求面积由(1)得直线AB的方程为12ytx.由2122ytxxy,可得2210xtx,于是2121212122,1,121xxtxxyytxxt2121ABtxx22212121421txxxxt设12,dd分别为点,DE到直线AB的距离,则212221,1dtdt.因此,四边形ADBE的面积22121312SABddtt.设M为线段AB的中点,则21,2Mtt,由于EMAB,而2,2,EMttAB与向量1,t平行,所以220ttt,解得0t或1t.当0t时,3S;当1t时42S因此,四边形ADBE的面积为3或42.变式1.(2023·陕西·校联考三模)已知直线l与抛物线2:2(0)Cxpyp交于A,B两点,且OAOB,ODAB,D为垂足,点D的坐标为(1,1).(1)求C的方程;(2)若点E是直线4yx上的动点,过点E作抛物线C的两条切线EP,EQ,其中P,Q为切点,试证明直线PQ恒过一定点,并求出该定点的坐标.【解析】(1)设点A的坐标为11,xy,点B的坐标为22,xy,因为1ODk,所以1ABk,则直线AB的方程为2yx,联立方程组222yxxpy,消去y,整理得2240xpxp,所以有122xxp,124xxp,又OAOB,得12121212220xxyyxxxx,整理得121224220xxxppx,解得1p.所以C的方程为22xy.(2)由22xy,得212yx,所以yx,设过点E作抛物线C的切线的切点为200,2xx,则相应的切线方程为20002xyxxx,即2002xyxx,设点(,4)Ett,由切线经过点E,得20042xtxt,即2002280xtxt,设233,2xPx,244,2xQx,则3x,4x是22280xtxt的两实数根,可得342xxt,3428xxt.设M是PQ的中点,则相应342Mxxxt,则2223434343411222224Myyxxyxxxx,即24Mytt,又2234343411222PQxxxxktxx,直线PQ的方程为24()ytttxt,即(1)4ytx,所以直线PQ恒过定点(1,4).变式2.(2023·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试)抛物线
本文标题:重难点突破14 阿基米德三角形 (七大题型)(解析版)
链接地址:https://www.777doc.com/doc-12817154 .html