第02讲 单调性问题（六大题型）（讲义）（原卷版）

第02讲单调性问题目录考点要求考题统计考情分析（1）结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系．（2）能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）．2022年甲卷第12题，5分2022年I卷第7题，5分2021年浙江卷第7题，5分高考对单调性的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．高考在本节内容上无论试题怎样变化，我们只要把握好导数作为研究函数的有力工具这一点，将函数的单调性本质问题利用图像直观明了地展示出来，其余的就是具体问题的转化了．知识点一：单调性基础问题1、函数的单调性函数单调性的判定方法：设函数()yfx在某个区间内可导，如果()0fx，则()yfx为增函数；如果()0fx，则()yfx为减函数．2、已知函数的单调性问题①若()fx在某个区间上单调递增，则在该区间上有()0fx恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足()0fx，才能得出()fx在某个区间上单调递增；②若()fx在某个区间上单调递减，则在该区间上有()0fx恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足()0fx，才能得出()fx在某个区间上单调递减．知识点二：讨论单调区间问题类型一：不含参数单调性讨论（1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）；（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；（3）求根作图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论）；（4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）；（5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）；（6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导）；求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．（7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段）；类型二：含参数单调性讨论（1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）；（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；（3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根；（4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）；（5）导数图像定区间；【解题方法总结】1、求可导函数单调区间的一般步骤（1）确定函数()fx的定义域；（2）求()fx，令()0fx，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；（3）把函数()fx的间断点（即()fx的无定义点）的横坐标和()0fx的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数()fx的定义域分成若干个小区间；（4）确定()fx在各小区间内的符号，根据()fx的符号判断函数()fx在每个相应小区间内的增减性．注：①使()0fx的离散点不影响函数的单调性，即当()fx在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，()fx在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的．例如，在(,)上，3()fxx，当0x时，()0fx；当0x时，()0fx，而显然3()fxx在(,)上是单调递增函数．②若函数()yfx在区间(,)ab上单调递增，则()0fx（()fx不恒为0），反之不成立．因为()0fx，即()0fx或()0fx，当()0fx时，函数()yfx在区间(,)ab上单调递增．当()0fx时，()fx在这个区间为常值函数；同理，若函数()yfx在区间(,)ab上单调递减，则()0fx（()fx不恒为0），反之不成立．这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件．于是有如下结论：()0fx()fx单调递增；()fx单调递增()0fx；()0fx()fx单调递减；()fx单调递减()0fx．题型一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像【例1】（2023·全国·高三专题练习）设fx是函数fx的导函数，yfx的图象如图所示，则yfx的图象最有可能的是（）A．B．C．D．【对点训练1】（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知函数()fx的定义域为R且导函数为'()fx，如图是函数'()yxfx的图像，则下列说法正确的是A．函数()fx的增区间是(2,0),(2,)B．函数()fx的增区间是,2,2,C．2x是函数的极小值点D．2x是函数的极小值点【对点训练2】（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）已知函数yxfx的图象如图所示（其中fx是函数fx的导函数），下面四个图象中可能是yfx图象的是（）A．B．C．D．【对点训练3】（2023·陕西西安·校联考一模）已知定义在[3,4]上的函数fx的大致图像如图所示，()fx是fx的导函数，则不等式0xfx的解集为（）A．5(2,1)1,2B．(3,2)C．5(1,0)1,2D．(3,4)【解题方法总结】原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数()fx单调递增导函数()0fx（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足()0fx）；原函数单调递减导函数()0fx（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足0()0fx）．题型二：求单调区间【例2】（2023·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）函数22lnxyxx的单调递增区间为（）A．(0,2)B．(0,1)C．(2,)D．(1,)【对点训练4】（2023·全国·高三专题练习）函数lnyxx（）A．严格增函数B．在0,1e上是严格增函数，在1,e上是严格减函数C．严格减函数D．在0,1e上是严格减函数，在1,e上是严格增函数【对点训练5】（2023·全国·高三专题练习）函数2ln41fxx的单调递增区间（）A．1,2B．1,2C．11,22D．0,【对点训练6】（2023·高三课时练习）函数bfxaxx（a、b为正数）的严格减区间是（）．A．,baB．,0ba与0,baC．,0ba与0,baD．,00,bbaa【解题方法总结】求函数的单调区间的步骤如下：（1）求()fx的定义域（2）求出()fx．（3）令()0fx，求出其全部根，把全部的根在x轴上标出，穿针引线．（4）在定义域内，令()0fx，解出x的取值范围，得函数的单调递增区间；令()0fx，解出x的取值范围，得函数的单调递减区间．若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间不能用“”、“或”连接，而应用“和”、“，”隔开．题型三：已知含量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间，求参数范围【例3】（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）若函数2()ln2xfxx在区间1(,)3mm上不单调，则实数m的取值范围为（）A．203mB．213mC．213mD．m1【对点训练7】（2023·陕西西安·统考三模）若函数2lnfxxaxx在区间1,e上单调递增，则a的取值范围是（）A．3,B．,3C．23,e1D．23,e1【对点训练8】（2023·全国·高三专题练习）若函数3log(0afxaxxa且1)a在区间0,1内单调递增，则a的取值范围是（）A．3,B．1,3C．10,3D．1,13【对点训练9】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()sincosfxxax在区间ππ,42上是减函数，则实数a的取值范围为（）A．21aB．1aC．12aD．1a【对点训练10】（2023·全国·高三专题练习）三次函数3()fxmxx在(,)上是减函数，则m的取值范围是（）A．0mB．1mC．0mD．1m£【对点训练11】（2023·青海西宁·高三校考开学考试）已知函数ln1afxxx.若对任意1x，20,2x，且12xx，都有21211fxfxxx，则实数a的取值范围是（）A．27,4B．,2C．27,2D．,8【对点训练12】（2023·全国·高三专题练习）若函数2ln2fxxax在区间1,22内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（）A．2,B．1,8C．128，D．2,【对点训练13】（2023·全国·高三专题练习）若函数2()ln2fxxxx在其定义域的一个子区间(21,21)kk内不是单调函数，则实数k的取值范围是（）A．33,24B．1,32C．3,32D．13,24【对点训练14】（2023·全国·高三专题练习）已知函数2lnfxxxb（Rb）在区间1,22上存在单调递增区间，则实数b的取值范围是A．3,2B．9,4C．,3D．,2【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知函数321132afxxxx在,0，3,上单调递增，在1,2上单调递减，则实数a的取值范围为（）A．105,32B．,2C．10,23D．105,32【对点训练15】（2023·全国·高三专题练习）已知函数3223110fxmxmxmm的单调递减区间是0,4，则m（）A．3B．13C．2D．12【解题方法总结】（1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为导函数恒大于等于或恒小于等于零求解，先分析导函数的形式及图像特点，如一次函数最值落在端点，开口向上的抛物线最大值落在端点，开口向下的抛物线最小值落在端点等．（2）已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法求解参变量范围．（3）已知函数在区间上存在单调递增或递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解．题型四：不含参数单调性讨论【例5】（2023·全国·高三专题练习）已知函数1ln10xfxxx.试判断函数fx在0，上单调性并证明你的结论；【对点训练16】（2023·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知elnxafxxx若1a，讨论fx的单调性；【对点训练17】（2023·贵州·校联考二模）已知函数lne1xfxxx．(1)求曲线yfx在点1,1f处的切线方程；(2)讨论fx在0,上的单调性．【对点训练18】（2023·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知函数eRxfxaxa，πecos2xgxx.(1)若0fx，求a的取值范围；(2)求函数gx在0,上的单调性；【对点训练19】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()ln(e1)lnxfxx．判断()fx的单调性，并说明理由；【解题方法总结】确定不含参的函数的