第01讲 空间几何体的结构特征、表面积与体积（练习）（教师版）

第01讲空间几何体的结构特征、表面积与体积（模拟精练+真题演练）1．（2023·北京·校考模拟预测）在2023年3月12日马来西亚吉隆坡举行的YongJunKLSpeedcubing比赛半决赛中，来自中国的9岁魔方天才王艺衡以4.69秒的成绩打破了“解三阶魔方平均用时最短”吉尼斯世界纪录称号.如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层转动了45之后，表面积增加了（）A．54B．54362C．108722D．81722【答案】C【解析】如图，转动了45后，此时魔方相对原来魔方多出了16个小三角形的面积，显然小三角形为等腰直角三角形，设直角边x，则斜边为2x，则有223xx，得到3232x，由几何关系得：阴影部分的面积为211322792(3)2242S，所以增加的面积为127921616()10872242SS.故选：C.2．（2023·内蒙古呼和浩特·统考一模）盲盒是一种深受大众喜爱的玩具，某盲盒生产厂商要为棱长6cm的正四面体魔方设计一款正方体的包装盒，需要保证该魔方可以在包装盒内任意转动，则包装盒的棱长最短为（）A．36cm2B．36cm4C．26cmD．36cm【答案】D【解析】如图ABCD是棱长为6cm的正四面体，由题意，6cmADBDDC，设BC的中点为M，底面BCD△的重心为G，O为外接球的球心，则有AG底面BCD，3332MDDC，2233CGDGMD，OAOCR，R是外接球半径，在RtAGD中，2226GAADDG，在RtOGC中，22212OGOCGCR，2,1226OGOAGARR，解得36cm2R，即正方体的最短棱长为236cmR.故选：D.3．（2023·云南曲靖·统考二模）如图，在水平地面上的圆锥形物体的母线长为12，底面圆的半径等于4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥侧面爬行一周后回到点P处，则小虫爬行的最短路程为（）A．123B．16C．24D．243【答案】A【解析】如图，设圆锥侧面展开扇形的圆心角为，则由题可得2412，则23，在RtPOP中，12OPOP，则小虫爬行的最短路程为2211212212121232PP.故选：A.4．（2023·江西·校联考模拟预测）光岳楼位于山东聊城古城中央，主体结构建于明洪武七年（1374年），它是迄今为止全国现存古代建筑中最古老、最雄伟的木构楼阁之一，享有“虽黄鹤、岳阳亦当望拜”之誉.光岳楼的墩台为砖石砌成的正四棱台，如图所示，该墩台上底面边长约为32m，下底面边长约为34.5m，高约为9m，则该墩台的斜高约为（参考数据：132136.35）（）A．9.1mB．10.9mC．11.2mD．12.1m【答案】A【解析】如图所示，设该正四棱台为1111ABCDABCD，上下底面中心分别为1,OO，分别取11,BCBC的中点,EF，连接11,,,OOOFOEEF，在平面1OOFE内，作FHOE交OE于H，则19OO，117.252OEAB，1111162OFAB，显然四边形1OOFH是矩形，则19FHOO，116OHOF，所以51.254EHOEOH，在直角FHE中，22225132136.3599.1444EFFHEH，即该墩台的斜高约为9.1m.故选：A5．（2023·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）乐高积木是由丹麦的克里斯琴森发明的一种塑料积木，由它可以拼插出变化无穷的造型，组件多为组合体．某乐高拼插组件为底面边长为3cm、高为4cm的正四棱柱，中间挖去以底面正方形中心为底面圆的圆心、直径为2cm、高为4cm的圆柱，则该组件的体积为（）．（单位：3cm）A．48π8B．366πC．164πD．364π【答案】D【解析】因为正四棱柱的底面边长为3cm、高为4cm，所以正四棱柱的体积为133436VSh3cm，又挖去的圆柱的直径为2cm、高为4cm，所以圆柱的24πVSh3cm，故所求几何体的体积为12364πVVV3cm.故选：D.6．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知圆台上下底面的半径分别为1和2，母线长为3，则圆台的体积为（）A．7π3B．1423πC．7πD．142π【答案】B【解析】由图可得，圆台的高为2232122，故圆台的体积为2222114222π1π2π1π2π33V.故选：B7．（2023·海南海口·校考模拟预测）攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式．宋代称为撮尖，清代称攒尖．依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑．如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为，则侧棱与底面外接圆半径的比为（）A．1sinB．1cosC．12sinD．12cos【答案】D【解析】正六棱锥的底面为正六边形，设其外接圆半径为R，则底面正六边形的边长为R，因为正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为，所以侧棱长为2cos2cosRR，所以侧棱与底面外接圆半径的比为12cos2cosRR.故选：D8．（2023·河北张家口·统考三模）风筝又称为“纸鸢”，由中国古代劳动人民发明于距今2000多年的东周春秋时期，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源.如图，是某高一年上级学生制作的一个风筝模型的多面体,ABCEFD为AB的中点，四边形EFDC为矩形，且,2,120DFABACBCACB，当AEBE时，多面体ABCEF的体积为（）A．263B．63C．33D．6【答案】B【解析】在ABC中，因为ACBC且D为AB的中点，所以CDAB，又因为DFAB，且DFCDDI，,DFCD平面CDFE，所以AB平面CDFE，在ABC中，因为2ACBC且120ACB，所以22212cos44222()122ABACBCACBCACB，所以23AB，且1CD，因为四边形CDFE为矩形，可得DFCD，又因为DFAB，ABCDD且,ABCD平面ABC，所以DF平面ABC，因为//CEDF，所以CE平面ABC，又因为,ACBC平面ABC，所以,CEACCEBC，设CEm，在直角ACE△中，可得22224AEACmm，在直角BCE中，可得22224BEBCmm，因为AEBE，所以222ABAEBE，即221244mm，解得2m，所以多面体ABCEF的体积为：11162221233323ACDFEBCDFEACDFECDFEVVVVSAD.故选：B.9．（多选题）（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考二模）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（）A．圆柱的侧面积为22πRB．圆锥的侧面积为22πRC．圆柱的侧面积与球面面积相等D．圆柱、圆锥、球的体积之比为312∶∶【答案】CD【解析】因为圆柱和圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则圆柱的侧面积为22π·24πRRR，A错误；圆锥的母线长22(2)5lRRR，侧面积为2π5πRlR，B错误；球的表面积为24πR，所以圆柱的侧面积与球面面积相等，C正确；2322πVRRR圆柱，2312π2π33VRRR圆锥，34π3VR球33324::2π:π:π3:1:233VVVRRR圆柱圆锥球，D正确．故选：CD．10．（多选题）（2023·河北保定·统考一模）沙漏，据《隋志》记载：“漏刻之制，盖始于黄帝”．它是古代的一种计时装置，由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为6cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的23（细管长度忽略不计）．假设该沙漏每秒钟漏下30.02cm的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆．以下结论正确的是（）A．沙漏的侧面积是295πcmB．沙漏中的细沙体积为316πcm3C．细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4cmD．该沙漏的一个沙时大约是837秒π3.14【答案】BD【解析】A选项，设下面圆锥的母线长为l，则223635lcm，故下面圆锥的侧面积为π335π95πSrl2cm，故沙漏的侧面积为2185πS2cm，故A错误；B选项，因为细沙全部在上部时，高度为圆锥高度的23，所以细沙形成的圆锥底面半径为2323cm，高为2643cm，故底面积为2π24π，所以沙漏中的细沙体积为3116π4π4cm33，B正确；C选项，由B选项可知，细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的体积为316πcm3，其中此锥体的底面积为2π39π，故高度为16π31631.89π9cm，C错误；D选项，16π163.14837.3300002.2秒，故该沙漏的一个沙时大约是837秒，D正确.故选：BD11．（多选题）（2023·广东梅州·统考三模）已知正方体1111ABCDABCD的棱长为2，1O为四边形1111DCBA的中心，P为线段1AO上的一个动点，Q为线段1CD上一点，若三棱锥QPBD的体积为定值，则（）A．12DQQCB．1DQQCC．12OQD．13OQ【答案】BC【解析】连接AC，交BD于点O，连接1OC，因为1O为四边形1111DCBA的中心，所以11//AOOC，又1OC平面1BDC，1AO平面1BDC，所以1//AO平面1BDC，因为三棱锥QPBD的体积等于三棱锥PQBD的体积，且为定值，所以1//AO平面QBD，所以平面QBD与平面1BDC为同一平面，所以Q为1CD与1DC的交点，所以1DQQC，故A错误，B正确；因为正方体的棱长为2，所以221112OQ．故C正确，D错误．故选：BC．12．（多选题）（2023·海南·海南中学校考三模）如图所示，一个平面图形ABCD的直观图为ABCD，其中1,2OAOCOBOD，则下列说法中正确的是（）A．该平面图形是一个平行四边形但不是正方形B．该平面图形的面积是8C．该平面图形绕着直线AC旋转半周形成的几何体的体积是16π3D．以该平面图形为底，高为3的直棱柱的外接球直径为17【答案】BC【解析】如图所示:将直观图还原为平面图形，由题意可得，4ACBD，故该平面图形为正方形，即A错误；面积14482S，即B正确；将平面图形绕直线AC旋转半周得几何体为两个圆锥，底面半径和高均为2，故体积21162π22π33V，即C正确；以该平面图形为底，高为3的直棱柱其实为长方体，且长宽高分别为22,22,3，所以长方体的体对角线长为28835，即D错误.故选：BC13．（2023·河北·统考模拟预测）已知正四棱台1111ABCDABCD中，1133ABAB，16AA，则其体积为.【答案】263【解析】如图正四棱台1111ABCDABCD中1133ABAB，则223332AC，2121112AC，过点1A作1AEAC交AC于点E，过点1C作1CFAC交AC于点F，则1122ACACAECF，又16AA，所以22112AEAAAE，即正四棱台1111ABCDABCD的高2h，所以棱台的体积2222112613132333VSSSSh.故答案为：26314．（2023·宁夏银川·校考模拟预测）如