第02讲 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性（练习）（解析版）

第02讲函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性（模拟精练+真题演练）1．（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）已知偶函数()fx的图象关于点(1,0)中心对称，当[0,1)x时，()fxx，则452f（）A．22B．12C．22D．12【答案】C【解析】偶函数()fx的图象关于点(1,0)中心对称，则11fxfx，且=fxfx，故2fxfxfx，42fxfxfx，故函数为周期为4的函数，45333112242222222fffff.故选：C2．（2023·广东广州·统考模拟预测）已知函数eln11,011ln1,0exxxxfxxx，若2e2e0xxff，则实数x的取值范围为（）A．,0B．0,C．ln2,0D．,ln2【答案】A【解析】当0x时，0x，则eln11xfxxfx，同理，当0x时，0x，则11ln1exfxxfx，且00f，可知函数fx为奇函数；当0x时，eln11xfxx，则1e1xfxx，令1e1xmxfxx，则21e01xmxx，所以mx在0,单调递增，即00mxm，即0fx，所以fx在0,单调递增，且fx为奇函数，所以fx在R上单调递增.则222e2e0e2eexxxxxfffff，即22e2eee20xxxx，即e2e10xx，可得2e1x，且e0x，所以0e1x，解得0x，所以解集为,0.故选:A3．（2023·河南·模拟预测）已知fx是定义在R上的奇函数，且满足11fxfx，当01x时，lnfxx，则2023f（）A．0B．ln3C．1D．ln2【答案】A【解析】因为fx是定义在R上的奇函数，且满足11fxfx，所以fxfx，2fxfx，则2fxfx，即2fxfx，则42fxfxfxfx，即fx是以4为周期的周期函数，又202345053，当01x时，lnfxx，所以202331ln10fff.故选：A4．（2023·河南·校联考模拟预测）已知fx是定义在R上的函数，且1fx为奇函数，2fx为偶函数，当0,2x时，21fxx，若11af，2log11bf，112cf，则a，b，c的大小关系为（）A．bcaB．bacC．acbD．abc【答案】D【解析】由1fx为奇函数，得()1[()1]fxfx，即2fxfx，又由2fx为偶函数，得22fxfx，即4fxfx，于是42fxfx，即82422fxfxfxfx，因此fx的周期为8，又当0,2x时，21fxx，则()fx在[0,2]上单调递增，由2fxfx，得()fx的图象关于点(0,1)成中心对称，则函数()fx在[2,0]上单调递增，因此函数()fx在[2,2]上单调递增，由22fxfx，得()fx的图象关于直线2x对称，(11)(3)(1)afff，23log114，22216(log11)(4log11)(log)11bfff，11)(0)(2cff，显然2160log111，即有216(0)(log)(1)11fff，即abc，所以a，b，c的大小关系为abc.故选：D5．（2023·辽宁丹东·统考二模）设函数yfx由关系式1xxyy确定，函数,0,,0.fxxgxfxx，则（）A．gx为增函数B．gx为奇函数C．gx值域为[1,)D．函数yfxgx没有正零点【答案】D【解析】由题意，在函数yfx中，1xxyy，可知2221,0,1,01,1,1.xxfxxxxx画以下曲线：221(0,0)yxxy，221(0,0)xyxy，221(0,0)xyxy．这些曲线合并组成fx图象，是两段以yx为渐近线的双曲线和一段圆弧构成．因为,0,,0.fxxgxfxx作fx图象在轴右侧部分包括点0,1关于x轴对称，得到曲线1C，再作1C关于坐标原点对称，去掉点01，得到曲线2C，1C与2C合并组成gx图象．由gx图象可知，gx不是奇函数，gx不是增函数，gx值域为R．当0x时，fx图象与gx图象没有公共点，从而函数yfxgx没有正零点．故选：D.6．（2023·江西抚州·统考模拟预测）已知函数,fxgx都是定义在R上的函数，12fx是奇函数，2gx是偶函数，且23,21fxgxg，则20231kfk（）A．-4052B．-4050C．-1012D．-1010【答案】A【解析】因为2gx是偶函数，所以22gxgx,由23fxgx知，23fxgx，所以fxfx，则f（x）为偶函数.由12fx是奇函数可知，1212fxfx，所以114fxfx，则24fxfx，则24fxfx，所以24fxfx，所以22fxfx，则4fxfx，所以4fxfx，则4为f（x）的一个周期.由114fxfx得，114ff，则114ff，所以()12f=-，由114fxfx得，314ff，即314ff，所以32f,由23fxgx，得023fg，又2g1，所以044ff；在24fxfx中，令4x，得244ff，所以2448ff.20231kfk50512341235058124052fffffff.故选：A.7．（2023·山西·校联考模拟预测）已知函数fx，gx都是定义在R上的函数，12fx是奇函数，2gx是偶函数，且23fxgx，21g，则20231kfk（）A．4052B．4050C．1012D．1010【答案】A【解析】因为2gx是偶函数，所以22gxgx．由23fxgx知，23fxgx，所以fxfx，则fx为偶函数．由12fx是奇函数可知，1212fxfx，所以114fxfx，则24fxfx，则24fxfx，所以24fxfx，所以22fxfx，则4fxfx，所以4fxfx，则4为fx的一个周期．由114fxfx得，114ff，则114ff，所以()12f=-，由114fxfx得，314ff，即314ff，所以32f．由23fxgx，得023fg，又2g1，所以044ff；在24fxfx中，令4x，得244ff，所以2448ff．2023150512341235058124052kfkfffffff.故选：A．8．（2023·江西九江·统考三模）已知定义在R上的函数()fx在0,1上单调递增，(1)fx是奇函数，(1)fx的图像关于直线1x对称，则()fx（）A．在[2020,2022]上单调递减B．在[2021,2023]上单调递增C．在[2022,2024]上单调递减D．在[2023,2025]上单调递增【答案】C【解析】(1)fx是奇函数，(1)(1)fxfx，即()fx的图象关于点(1,0)对称，又()fx在[0,1]上单调递增，()fx在[1,2]上单调递增，即()fx在[0,2]上单调递增.由(1)(1)fxfx，可得(2)()fxfx，由(1)fx图像关于直线1x对称可知()fx为偶函数，∴()fx在[2,4]上单调递减，(2)(2)()fxfxfx，(4)()fxfx，()fx是周期函数，最小正周期为4，∵202245052，202445054，∴()fx在[2022,2024]上的单调性和在[2,4]上的单调性相同，()fx在[2022,2024]上单调递减.故选：C.9．（多选题）（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知非常数函数fx及其导函数fx的定义域均为R，若12fx为奇函数，21fx为偶函数，则（）．A．00fB．20212023ffC．2127fxfxD．20212023ff【答案】BCD【解析】因为非常数函数fx及其导函数fx的定义域均为R，若12fx为奇函数，则(12)(12)fxfx，则函数fx关于点(1,0)成中心对称，且(1)0f，故选项A错误；因为(12)(12)fxfx，令1011x，则20212023ff，故选项B正确；因为(12)(12)fxfx，即11fxfx两边同时求导，则有(1)(1)fxfx，所以函数()fx关于直线1x对称，因为函数21fx为偶函数，所以(21)(21)fxfx，即(1)(1)fxfx，两边同时求导，则有(1)(1)fxfx，所以()fx关于(1,0)成中心对称，则导函数()fx的周期为4(11)8，所以2127fxfx，故选项C正确；因为函数()fx关于直线1x对称，且2021202312，所以20212023ff，故选项D正确，故选：BCD.10．（多选题）（2023·辽宁抚顺·校联考二模）已知函数e1e2e1xxfxx，且满足224fmfm，则实数m的取值可能为（）A．3B．2C．1D．2【答案】AD【解析】令e1ee1xxgxx，则2gxfx，因为e1e1e11eee0e1e1e1e1xxxxxxxxgxgxxx，所以gx为奇函数.又因为21ee1xgxx