重难点突破03 最全归纳平面向量中的范围与最值问题 （十大题型）（原卷版）

重难点突破03最全归纳平面向量中的范围与最值问题目录技巧一．平面向量范围与最值问题常用方法：（1）定义法第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系第二步：运用基木不等式求其最值问题第三步：得出结论（2）坐标法第一步：根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标第二步：将平面向量的运算坐标化第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解（3）基底法第一步：利用其底转化向量第二步：根据向量运算律化简目标第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论（4）几何意义法第一步：先确定向量所表达的点的轨迹第二步：根据直线与曲线位置关系列式第三步：解得结果技巧二．极化恒等式（1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：2222||||2(||||)ababab证明：不妨设,ABaADb，则CAab，DBab22222C2ACAabaabb①222222DBDBabaabb②①②两式相加得：22222222ACDBabABAD（2）极化恒等式：上面两式相减，得：2214abab————极化恒等式①平行四边形模式：2214abACDB几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14．②三角形模式：2214abAMDB（M为BD的中点）技巧三．矩形大法矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O是矩形ABCD与所在平面内任一点，证明：2222OAOCOBOD．【证明】（坐标法）设,ABaADb，以AB所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy，则(,0),(0,),(,)BaDbCab，设(,)Oxy，则222222()[()()]OAOCxyxayb222222[()][()]OBODxayxyb2222OAOCOBOD技巧四．等和线（1）平面向量共线定理已知OAOBOC，若1，则,,ABC三点共线；反之亦然．（2）等和线平面内一组基底,OAOB及任一向量OP，(,)OPOAOBR，若点P在直线AB上或者在平行于AB的直线上，则k（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线．①当等和线恰为直线AB时，1k；ABCM②当等和线在O点和直线AB之间时，(0,1)k；③当直线AB在点O和等和线之间时，(1,)k；④当等和线过O点时，0k；⑤若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数；技巧五．平行四边形大法1、中线长定理2222122AOABADDB2、P为空间中任意一点，由中线长定理得：2222122POPAPCAC2222122POPDPBDB两式相减：222222()22ACBDPAPCPDPBABAD技巧六．向量对角线定理2222()()2ADBCABCDACBDlAQBOA1B1P题型一：三角不等式例1．（2023·全国·高三专题练习）已知向量,,abc满足||2,||1,||1abcabrrrrr，若对任意c，22()()11cacbrrrr恒成立，则ab的取值范围是___________.例2．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量,,abc满足：||1,1aba，若对满足条件的任意向量b，||||cbca恒成立，则cos,caa的最小值是______________．例3．已知向量,,abc满足2abc，0ab，若关于t的方程122btac有解，记向量,ac的夹角为，则sin的取值范围是___________.变式1．已知123,,eee是平面向量，且12,ee是互相垂直的单位向量，若对任意R均有31ee的最小值为32ee，则123323eeeee的最小值为___________．变式2．已知平面向量12,ee满足2122ee，设12124,aeebee，若12ab，则||a的取值范围为________．变式3．（2023·浙江金华·统考一模）已知平面向量a，b，c满足74ab，||3ab，()()2acbc，则c的取值范围是___________．题型二：定义法例4．已知向量a，b的夹角为π3，且3ab，向量c满足101cab，且acbc，记caxa，cbyb，则22xxyy的最大值为______.例5．（2023·四川成都·高二校联考期中）已知向量a，b，c满足1a，2b，1ab，向量ca与向量cb的夹角为π4，则c的最大值为______．例6．（2023·浙江绍兴·高二校考学业考试）已知向量a，b满足1a，3b，且ab，若向量c满足2cabab，则cr的最大值是______．变式4．已知向量a，b满足1a，3b，且32ab，若向量ac与bc的夹角为30°，则||c的最大值是___________.变式5．已知向量ab，，满足236abc，若以向量ab，为基底，将向量c表示成cab（，为实数），都有1„，则ab的最小值为________变式6．已知向量a、b满足：4ab，2ab.设ab与ab的夹角为，则sin的最大值为___________.题型三：基底法例7．已知菱形ABCD的边长为2，120BAD，点E，F分在边BC，CD上，BEBC，DFDC．若23，则AEAF的最小值为___________．例8．（2023·天津·高三校联考阶段练习）已知菱形ABCD的边长为2，120BAD，点E、F分别在边BC，CD上，BEBC，DFDC，若522，则AEAF的最小值__________．例9．如图，菱形ABCD的边长为4，30BAD，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点（含边界），则AMAN的最大值为_____________．变式7．菱形ABCD的边长为4，30BAD，若N为菱形内任意一点（含边界），则ABAN的最大值为______．变式8．如图，菱形ABCD的边长为4,60,BADM为DC的中点，若N为菱形内任意一点（含边界），则AMAN的最大值为___________.变式9．平面四边形ABCD是边长为2的菱形，且120A，点N是DC边上的点，且3DNNC，点M是四边形ABCD内或边界上的一个动点，则AMAN的最大值为______.变式10．（2023·全国·高三专题练习）已知向量a，b满足3ab，0ab．若1cλaλb，且cacb，则c的最大值为______．变式11．已知平面向量a，b，c满足2a，1b，1ab，且acrr与bcrr的夹角为4，则cr的最大值为______________．变式12．已知平面向量a、b、c满足4a，3br，2c，3bc，则222abacabac最大值为__________.变式13．在ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，且满足ANABAC，则22的最小值为________.题型四：几何意义法例10．（2023·全国·模拟预测）已知a，b，c是平面向量，满足abab，22ab，5cab，则向量c在向量a上的投影的数量的最小值是______.例11．（2023·上海浦东新·上海市建平中学校考三模）已知非零平面向量a，b，c满足：a，b的夹角为π4，ca与cb的夹角为3π4，2ab，1cb，则bc的取值范围是__________.例12．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量,ab夹角为3，且平面向量c满足1,cacb1,2cacb记m为1fttatb（tR）的最小值，则m的最大值是__________．变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量a，b，c满足3ab，4ab，ca与cb的夹角为3，则cab的最大值为___________．变式15．（2023·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考开学考试）已知非零平面向量a，b，c满足：a，b的夹角为3，ca与cb的夹角为23，23ab，2cb，则bc的取值范围是______．变式16．已知非零平面向量a，b，c满足2ab，且()()0cacb，若a与b的夹角为，且,63，则||c的最大值是______.变式17．（2023·全国·高三专题练习）平面向量,,abc满足：,ab的夹角为3，||||||23abbcac，则bc的最大值为_____.变式18．（2023·广东阳江·高二统考期中）已知非零平面向量a，b，c满足4ab，且1acbc，若a与b的夹角为，且ππ,32，则c的模取值范围是___________.变式19．（2023·浙江·高三专题练习）已知平面向量a，b，c，若1abab，且2223acbc，则ac的取值范围是______.变式20．（2023·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期末）已知向量a，b满足1ab，且0ab，若向量c满足1cab，则cr的最大值为________.变式21．（2023·浙江·模拟预测）已知向量a，b，c满足22abcb，ba与a的夹角为34，则cr的最大值为______．变式22．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量,,abc满足：5ab，向量a与向量b的夹角为3，23ac，向量ac与向量bc的夹角为23，则22ac的最大值为___________.题型五：坐标法例13．（2023·全国·高三专题练习）已知向量a，b满足23ab，1b，则2aab的最大值为___________.例14．（2023·江苏常州·高三统考期中）已知平面向量,,abc满足||2a，||4b，a，b的夹角为3，且()()2acbc，则||c的最大值是______.例15．设平面向量a，b，c满足2ab，a与b的夹角为2π3，0acbc则c的最大值为______．变式23．（2023·安徽滁州·校考三模）已知平面向量a，b，c满足||1a，||3b，0ab，ca与cb的夹角是6，则cbarrr的最大值为__________.变式24．（2023·河北·统考模拟预测）如图，在边长为2的正方形ABCD中．以C为圆心，1为半径的圆分别交CD，BC于点E，F．当点P在劣弧EF上运动时，BPDP的最小值为_________．变式25．（2023·山东·山东省实验中学校考一模）若平面向量a，b，c满足1a，0bc，1ab，1ac，则bc的最小值为______．变式26．（2023·四川眉山·仁寿一中校考一模）如图，在平面四边形ABCD中，90CDACBA，120BAD，1ABAD，若点E为CD边上的动点，则AEBE的最小值为______．变式27．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知1a，4baba，则14ba的最小值是______.变式28．（2023·浙江·模拟预测）已知向量a，b满足3a，且ba的最小值为1（为实数），记,ab，,aab，则cosbba最大值为