重难点突破02 利用传统方法求线线角、线面角、二面角与距离（四大题型）（教师版）

重难点突破02利用传统方法求线线角、线面角、二面角与距离目录知识点1：线与线的夹角（1）位置关系的分类：点一个平面内，没有公共异面直线：不同在任何相交直线平行直线共面直线（2）异面直线所成的角①定义：设ab，是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aabb∥，∥，把a与b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）．②范围：(0]2，③求法：平移法：将异面直线ab，平移到同一平面内，放在同一三角形内解三角形．知识点2：线与面的夹角①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角．②范围：[0]2，③求法：常规法：过平面外一点B做BB平面，交平面于点'B；连接AB，则BAB即为直线AB与平面的夹角．接下来在△RtABB中解三角形．即sin斜线长BBhBABAB（其中h即点B到面的距离，可以采用等体积法求h，斜线长即为线段AB的长度）；知识点3：二面角（1）二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个平面称为二面角的面．（二面角l或者是二面角ACDB）（2）二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角；范围[0]，．（3）二面角的求法法一：定义法在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如图在二面角l的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可）．法二：三垂线法在面或面内找一合适的点A，作AO于O，过A作ABc于B，则BO为斜线AB在面内的射影，ABO为二面角c的平面角．如图1，具体步骤：①找点做面的垂线；即过点A，作AO于O；②过点（与①中是同一个点）做交线的垂线；即过A作ABc于B，连接BO；③计算：ABO为二面角c的平面角，在RtABO△中解三角形．图1图2图3法三：射影面积法凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（'''cos=ABCABCSSSS射斜，如图2）求出二面角的大小；法四：补棱法当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．当二平面没有明确的交线时，也可直接用法三的摄影面积法解题．法五：垂面法由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．例如：过二面角内一点A作AB于B，作AC于C，面ABC交棱a于点O，则BOC就是二面角的平面角．如图3．此法实际应用中的比较少，此处就不一一举例分析了．知识点4：空间中的距离求点到面的距离转化为三棱锥等体积法求解．题型一：异面直线所成角例1．（2023·四川绵阳·绵阳中学校考二模）如图，圆柱的轴截面为矩形ABCD，点M，N分别在上、下底面圆上，2NBAN，2CMDM，2AB，3BC，则异面直线AM与CN所成角的余弦值为（）baAOBbABCB'C'A'A．33010B．33020C．35D．34【答案】B【解析】如图（1），在AB上取点E，使2AEEB，连接NE，AN，NB，BE，EA．易知四边形ANBE为矩形，则NBAE∥，且NBAE．连接MN，CM．因为MNBC∥，且MNBC，所以四边形MNBC为平行四边形，所以CMNB∥，且CMNB．连接CE，则AECM∥，且AECM，所以四边形AECM为平行四边形，则AMCE∥，所以NCE或其补角是异面直线AM与CN所成的角．在RtABN△中，2NBAN，2AB，3BN，1AN，在RtBNC△中，3CB，3BN，所以223(3)23CN．在RtBCE中，3CB，1BE，所以223110CE．又2NEAB，在NCE△中，由余弦定理10124330cos2021023NCE．故选：B.例2．（2023·全国·高三校联考开学考试）如图，在直三棱柱111ABCABC-中，1ABBCACAA，则异面直线1AB与1BC所成角的余弦值等于（）A．32B．12C．13D．14【答案】D【解析】如图，将该几何体补成一个直四棱柱1111ABCDABCD，由题易得底面ABCD为菱形，且ABC为等边三角形.连接1,DCBD，易得11ABDC∥，所以1BCD（或其补角）是异面直线1AB与1BC所成的角.设AB1，则21112,2132BCDCBD，所以22212(2)(2)(3)1cos42(2)BCD.故选：D.例3．（2023·江西·高三统考阶段练习）如图，二面角l的大小为5π,,6ab，且a与交线l所成的角为π3，则直线,ab所成的角的正切值的最小值为（）A．3B．3913C．33D．31313【答案】B【解析】先证明一个结论：如图，直线ST为平面的一条斜线，T为斜足，ST与平面所成的角为，则平面内的直线与直线ST所成角的最小值为.证明：对于平面内的任意一条直线m，如果其不过点T，则可以平移该直线至点T，此时直线m与直线ST所成角即为平移后的直线与直线ST所成的角.设平移后的直线为直线TG（如图），过S作TG的垂线，垂足为E，S在平面内的射影为O，连接OT，则STO，而直线TG与直线ST所成的角即为STE，其中π0,2STE，π0,2.因为sin,sin,SESOSTESESOSTST，故STE，当且仅当TG与OT重合时等号成立，所以平面内的直线与直线ST所成角的最小值为.回到原题，如图，设alB，取a上一点A，过A作ACl，垂足为,CAD，垂足为D，连接,CDBD，因为AD，l，故ADl，而ACl，ADACA，,ADAC平面ADC，故l平面ADC，而DC平面ADC，故CDl，故ACD为平面l的平面角的补角，故5πππ66ACD.不妨令ADx，则2,3ACxDCx.又60ABC，所以23xBC，所以22133BDDCBCx，所以339tan1313133ADxABDBDx.因为AD，故AB与平面所成的角为ABD，由前述所证结论可得，直线,ab所成角的最小值为ABD，其正切值为3913.故选：B.变式1．（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）在正三棱柱111ABCABC-中，1ABAA，D为11AB的中点，E为11AC的中点，则异面直线AD与BE所成角的余弦值为（）A．66B．3510C．3514D．357【答案】C【解析】D为11AB的中点，E为11AC的中点，所以1112DECB，11//DECB，如图，延长CB至F，使得12BFCB，连接DE，DF，AF，11CBCB，因为1112BFCB，所以DEBF，//DEBF，所以四边形BEDF是平行四边形，//DFEB，则ADF为异面直线AD与BE所成的角或补角．设12ABAA，取AC的中点M，连接EM、BM，则EMAC，2EM，3BM，11AD，2222237DFEBEMBM，222211215ADAAAD，由余弦定理得222cos1207AFABBFABBF，由余弦定理得2225135cos22147ADDFAFADFADDF．所以直线AD与BE所成角的余弦值为3514故选：C.变式2．（2023·全国·高三对口高考）两条异面直线a、b所成角为π,3一条直线l与a、b成角都等于，那么的取值范围是（）A．ππ,32B．ππ,62C．π5π,66D．π2π,33【答案】B【解析】设//aa，//bb，abO，则,ab确定平面，且a与b的夹角为π3，//ll，l过点O，如图，当l时，并且l为π3角的平分线时，此时π6，当l时，且l为平面的斜线时，由题意可知，l在平面的射影，落在a与b的所成角的平分线上，当落在夹角π3的角平分线上时，过直线l上一点P，作PA，ABb，连结PB,b，则PAb，PAABA，且,PAAB平面PAB，所以b平面PAB，PB平面PAB，所以bPB，tantanPBPOBOB，πtantan6ABAOBOB,因为PBAB，所以πtantan6，π0,2，此时ππ,62，当l时，此时π2，可知，的取值范围是ππ,62，当l在2π3角的平分线时，或是l在平面的射影，落在2π3角的平分线时，以及l时，此时的取值范围是ππ,32，综上可知，的取值范围是ππ,62，故选：B变式3．（2023·四川·校联考模拟预测）在正四棱台1111ABCDABCD中，1124ABAB，其体积为282,3E为11BD的中点，则异面直线1AD与BE所成角的余弦值为（）A．310B．35C．3310D．3010【答案】D【解析】设正四棱台1111ABCDABCD的高为h，连接BD，作1DFBE∥交BD于点F，作1DGBD交BD于点G，连接,AGAF，则1ADF为异面直线1AD与BE所成角或其补角.因为1124ABAB，且正四棱台AB1111CDABCD的体积为2823，即128241641633h，所以2h，即12DG，易求2DGBF，32BG，110DFAFAG，123AD，所以1cosADF121010301022310.故选：D.变式4．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）正三棱柱111ABCABC-的棱长均相等，E是11BC的中点，则异面直线1AB与BE所成角的余弦值为（）A．24B．23C．1020D．31020【答案】D【解析】连接11,AEAB，设F为1AE的中点，设11,ABAB交于点D，连接DF，由于四边形11ABBA为平行四边形，故D为1AB的中点，所以DFBE∥，则ADF即为异面直线1AB与BE所成角或其补角，连接AF，由于正三棱柱111ABCABC-的棱长均相等，设棱长为2，则221115415,22BEBBBEDFBE,111132,3,22ADABAEAF，则2211319442AFAAAF，故在ADF△中，222519231044cos2205222ADDFAFADFADDF,由于异面直线1AB与BE所成角的范围为π(0,]2，故异面直线1AB与BE所成角的余弦值为31020，故选：D题型二：线面角例4．（2023·贵州贵阳·校联考三模）如图，在直三棱柱111ABCABC-中，1ABACAA，60BAC，则1AB与平面11AACC所成角的正弦值等于（）A．22B．32C．64D．104【答案】C【解析】如图所示：取11AC的中点D，连接1BD，AD，在正三棱柱111ABCABC-中，底面111ABC是正三角形，111BDAC，又1CC底面111ABC，1BD平面111ABC，11CCBD.又1111CCACC，1CC平面11AACC，11AC平面11AACC，1BD平面11AACC，1BAD为1AB与平面11AACC所成角，由题意，设12ABACAAa，221)3(2BaD