第07讲 函数与方程（练习）（解析版）

第07讲函数与方程（模拟精练+真题演练）1．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）函数2ln23fxxxx在区间22,上的零点个数是（）A．3B．4C．5D．6【答案】A【解析】求函数²ln23fxxxx在区间22,上的零点个数，转化为方程2ln230xxx在区间22,上的根的个数.由2ln230xxx，得20xx或ln230x，解得：0x或1x或2x，所以函数²ln23fxxxx在区间22,上的零点个数为3.故选：A.2．（2023·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）设min{,}mn表示m，n中的较小数．若函数2()min||1,26fxxxaxa至少有3个零点，则实数a的取值范围是（）A．[12,)B．(,4](12,)C．(,4)[12,)D．(,4)【答案】A【解析】由题意可得2()260gxxaxa有解，所以28(6)0aa，解得4a或12a，当12a时，必有14(1)260agaa，解得12a；当4a时，必有14(1)280aga，不等式组无解，综上所述，12a，∴a的取值范围为[12,).故选：A3．（2023·河北·统考模拟预测）已知函数ln,01,0xxxfxxxx，若yfxkx恰有两个零点，则k的取值范围为（）A．11,1eB．11,1eC．11,eD．11,11,e【答案】D【解析】yfxkx恰有两个零点,即0fxkx恰有两个实数根，由于0x，所以0fxkx恰有两个实数根等价于fxkx恰有两个实数根，令fxgxx，则2ln1,011,0xxxgxxx，当0x时，()()2lnln11xxgx,gxxx-¢=-=，故当()e0x,gx,¢此时gx单调递增，当()0e0x,gx¢，此时gx单调递减，故当ex时，gx取极小值也是最小值，且当1x时，()lnln011xx,gxxx\=-，当0x时，()2111gxx=+，且gx单调递增，在直角坐标系中画出gx的大致图象如图：要使gxk有两个交点，则11,11,ek，故选：D4．（2023·江西·统考模拟预测）函数sin23cos21fxxx在区间0,π内的零点个数是（）A．2B．3C．4D．5【答案】A【解析】由π2sin2103fxx，得π1sin232x，又0πx，所以ππ5π2333x，所以ππ236x或7π6解得π12t或3π4.所以函数()fx在0,π的零点个数是2.故选：A.5．（2023·江西赣州·统考一模）已知函数221010xxxfxxxx，则方程260fxfx的实根个数为（）A．3B．4C．5D．6【答案】A【解析】260fxfx，解得2fx或3fx，当0x时，2fx，解得=1x，3fx，解得3502x（舍）；当0x时，2fx，解得12x或120x（舍），3fx，解得3132x或31302x（舍）；综上，方程260fxfx的实根为=1x或12x或3132x，即方程260fxfx的实根个数为3个，故选：A.6．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知函数5log,05,πcos,515.5xxfxxx若存在实数1x，2x，3x，41234xxxxx，满足1234fxfxfxfx，则1234xxxx的取值范围是（）A．3750,4B．0,100C．37575,4D．75,100【答案】C【解析】画出fx的图象如下图：由题意可知515212loglog1xxxx，34ππcoscos55xx，由图象可知34,xx关于直线10x对称，所以3420xx，因此123434xxxxxx，当34ππcoscos155xx时，345,15xx，此时3475xx，当34ππcoscos055xx时，341525,22xx，此时343754xx，当存在1x，2x，3x，41234xxxxx使得12340,1fxfxfxfxa时，此时12343437575,4xxxxxx，故选：C7．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知函数π2sin2πZ3=πtanπZ3xxkkfxxxkk，，，，，若方程3fx在0m，上恰有5个不同实根，则m的取值范围是（）A．7463ππ，B．71936ππ，C．51336ππ，D．13763ππ，【答案】D【解析】因为函数π2sin2πZ3=πtanπZ3xxkkfxxxkk，，，，，当ππZ3xkk，时，方程3fx可化为2sin23x，解得ππZ6xkk，，则当0k时，π7π13π19π,,,,6666x，当3ππ，Zxkk时，方程3fx可化为tan3x，解得3ππ，Zxkk，则当0k时，π4π7π10π,,,,3333x因为根据方程3fx在0m，上恰有5个不同实根，所以这5个不同实根为ππ7π4π13π,,,,63636，则13π7π63m，故选：D.8．（2023·山东·校联考模拟预测）从古至今，中国人一直追求着对称美学．世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构——故宫：金黄的宫殿，朱红的城墙，汉白玉的阶，琉璃瓦的顶……沿着一条子午线对称分布，壮美有序，和谐庄严，映祇着蓝天白云，宛如东方仙境．再往远眺，一线贯穿的对称风格，撑起了整座北京城．某建筑物的外形轮廓部分可用函数2fxxax的图像来刻画，满足关于x的方程fxb恰有三个不同的实数根123,,xxx，且123xxxb（其中,(0,)ab），则ba的值为（）A．8081B．169C．8081D．20881【答案】C【解析】因为22222fxaxaaxaxaxfx，所以fx关于xa对称，所以fxb的根应成对出现，又因为x的方程fxb恰有三个不同的实数根123,,xxx且123xxxb，所以该方程的一个根是a，得1232,,xxbaaxb，所以22faaaabfbbabb，由2faab得24ba，当20ba，即02b时，2fbbabb，①则22222aabbabbbab，②由①②可求出169b，所以6481a；当20ba，即2b时，2fbabbb，③22222222ababbabbbabb，④由③④得方程组无实数解；综上，方程组的解为6481169ab，所以16648098181ba．故选：C.9．（多选题）（2023·全国·模拟预测）已知定义域为R的函数()fx满足()fx不恒为零，且(6)()fxfx，(3)(3)0fxfx，(2)0f，则下列结论正确的是（）A．(0)0fB．()fx是奇函数C．()fx的图像关于直线12x对称D．()fx在[0，10]上有6个零点【答案】AB【解析】选项A：对于(6)()fxfx，令0x，得(6)(0)ff，对于(3)(3)0fxfx，令3x，得(6)(0)ff，所以(0)(0)ff，则(0)0f，A正确；选项B：由(6)()fxfx得(6)()fxfx，由(3)(3)0fxfx得(6)()fxfx，所以()()fxfx，()fx是奇函数，B正确；选项C：由(6)()fxfx，得(12)(6)()fxfxfx，所以12是()fx的一个周期，又()fx是奇函数，所以()fx的图像关于点120，对称，因为()fx不恒为零，所以()fx的图像不关于直线12x对称，C错误；选项D：由A知(6)(0)0ff，对于(3)(3)0fxfx，令0x，得(3)0f，所以(9)(3)0ff，由(2)0f，得(8)(2)0ff，(2)(2)0ff，所以(4)(10)0ff，所以()fx在[010]，上的零点为0，2，3，4，6，8，9，10，共8个，D错误．故选：AB．10．（多选题）（2023·云南红河·云南省建水第一中学校考模拟预测）下列函数中，是奇函数且存在零点的是（）A．1yxxB．3yxxC．πsin2yxD．πcos2yx【答案】BD【解析】对于A：设1fxxx，0x，则1fxxfxx，得1yxx为奇函数，令10xx，方程无解，即函数不存在零点，A不符合；对于B：设3,Rfxxxx，则33fxxxxxfx，得3yxx为奇函数，令30xx，得0x，即函数存在零点，B符合；对于C：设πsincos2fxxx，其为R上的偶函数，C不符合；对于D：设πcossin2fxxx，其为R上的奇函数，且存在零点，D符合.故选：BD.11．（多选题）（2023·广东惠州·统考模拟预测）已知函数()32xxfx，xR，则下列结论正确的是（）A．函数fx在(0,)上单调递增B．存在aR，使得函数()xfxya为奇函数C．任意xR，1fxD．函数gxfxx有且仅有2个零点【答案】ABC【解析】对于A：3()3ln32ln22ln3ln22xxxxfx，因为,()0x，所以21x，312x，因此3ln3ln3ln22x，故()0fx，所以fx在(0,)上单调递增，故A正确；对于B：令6a，则6226xxy，令62()26xxhx，定义域为R，关于原点对称，且6226()()2266xxxxhxhx，故hx为奇函数，B正确；对于C：0x时，3()2102xxfx；0x时，0fx；0x时，()21xfx；C正确；对于D：0x时，0gx，0x时，3()322102xxxxgx，0x时，3()322102xxxxgx，所以gx只有1个零点，D错误；故选：ABC12．（多选题）（2023·湖北·校联考三模）已知函数fx和1fx都是偶函数，当0,1x时，212fxx，则下列正确的结论是（）A．当2,0x时，212fxxB．若函数21xgxfx在区间0,2上有两个