重难点突破01 奔驰定理与四心问题（五大题型）（解析版）

重难点突破01奔驰定理与四心问题目录技巧一．四心的概念介绍：（1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．（2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等．（3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等．（4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．技巧二．奔驰定理---解决面积比例问题重心定理：三角形三条中线的交点．已知ABC△的顶点11()Axy，，22()Bxy，，33()Cxy，，则△ABC的重心坐标为123123()33xxxyyyG，．注意：（1）在ABC△中，若O为重心，则0OAOBOC．（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2：1，且分的三个三角形面积相等．重心的向量表示：1133AGABAC．奔驰定理：0BACSOASOBSOC，则AOB△、AOC△、BOC△的面积之比等于321::奔驰定理证明：如图，令112131OAOAOBOBOCOC，，，即满足1110OAOBOC11121AOBAOBSS△△，11131AOCAOCSS△△，11231BOCBOCSS△△，故321::::AOBAOCBOCSSS△△△．技巧三．三角形四心与推论：（1）O是ABC△的重心：::1:1:10BOCCOAA0BSSSOAOBOC△△△．（2）O是ABC△的内心：::::0B0CCOAAOBSSSabcaOAbOBcOC△△△．（3）O是ABC△的外心：0::sin2:sin2:sin2sin2sin2sin20BCCOAAOBSSSABCAOABOBCOC△△△．（4）O是ABC△的垂心：0::tan:tan:tantantantan0BCCOAAOBSSSABCAOABOBCOC△△△．技巧四．常见结论（1）内心：三角形的内心在向量ABACABAC所在的直线上．0ABPCBCPCCAPBP为ABC△的内心．（2）外心：PAPBPCP为ABC△的外心．（3）垂心：PAPBPBPCPCPAP为ABC△的垂心．（4）重心：0PAPBPCP为ABC△的重心．题型一：奔驰定理例1．（2023·全国·高一专题练习）已知O是ABC内部的一点，A，B，C所对的边分别为3a，2b，4c，若sinsinsin0AOABOBCOC，则AOB与ABC的面积之比为（）A．49B．13C．29D．59【答案】A【解析】由正弦定理sinsinsinabcKABC,又3a，2b，4c，所以得32401OKAOBOC,因为10K,所以3240OAOBOC.设1113,2,4,OAOAOBOBOCOC可得1110,OAOBOC则O是111ABC△的重心，111111OABOBCOACSSSS，利用11111sin2SOAOBAOB,11sinsinAOBAOB,所以11111sin121632sin2OABOAOBAOBSOAOBSOAOBOAOBAOB,所以16OABSS,同理可得18OBCSS,112AOCSS.所以AOB与ABC的面积之比为1111:4:966812SSSS即为49.故选：A.例2．（2023·安徽六安·高一六安一中校考期末）已知O是三角形ABC内部一点，且20OAOBOC，则AOB的面积与ABC的面积之比为（）A．12B．13C．14D．15【答案】C【解析】如图，设OAOCOD，∵20OAOBOC，∴2ODOB，设AC与OD交于点M，则M平分,ACBD，∴OMOB，O是BM中点，∴1124AOBAMBABCSSS．比值为14．故选：C．例3．（2023·全国·高一专题练习）若点M是ABC所在平面内的一点，点D是边AC靠近A的三等分点，且满足5AMABAC，则ABM与ABD△的面积比为（）A．15B．25C．35D．925【答案】C【解析】M是ABC所在平面内一点，连接AM，BM，延长AM至E使5AEAM，∵5AMABACAE，∴ABAEACCE，连接BE，则四边形ABED是平行四边形，向量AB和向量CE平行且模相等，由于3ACAD，所以13ABDABCSS△△，又5AEAM，所以15ABMABESS△△，在平行四边形中，ABDABESS△△，则ABM与ABD△的面积比为135153ABEABDSS△△，故选：C.变式1．（2023·全国·高三专题练习）平面上有ABC及其内一点O，构成如图所示图形，若将OAB，OBC△，OCA的面积分别记作cS，aS，bS，则有关系式0abcSOASOBSOCuuruuuruuurr．因图形和奔驰车的logo很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足0aOAbOBcOC，则O为ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心【答案】B【解析】由0abcSOASOBSOCuuruuuruuurr得bcaaSSOAOBOCSS，由0aOAbOBcOC得bcOAOBOCaa，根据平面向量基本定理可得baSbSa，caScSa，所以baSbSa，caScSa，延长CO交AB于E，延长BO交AC于F，则||||baSAESBE，又baSbSa，所以||||AEbBEa||||ACBC，所以CE为ACB的平分线，同理可得BF是ABC的平分线，所以O为ABC的内心.故选：B变式2．（2023·上海奉贤·高一上海市奉贤中学校考阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为AS、BS、CS，则有0ABCSOASOBSOC，设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是△ABC的三个内角，以下命题错误的是（）A．若0OAOBOC，则O为△ABC的重心B．若230OAOBOC，则::1:2:3ABCSSSC．则O为△ABC（不为直角三角形）的垂心，则tantantan0BACOAABCOBACBOCD．若2OAOB，5π6AOB，2340OAOBOC，则92ABCS【答案】D【解析】对于A：如下图所示，假设D为AB的中点，连接OD，则=2OOAODCBO，故,,COD共线，即O在中线CD上，同理可得O在另外两边,BCAC的中线上，故O为ABC的重心，即A正确；对于B：由奔驰定理O是ABC内的一点，,,BOCAOCAOB的面积分别为,,ABCSSS，则有0ABCSOASOBSOC可知，若230OAOBOC，可得::1:2:3ABCSSS，即B正确；对于C：由四边形内角和可知，πBOCBAC，则coscosOBOCOBOCBOCOBOCBAC，同理，coscosOBOAOBOABOAOBOABCA，因为O为ABC的垂心，则()0OBACOBOCOAOBOCOBOA，所以coscosOCBACOABCA，同理得coscosOCABCOBBCA，coscosOAABCOBBAC，则::cos:cos:cosOAOBOCBACABCBCA，令cos,cos,cosOAmBACOBmABCOCmBCA，由1sin2ASOBOCBOC，则21sincoscossin22AmSOBOCBACABCBCABAC，同理：21sincoscossin22BmSOAOCABCBACBCAABC，21sincoscossin22CmSOAOBBCABACABCBCA，综上，sinsinsin::::tan:tan:tancoscoscosABCBACABCBCASSSBACABCBCABACABCBCA，根据奔驰定理得tantantan0BACOAABCOBACBOC，即C正确.对于D：由5π||||2,6OAOBAOB可知，1225π6in1s2CS，又2340OAOBOC，所以::2:3:4ABCSSS由1CS可得，13,24ABSS；所以1391244CABCABSSSS，即D错误；故选：D.变式3．（多选题）（2023·江苏盐城·高一江苏省射阳中学校考阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是ABC内一点，BOC，AOC，AOB的面积分别为,,ABCSSS，则0ABCSOASOBSOC，O是ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是ABC的三个内角，以下命题正确．．的有（）A．若2340OAOBOC，则4:::3:2ABCSSSB．若2OAOB，23AOB，且2340OAOBOC，则934ABCS△C．若OAOBOBOCOCOA，则O为ABC的垂心D．若O为ABC的内心，且512130OAOBOC，则π2ACB【答案】BCD【解析】对选项A：2340OAOBOC，则::2:3:4ABCSSS，错误；对选项B：122sin12032AOBS△，2340OAOBOC，故::2:3:4ABCSSS，99344ABCASS△，正确；对选项C：OAOBOBOC，即0OAOCOBCAOB，故CAOB，同理可得CBOA，ABOC，故O为ABC的垂心，正确；对选项D：512130OAOBOC，故5:12:::13ABCSSS，设内接圆半径为r，12ASrBC，12BSrAC，12CSrAB，即5:::12:13BABCAC，即222ABACBC，π2ACB，正确.故选：BCD变式4．（多选题）（2023·全国·高一专题练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是ABC内一点，BOC、AOC、AOB的面积分别为AS、BS、CS，则0ABCSOASOBSOC.设O是锐角ABC内的一点，BAC、ABC、ACB分别是ABC的三个内角，以下命题正确的有（）A．若230OAOBOC，则::1:2:3ABCSSSB．2OAOB，5π6AOB，2340OAOBOC，则92ABCSC．若O为ABC的内心，3450OAOBOC，则π2CD．若O为ABC的重心，则0OAOBOC【答案】ACD【解析】对于A选项，因为230OAOBOC，由“奔驰定理”可知::1:2:3ABCSSS，A对；对于B选项，由2OAOB，5π6AOB，可知1225π6in1s2CS，又2340OAOBOC，所以::2:3:4ABCSSS，由1CS可得，12AS，34BS，所以1391244CABCABSSSS，B错；对于C选项，若O为ABC的内心，3450OAOBOC，则::3:4:5ABCSSS，又111::::::222ABCarbrcrabcSSS（r为ABC内切圆半径），所以，222abc，故π2C，C对；对于D