第03讲 直线、平面平行的判定与性质（练习）（教师版）

第03讲直线、平面平行的判定与性质（模拟精练+真题演练）1．（2023·陕西西安·统考一模）已知,mn是平面外的两条直线，在//m的前提下，“//mn”是“//n”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为,mn是平面外的两条直线，//m，所以面内必存在一条直线与m平行，不妨设为l，则//ml，所以当//mn时，//nl，又,ln，所以//n，即充分性成立；当//n时，,mn可能平行，也可能相交，即必要性不成立；所以“//mn”是“//n”的充分不必要条件.故选：A.2．（2023·黑龙江大庆·统考二模）已知l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则可以用来判断lm的条件有（）①l，m②l∥，m∥③l，m，∥④l，l，mA．①②B．①③C．②③D．①④【答案】D【解析】根据题意，依次分析4个条件：对于①，垂直于同一平面的两条直线平行，可以判断lm，对于②，平面同一平面的两条直线可以平行、也可以相交或异面，不可以判断lm，对于③，两个平行平面内的两条直线，可以平行、也可以相交或异面，不可以判断lm，对于④，由直线与平面平行的性质分析，可以判断lm，则可以判断lm的是①④；故A，B，C错误.故选：D．3．（2023·江西赣州·统考模拟预测）如图，在正四棱台1111ABCDABCD中，112ABAB，E、F分别为棱CD、1CC的中点，则下列结论中一定不成立的是（）A．1//AE平面11BCCBB．1ACBBC．//BF平面11ADDAD．1AEBF【答案】C【解析】对于A选项，连接1DE，如下图所示：在正四棱台1111ABCDABCD中，112ABAB，则11//CDCD且112CDCD，因为E为CD的中点，则11//CECD且11CECD，所以，四边形11CCDE为平行四边形，则11//DECC，因为1DE平面11BBCC，1CC平面11BBCC，所以，1//DE平面11BBCC，由正四棱台的几何性质可知，四边形1111DCBA为正方形，则1111//BACD，因为11AD平面11BBCC，11BC平面11BBCC，所以，11//AD平面11BBCC，因为1111ADDED，11AD、1DE平面11ADE，则平面11//ADE平面11BBCC，因为1AE平面11ADE，所以，1//AE平面11BBCC，A对；对于B选项，将正四棱台1111ABCDABCD补成正四棱锥PABCD，连接AC交BD于点O，则O为AC的中点，连接PO，因为PAPC，O为AC的中点，则ACPO，又因为四边形ABCD为正方形，则ACBD，因为POBDO，PO、BD平面PBD，所以，AC平面PBD，因为1BB平面PBD，故1ACBB，B对；对于C选项，取棱1DD的中点G，连接AG、FG，在梯形11CDDC中，11//CDCD且112CDCD，因为F、G分别为1CC、1DD的中点，所以，//FGCD且FGCD，因为//ABCD且ABCD，故//FGAB且FGAB，故四边形ABFG为梯形，且AG、BF为两腰，则AG、BF相交，又因为AG平面11AADD，从而直线BF与平面11AADD有公共点，即BF与平面11AADD不平行，C错；对于D选项，连接1BC，如下图所示：因为11//CDCD，112CDCD，E为CD的中点，则11//CECD且11CECD，因为1111//ABCD且1111ABCD，所以，11//CEAB且11CEAB，故四边形11ABCE为平行四边形，所以，11//BCAE，若1BFAE，则1BFBC，不妨设2BC，111BC，在平面11BCCB内，以点B为坐标原点，BC为x轴，过点B且垂直于BC的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设点1B到直线BC的距离为h，则0,0B、11,2Bh、2,0C、13,2Ch、7,42hF，13,2BCh，7,42hBF，则2121082hBCBF，解得212h，即当点1B到直线BC的距离为212时，1AEBF，D对.故选：C.4．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）已知平面、、，其中//，，点A在平面内，有以下四个命题：①在内过点A，有且只有一条直线垂直；②在内过点A，有且只有一条直线平行；③过点A作的垂线l，则//l；④与、的交线分别为m、n，则//mn．则真命题的个数为（）A．3B．2C．1D．0【答案】B【解析】//，，，又点A在平面内，在内过点A，有且只有一条直线垂直，故①正确；当A在与的交线上时，在内过点A，不存在直线平行，故②错误；当A在与的交线上时，过点A作的垂线l，则l，故③错误；与、的交线分别为m、n，由平面与平面平行的性质，可得//mn，故④正确．真命题的个数为2．故选：B．5．（2023·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）如图，已知正方体1111ABCDABCD的棱长为1，,EF分别是棱AD，11BC的中点．若点P为侧面正方形11ADDA内（含边界）的动点，且1//BP平面BEF，则1BP与侧面11ADDA所成角的正切值最大为（）A．2B．1C．52D．5【答案】D【解析】取11AD的中点M，连接AM、1BM、1AB、EM、FM，如图所示：在正方体1111ABCDABCD中，11//ADBC且11ADBC，因为E、F分别是棱AD、11BC的中点，则1//AEBF且1AEBF，所以，四边形1ABFE为平行四边形，则1//ABEF，1AB平面BEF，EF平面BEF，1//AB平面BEF，同理可证//AM平面BEF，1ABAMA，1,ABAM平面1ABM，所以平面1//ABM平面BEF，AM平面11AADD，若PAM，则1BP平面1ABM，1//BP平面BEF，所以，点P在侧面11AADD内的轨迹为线段AM，因为11BA平面11ADDA，所以1BP与侧面11ADDA所成的角为11BPA，在11RtBPA，111BA，所以1111111tanBABPAAPAP，所以1BP与侧面11ADDA所成角的正切值为11AP，在1RtAAM中，1111,2AAAM，所以52AM，所以点1A到边AM的距离为55，即1AP的最小值为55，所以1BP与侧面11ADDA所成角的正切值的最大值为5，故选：D.6．（2023·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）如图，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆的直径，点M，C为底面圆周上的点，并将弧AB三等分，过AC作平面，使SB∥，设与SM交于点N，则SMSN的值为（）A．43B．32C．23D．34【答案】B【解析】连接MB交AC于点D，连接,,NDNANC，则平面NAC即为平面，因为SB∥，平面SMBDN，SB平面SMB，所以SBDN∥，因为AB为底面圆的直径，点M，C将弧AB三等分，所以30ABMBMCMBCBAC，12MCBCAB，所以MCAB∥且12MCAB，所以12DMMCDBAB，又SBDN∥，所以12MNDMSNDB，所以32SMSN.故选：B.7．（2023·云南昆明·统考模拟预测）已知正方体ABCD－A1B1C1D1，平面满足1,ACBC////，若直线AC到平面的距离与BC1到平面的距离相等，平面与此正方体的面相交，则交线围成的图形为（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形【答案】D【解析】如图，设,,,,,EFGHMN分别为,,ABBC111111,,,CCCDADAA的中点，连接11111,,,,,,,,,EFFGGHHMMNNEABCDADAC，1111111111,,22FGBCMNADFGBCMNADBCADBCAD//，//，//，，FGMN//，FGMN，同理可得，,EFMHEFMH//，,GHNEGHNE//，,,,,,EFGHMN共面，,ACEFAC//平面EFGHMN，EF平面EFGHMN，//AC平面EFGHMN，同理可得1//BC平面EFGHMN，E为AB的中点，A到平面EFGHMN的距离与B到平面EFGHMN的距离相等，即平面EFGHMN为所求的平面，故与正方体交线为正六边形EFGHMN.故选：D8．（2023·江西赣州·统考二模）在棱长为4的正方体1111ABCDABCD中，点P满足14AAAP，E，F分别为棱BC，CD的中点，点Q在正方体1111ABCDABCD的表面上运动，满足1//AQ面EFP，则点Q的轨迹所构成的周长为（）A．5373B．237C．7373D．8373【答案】D【解析】延长,ADAB，交EF的延长线与,HG，连接,PGPH，分别交1BB，1DD于R，T过点1A作1//AKPG交1BB于点K，过点1A作1//ANPH交1DD于点N，因为1AK平面EFP，PG平面EFP，所以1//AK平面EFP，同理可得1//AN平面EFP，因为111AKANA，所以平面//EFP平面1AKN，过点N作1//NMAK交1CC于点M，连接MK，则1//MKAN则平行四边形1AKMN（1A点除外）为点Q的轨迹所构成的图形，因为正方体棱长为4，E，F分别为棱BC，CD的中点，14AAAP，所以11,3APBRDT，因为13APKRNT，所以11124333BKDN，过点N作NJ⊥1CC于点J，则1123CJDN，则由几何关系可知123JMBK，所以1224333CM，由勾股定理得221142371693AKANMNMKNJJM，所以点Q的轨迹所构成的周长为8373.故选：D9．（多选题）（2023·广东广州·华南师大附中校考三模）下列命题正确的是（）A．如果一条直线上两点到一个平面的距离相等，那么这个直线与这个平面平行B．两条平行直线被两个平行平面所截的线段长度相等C．如果一个平面内一个锐角的两边，分别平行于另一个平面内一个角的两边，那么这两个平面平行D．如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直【答案】BC【解析】对于A，当直线上的两点位于平面的同侧时，可得直线与平面平行；当两点位于平面两侧时，直线与平面相交，故A错误；对于B，如图，ACBD∥，则,ACBD确定一个平面，又因为∥，平面ABDCCD，平面ABDCAB，所以根据平面与平面平行的性质得CDAB∥，所以四边形ABDC是平行四边形，所以ACBD，故B正确；对于C，根据平面与平面平行的判定可知C正确；对于D，当平面内的无数条直线都平行时，不能得到直线与平面垂直，故D错误；故选：BC.10．（多选题）（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）已知，，是三个平面，a，b，c．下列结论正确的是（）A．若abO，则b与c可能是异面直线B．若abO，则直线a、b、c必然交于一点（即三线共点）C．若//ab，则//bcD．若//ab，则b与c可能是异面直线【答案】BC【解析】对于A、B：由题意，知abO，可得Oa，Ob，因为a，可得O，又由b，可得O，所以O为与的公共点．又c，所以Oc，所以a、b、c三线共点，故A错误，B正确．对于C、D：由题意，因为//ab，b，a，所以//b，因为c，c，b，所以//bc，同理可证//ac，所以////abc，故C正确，D错误；故选：BC11．（多选题）（2023·广东梅州·统考三模）已知正方体1111ABCDABCD的棱长为2，1O为四边形1111DCBA的中心，P为线段1AO上的一个动点，Q