重难点突破02 向量中的隐圆问题（四大题型）（原卷版）

重难点突破02向量中的隐圆问题目录技巧一．向量极化恒等式推出的隐圆乘积型：PBPA定理：平面内，若BA,为定点，且PBPA,则P的轨迹是以M为圆心241AB为半径的圆证明：由PBPA，根据极化恒等式可知，2241ABPM，所以241ABPM，P的轨迹是以M为圆心241AB为半径的圆．技巧二．极化恒等式和型：22PBPA定理：若BA，为定点，P满足22PBPA,则P的轨迹是以AB中点M为圆心，2212AB为半径的圆。)021(2AB证明：])21([22222ABPMPBPA，所以2212ABPM，即P的轨迹是以AB中点M为圆心，2212AB为半径的圆．技巧三．定幂方和型若BA，为定点，222222nPBmPAnmPBPAnPBmPA，则P的轨迹为圆．证明：nycxycxmnPBmPA][][2222220)1()1(2))(1(222ncmxmcyxm01)1(1)1(2222mnmcxmcmyx．技巧四．与向量模相关构成隐圆坐标法妙解题型一：数量积隐圆例1．（2023·上海松江·校考模拟预测）在ABC中，3,4,90ACBCC.P为ABC所在平面内的动点，且=2PC，若CPCACB，则给出下面四个结论：①的最小值为45；②PAPB的最小值为6；③的最大值为34；④PAPB的最大值为8.其中，正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4例2．（2023·全国·高三专题练习）若正ABC的边长为4，P为ABC所在平面内的动点，且1PA，则PBPC的取值范围是（）A．3,15B．[923,923]C．[933,933]D．[943,943]例3．（2023·山东菏泽·高一统考期中）在ABC中，AC＝5，BC＝12，∠C＝90°.P为ABC所在平面内的动点，且PC＝2，则PAPB的取值范围是（）A．22,26B．26,22C．30,22D．22,30变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知ABC是边长为43的等边三角形，其中心为O，P为平面内一点，若1OP，则PAPB的最小值是A．11B．6C．3D．15变式2．（2023·北京·高三专题练习）ABC为等边三角形，且边长为2，则AB与BC的夹角大小为120，若1BD，CEEA，则ADBE的最小值为___________.变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知圆22:16Qxy，点1,2P，M、N为圆O上两个不同的点，且0PMPN若PQPMPN，则PQ的最小值为______.题型二：平方和隐圆例4．（2023·全国·高三专题练习）已知,,,abcd是单位向量，满足22,2,||||20bmabmcmda，则||cd的最大值为________．例5．（2023·上海·高三专题练习）已知平面向量PA、PB满足22||4PAPB，2||2uuuvAB，设2uuuvuuvuuvPCPAPB，则PC________.例6．（2023·江苏·高二专题练习）在平面直角坐标系中，已知点2,0A，0,2B，圆22:1Cxay，若圆C上存在点M，使得2212MAMB，则实数a的取值范围为（）A．1,122B．122,122C．1,122D．12,12变式4．（2023·江苏·高二专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知直线:0lxya与点(0)A，2，若直线l上存在点M满足2210MAMO（O为坐标原点），则实数a的取值范围是（）A．51,51B．[51,51]C．221,221D．[221,221]变式5．（2023·宁夏吴忠·高二吴忠中学校考阶段练习）设20A，，20B，，O为坐标原点，点P满足22||16PAPB，若直线60kxy上存在点Q使得6PQO，则实数k的取值范围为（）A．4242，B．4242，，C．5522，，D．5522，变式6．（2023·江西吉安·高三吉安三中校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：2212xy，点2,0A，若圆C上存在点M，满足2210MAMO，则点M的纵坐标的取值范围是___________.题型三：定幂方和隐圆例7．（2023·湖南长沙·高一长沙一中校考期末）已知点1,0A，2,0B，直线l：50kxyk上存在点P，使得2229PAPB成立，则实数k的取值范围是______.例8．（2023·浙江·高三期末）已如平面向量a、b、c，满足33a，2b，2c，2bc，则222abacabac的最大值为（）A．1923B．192C．48D．43例9．（2023·河北衡水·高三河北衡水中学校考期中）已知平面单位向量1e，2e的夹角为60°，向量c满足2123202ceec，若对任意的tR，记1||cte的最小值为M，则M的最大值为A．1324B．132C．3314D．13变式7．（2023·江苏·高三专题练习）已知a，b是两个单位向量，与a，b共面的向量c满足2()0cabcab，则c的最大值为（）A．22B．2C．2D．1变式8．（2023·浙江舟山·高一舟山中学校考阶段练习）已知a、b、e是平面向量，e是单位向量．若22420aaee，22320bebe，则2222aabb的最大值为_______．变式9．（2023·四川达州·高二四川省大竹中学校考期中）已知a，b，e是平面向量，e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为3，向量b满足2540beb，则ab的最小值是_______．变式10．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量a、b、c、e，满足ab，2ab，cab，1e，若2680aae，则213cec的最大值是_________.变式11．（2023·河南南阳·南阳中学校考模拟预测）已知aberrr、、是平面向量，1e，若非零向量a与e的夹角为π3，向量b满足2430bbe，则ab的最小值是__________.题型四：与向量模相关构成隐圆例10．（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）已知,,abc是平面内的三个单位向量，若ab，则2322acabc的最小值是__________．例11．（2023·上海·高三专题练习）已知a、b、c、d都是平面向量，且|||2||5|1aabac，若,4ad，则||||bdcd的最小值为____________．例12．（2023·上海金山·统考二模）已知a、b、c、d都是平面向量，且251aabac，若,4ad，则bdcd的最小值为__________.变式12．（2023·全国·高三专题练习）已知线段MN是圆22:(1)8Cxy的一条动弦，且23MN，若点P为直线280xy上的任意一点，则PMPN的最小值为__________.变式13．（2023·全国·高三专题练习）已知O为坐标原点，A，B在直线40xy上，22AB，动点M满足2MAMB，则OM的最小值为__________.变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知,ab是单位向量，0ab.若向量c满足||1cab，则|c|的最大值是________.变式15．（2023·新疆·高三新疆兵团第二师华山中学校考阶段练习）已知是a、b是单位向量，0ab，若向量c满足||2cab，则||c的最大值为______变式16．（2023·全国·高三专题练习）已知,ab是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足20acbc，则c的最大值是_________．变式17．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量abc、、满足：a与b的夹角为2,0,23cacbab，记M是cab的最大值，则M的最小值是__________．变式18．（2023·全国·高三专题练习）已知向量a，b满足23ab，1b，则2aab的最大值为___________.变式19．（2023·全国·高三专题练习）已知向量,,abc满足4,22,,=,14ababcacb，则ca的最大值为________．变式20．（2023·全国·高三专题练习）设a，b为单位向量，则3abab的最大值是________