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第02讲等差数列及其前n项和(模拟精练+真题演练)1.(2023·河南郑州·统考模拟预测)在等差数列na中,已知10a,且817SS,则当nS取最大值时,n()A.10B.11C.12或13D.13【答案】C【解析】因为在等差数列na中,1780SS所以91011121314151617aaaaaaaaa917aa101611151214131390aaaaaaaa,所以130a,又因为10a,所以可知等差数列为递减数列,且前12项为正,第13项以后均为负,所以当nS取最大值时,12n或13.故选:C.2.(2023·江苏南通·统考模拟预测)现有茶壶九只,容积从小到大成等差数列,最小的三只茶壶容积之和为0.5升,最大的三只茶壶容积之和为2.5升,则从小到大第5只茶壶的容积为()A.0.25升B.0.5升C.1升D.1.5升【答案】B【解析】设九只茶壶按容积从小到大依次记为129,,aaa,由题意可得1237890.5,2.5aaaaaa,所以282828530.5,32.51,0.52aaaaaaa,故选:B3.(2023·河南洛阳·模拟预测)已知等差数列na的前n项和为nS,131,18aS,则6S()A.54B.71C.80D.81【答案】D【解析】设等差数列na的公差为d,因为131,18aS,可得1333318add,解得5d,所以16615615581Sad.故选:D.4.(2023·河南·校联考模拟预测)已知数列na是等差数列,其前n项和为232345,4,7nSaSaaaa,则9S等于()A.63B.632C.45D.452【答案】D【解析】因为数列na是等差数列,则23244aSa,可得21a,且23452552217aaaaaaa,可得552a,所以954592Sa.故选:D.5.(2023·北京海淀·校考三模)已知等差数列na的公差为d,数列nb满足*1nnabnN,则“0d”是“nb为递减数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为*1nnabnN,所以0na且0nb,则1nnba,若0d,不妨令72nan,则115b,213b,31b,41b,413b,L,显然nb不单调,故充分性不成立,若nb为递减数列,则na不是常数数列,所以na单调,若na单调递减,又1yx在,0,0,上单调递减,则nb为递增数列,矛盾;所以na单调递增,则0d,且10a,其中当10a,0d时也不能满足nb为递减数列,故必要性成立,故“0d”是“nb为递减数列”的必要不充分条件.故选:B6.(2023·河南郑州·统考模拟预测)公差不为零的等差数列na中,2526aa,则下列各式一定成立的是()A.352aaB.354aaC.252aaD.254aa【答案】B【解析】因为252464236aaaaaa,所以42a,因为na公差不为零,35aa,所以223535442aaaaa,B正确,A错误,取51.9a,则22.2a,此时254.184aa,C,D均不正确,故选:B.7.(2023·四川成都·石室中学校考模拟预测)设nS为等差数列na的前n项和,且*nN,都有11nnSSnn,若513SS,则()A.nS的最小值是9SB.nS的最小值是10SC.nS的最大值是9SD.nS的最大值是10S【答案】A【解析】由11nnSSnn,得1111221nnnaanaann,即1nnaa,所以数列na为递增的等差数列.因为513SS,所以6789101112130aaaaaaaa,即9100aa,则90a,100a,所以当9n且*nN时,0na;当10n≥且*nN时,0na.因此,nS有最小值,且最小值为9S.故选:A.8.(2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测)已知数列na中,22a,当3n时,1na,12na,2na成等差数列.若2022ak,那么352021aaa()A.kB.1kC.2kD.2k【答案】D【解析】当3n时,1na,12na,2na成等差数列,则12nnnaaa,由于22a,则35202123520212022222aaaaaaaak,故选:D.9.(多选题)(2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考二模)已知na为等差数列,前n项和为nS,110a,公差d=−2,则()A.4S=7SB.当n=6或7时,nS取得最小值C.数列na的前10项和为50D.当n≤2023时,na与数列310m(mN)共有671项互为相反数.【答案】AC【解析】对于A,等差数列{}na中,110a,公差2d,则1(1)212naandn,74567630SSaaaa,故A正确;对于B,由A的结论,212nan,则60a,由d=−2当6n时,0na,60a,当6n时,0na,则当5n或6时,nS取得最大值,且其最大值为(100)6302,B错误;对于C,12101267891062468302050aaaaaaaaaaS,故C正确,对于D,由2023n≤,则20234034naa,则数列{}na中与数列{310}m中的项互为相反数的项依次为:16,22,28,,4030,可以组成以16为首项,6为公差的等差数列,设该数列为{}nc,则106ncn,若1064030ncn,解可得670n,即两个数列共有670项互为相反数,D错误.故选:AC.10.(多选题)(2023·江苏盐城·统考三模)已知数列na对任意的整数3n,都有222224nnnnaana,则下列说法中正确的有()A.若242,2aa,则62aB.若11a,33a,则2121NnannC.数列na可以是等差数列D.数列na可以是等比数列【答案】BC【解析】若242,2aa,当4n时,22641612aaa,解得632a,故A错;若11a,33a,当3n时,215395aaa,解得55a,当5n时,23752521aaa,解得77a,L,根据递推关系可知,当n为奇数,即21nn时,2121Nnann,故B正确;若nan,则222224nnnnn成立,故数列na可以是等差数列,即C正确;若数列na是等比数列,假设公比为q,则由222224nnnnaana,得222131114nnnnaana,两式相除得,222131222221144nnnnnnnnaaanaana,即2222221144nnqqnn,解得12n,不符合题意,则假设不成立,故D错.故选:BC11.(多选题)(2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测)已知等差数列na的公差为d,前n项和为nS,且0d,146,,aaa成等比数列,则()A.190SB.90aC.当0d时,9S是nS的最大值D.当0d时,10S是nS的最小值【答案】ACD【解析】因为1a,4a,6a成等比数列,所以2146aaa,即211153adaad,整理得219add,因为0d,所以19ad,所以10190aad,则1191910191902aaSa,故A正确、B错误;当0d时na单调递减,此时12910110aaaaa,所以当9n或10n时nS取得最大值,即910maxnSSS,故C正确;当0d时na单调递增,此时12910110aaaaa,所以当9n或10n时nS取得最小值,即910minnSSS,故D正确;故选:ACD12.(多选题)(2023·广东佛山·校考模拟预测)已知数列na,下列结论正确的有()A.若12a,11nnaan,则20211aB.若11a,121nnaa,则21nnaC.若12nnS=3+,则数列na是等比数列D.若nS为等差数列na的前n项和,则数列nSn为等差数列【答案】ABD【解析】对于选项A,由11nnaan,得11nnaan,则19191818120207121aaaaaaaaaa19(202)2019182222112,故A项正确;对于选项B,由12nnaa+1,得1(1)2(1)nnaa,所以{1}na为等比数列,首项为112a,公比为2,所以11222nnna,所以21nna,故B项正确;对于选项C,因为12nnS=3+,当1n时,11722a3,当2n时,1113323nnnnnnaSS,将1n代入123nna,得1722a,所以17,1223,2nnnan,所以数列na不是等比数列,故C项错误.对于选项D,设等差数列的公差为d,由等差数列前n项和公式可得111(1)(1)2222nnnnadSnddadnann,所以1(1)1222nnSSdddnnnn与n无关,所以数列{}nSn为等差数列,故D项正确.故选:ABD.13.(2023·上海黄浦·上海市大同中学校考三模)南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为离散量的垛积问题”,在他的专著《详解九章算法·商功》中,杨辉将堆垛与相应立体图形作类比,推导出了三角垛、方垛、刍童垛等的公式,例如三角垛指的是如图顶层放1个,第二层放3个,第三层放6个,第四层放10个第n层放na个物体堆成的堆垛,则122022111aaa______.【答案】40442023/202112023【解析】依题意,在数列{}na中,1213211,2,3,,(2)nnaaaaaaann,当2n时,121321(1)()()()1232nnnnnaaaaaaaan,11a满足上式,因此(1)2nnna,12112()(1)1nannnn,数列1{}na的前n项和为nS,则11111111122[()()()()]2(1)122334111nnSnnnn,所以202212202211140442023Saaa.故答案为:4044202314.(2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测)设随机变量的分布列如下:123456P1a2a3a4a5a6a其中1a,2a,…,6a构成等差数列,则61aa___________.【答案】13【解析】因为1a,2a,…,6a构成等差数列,所以126534aaaaaa,因为1234561aaaaaa,所以1613aa,故答案为:1315.(2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测)已知等差数列na的前n项和为nS,公差d为奇数,且同时满足:①nS存在最大值;②276SaS;③
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