重难点突破12 导数中的“距离”问题（七大题型）（解析版）

重难点突破12导数中的“距离”问题目录导数中的“距离”问题，利用化归转化和数形结合的思想可把问题转化为点到直线的距离、两点间的距离问题，再利用导数法来求距离的最值．方法之一是转化化归，将动点间的距离问题转化为点到直线的距离问题，而这个“点”一般就是利用导数求得的切点；方法之二是构造函数，求出导数，利用导数求解最值．题型一：曲线与直线的距离例1．（2023·浙江·高二校联考期中）已知函数223ln3fxxtxt，其中Rt，若存在0x，使得0910fx成立，则实数0xt的值为_________.【答案】10【解析】设()3ln,()3hxxgxx，则223ln3fxxtxt可看做()hx图象上任意一点P与()3gxx图象上点(,3)Mtt的距离的平方，设函数()hx过点00(,3ln)Pxx的切线l平行于直线3yx．则3()hxx，令033x，解得01x，∴切点(1,0)P．点P到直线3yx的距离310d，此时09()10fx，∴存在01x，使09()10fx，过点P且与直线3yx垂直的直线方程为：1(1)3yx.联立31(1)3yxyx，解得13,1010xy．即110t，13(,)1010M时，存在01x使得2||PM为910成立，此时0110110xt.故答案为：10例2．（2023·湖南衡阳·高三衡阳市八中阶段练习）已知实数,,,abcd满足2ln21badc，，则22acbd的最小值______.【答案】95【解析】由题意可得22acbd可以表示两点,ab与,cd之间距离的平方故2blna，21dc可以看成是函数2ylnx，21yx即函数2ylnx在,ab的切线与函数21yx平行时求出最小值则222alnab，解得10ab此时335541d故22acbd的最小值为95例3．（2023·辽宁锦州·高二校联考期中）若实数abcd,,,满足223ln(2)0baacd，则22()()acbd的最小值为_____．【答案】8【解析】实数a、b、c、d满足：222(3)(2)0balnacd，230balna，设by，ax，则有：23ylnxx，且20cd，设cx，dy，则有：2yx，22()()acbd就是曲线23ylnxx与直线2yx之间的最小距离的平方值，对曲线23ylnxx求导：3()2yxxx，与2yx平行的切线斜率312kxx，解得：1x或32x（舍)，把1x代入23ylnxx，得：1y，即切点为(1,1)，切点到直线2yx的距离：|112|222，22()()acbd的最小值就是8．故答案为：8.变式1．（2023·江西鹰潭·高二统考期末）若实数a，b，c，d满足24ln220baacd，则22acbd的最小值为___．【答案】5【解析】由24ln220baacd，得24ln220baacd，所以22acbd表示直线220xy上点P到曲线24lnyxx上点Q距离的平方，由42yxx，令2y，解得1x或20x（舍），得1,1Q，所以所求最小值为2212521，故答案为：5.变式2．（2023·江苏苏州·高二苏州市相城区陆慕高级中学校考阶段练习）实数abcd,,,满足：22e20abcd，则22()()acbd的最小值为________【答案】92/4.5【解析】由题设可得eab，2cd，故2222()()(e2)aaacbddd，设,eaAa，2,Bdd，则222()2eaadBdA，即函数exy的图象的点A与直线2yx上的点B的连线段的平方，而exy，令e1x，则0x，此时exy对应的函数值为1，故函数exy的图象在()0,1处的切线为1yx，AB的最小值即为平行线1yx，2yx之间的距离，此距离为33222，故2AB的最小值为92，故答案为：92变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数2632()2e6e10xxfxxaxaa的最小值是110，则a的值是_______【答案】0.3/310【解析】函数2632()2e6e10xxfxxaxaa22632(2)(e6e9)xxxaxaaa232()(e3)xxaa，可得()fx表示两点3(,e)xx，(,3)aa的距离的平方，即有函数3exy，3yx图象上的两点距离的最小值的平方为110，设直线3yxt与函数3exy的图象相切，33exy，设切点为3(,e)mm，可得333em，解得0m，则3e1m，即有切点为0,1，则221(0)(13)10aa，解得310a，则a的值为0.3．故答案为：0.3．变式4．（2023·湖南常德·高二临澧县第一中学校考阶段练习）已知函数222ln2fxxaxa，其中0xaR，，存在0x，使得045fx成立，则实数a=_______.【答案】15/0.2【解析】设2(,ln),(,2)PxxQaa，设22||dPQ，则2()fxd，而点P在曲线2ln(0)yxx，点Q在直线2yx上，当过曲线2ln(0)yxx上的一点00()Mxy，的切线与直线2yx平行时，点00()Mxy，到直线2yx的距离取得最小值由0022xxyx，可得01x，所以(1,0)M，(1,0)M到直线2yx的距离22|2|2512d，则245d，即4()5fx恒成立，由题意可知存在0xR，使得045fx，则045fx过点(1,0)M垂直于2yx的直线为112yx由1122yxyx，可得1525xy，则1255Q，，则15a故答案为：15变式5．（2023·湖北孝感·高二校联考阶段练习）设22,ln10,ababababR，当a，b变化时，则,ab的最小值______．【答案】2【解析】由22,ln10,ababababR可知，此式表示点(,ln)aa与点(,1)bb间的距离，而点(,ln)aa在曲线lnyx上，点(,1)bb在直线1yx上，所以问题转化为求直线1yx与曲线lnyx间的最小距离，将直线1yx向下平移恰好与曲线相切时，所平移的距离为所求的距离，设直线1yx向下平移与曲线相切时的直线方程为yxm，设切点为00(,)xy，'1yx，则011x，得01x，所以00ln0yx，切点为(1,0)，所以切线方程为1yx，此时直线1yx与1yx间的距离为222，故答案为：2题型二：曲线与点的距离例4．（2023·全国·高三专题练习）若点(,0)At与曲线exy上点P的距离的最小值为23，则实数t的值为A．ln243B．ln242C．ln333D．ln332【答案】D【解析】先设切点B，再根据导数几何意义以及最值列式解得实数t的值.因为231,所以0,t由题意得以A为圆心，23为半径的圆与曲线exy相切于点B,设11exBx，,则在B点处切线的斜率为1ex，所以11121112211()()120()()23xxxeextxtxtxte121111103,()3ln3,ln3322xxtxtext，选D.例5．（2023·全国·高三专题练习）若点0,At与曲线lnyx上点B距离最小值为23，则实数t为A．ln23B．ln32C．1ln332D．1ln222【答案】C【解析】设点B的坐标为,lnmm，根据直线AB与曲线lnyx在点B处的切线垂直，得到t关于m的表达式，再利用两点间的距离公式结合AB的最小值为23，求出m的值，即可得出实数t的值.设点B的坐标为,lnmm，对函数lnyx求导得1yx，由题意可知，直线AB与曲线lnyx在点B处的切线垂直，则lnABtmkmm，得2lntmm，由两点间的距离公式得2224lnABmtmmm，由于AB的最小值为23，即4212mm，0m，解得3m，因此，13ln33ln32t.故选：C.例6．（2023·河北石家庄·石家庄二中校考模拟预测）设点(,0)At，P为曲线xye上动点，若点A，P间距离的最小值为6，则实数t的值为（）A．5B．52C．ln222D．ln322【答案】C【解析】设(,)xPxe，则222()xAPxte，记22()()xgxext，2()22()xgxext，易知2()22()xgxext是增函数，且()gx的值域是R，∴()0gx的唯一解0x，且0xx时，()0gx，0xx时，()0gx，即min0()()gxgx，由题意02200()()6xgxext，而0200()22()0xgxext，020xxte，∴00246xxee，解得022xe，0ln22x．∴020ln222xtex．故选：C．题型三：曲线与圆的距离例7．（2023·福建龙岩·高三统考期末）已知P为函数lnyx图象上任意一点，点Q为圆22211xye上任意一点，则线段PQ长度的最小值为___．【答案】211ee【解析】由圆的对称性可知，只需满足圆心（0，21e）到lnyx图象上一点的距离最小值设lnyx图象上的一点为,(0)mlnmm则1yx即有切线斜率为1km可得21lnmemm2210mlnme,设221gmmlnme120gmmm,gm递增又0ge可得em处点（e,1）到Q的距离最小，为22220111eeee则线段PQ长度的最小值为211ee例8．（2023·上海·高二专题练习）对于平面曲线S上任意一点P和曲线T上任意一点Q，称||PQ的最小值为曲线S与曲线T的距离.已知曲线:Syx和曲线2:1(3)Tyx，则曲线S与曲线T的距离为（）A．1112B．112C．21D．2【答案】A【解析】由题意得：设21122(,),(,13)PxxQxx则22222121()(13)PQxxxx222221122121213213xxxxxxxx221122121268213xxxxxxx22122111(62)(3)213510xxxxxx根据柯西不等式：22222()abcdacbd于是2222acbdabcd2222acbdabcd于是222122111(62)(3)213510PQxxxxxx2222112211(62)4(3)13510xxxxxx221111259591xxxx令21159xxt，则2151111242tx故2222111121(1)1122PQtttPQ故min1112dPQ故选：A例9．（2023·全国·高三专题练习）已知点P为函数()l