第01讲 计数原理（三大题型）（讲义）（解析版）

第01讲计数原理目录考点要求考题统计考情分析（1）理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理．（2）会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题．2020年上海卷第10题，5分2016年上海卷第8题，3分今后在本节的考查形式依然以选择或者填空为主，以考查基本概念和基本方法为主，难度中等偏下，与教材相当．知识点1、分类加法计数原理完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有1m种不同的办法，在第2类办法中有2m种不同的方法，…，在第n类办法中有nm种不同的方法，那么完成这件事共有：12nNmmm种不同的方法．事事A事事事事1事事1事事2事事m1事事事事n事事1事事2事事mnm1事mn事事事事事A事事m1+m2+m3+···+mn事事事事事事知识点2、分步乘法计数原理完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有1m种不同的方法，做第2步有2m种不同的方法，…，做第n步有nm种不同的方法，那么完成这件事共有：12nNmmm种不同的方法．事事B事事1事事i···事事2事事nm1事mn事事事事事B事事m1×m2×m3×···×mn事事事事事事m2事mi事注意：两个原理及其区别分类加法计数原理和“分类”有关，如果完成某件事情有n类办法，这n类办法之间是互斥的，那么求完成这件事情的方法总数时，就用分类加法计数原理．分步乘法计数原理和“分步”有关，是针对“分步完成”的问题．如果完成某件事情有n个步骤，而且这几个步骤缺一不可，且互不影响（独立），当且仅当依次完成这n个步骤后，这件事情才算完成，那么求完成这件事情的方法总数时，就用分步乘法计数原理．当然，在解决实际问题时，并不一定是单一应用分类计数原理或分步计数原理，有时可能同时用到两个计数原理．即分类时，每类的方法可能运用分步完成；而分步后，每步的方法数可能会采取分类的思想求方法数．对于同一问题，我们可以从不同的角度去处理，从而得到不同的解法（但方法数相同），这也是检验排列组合问题的很好方法．知识点3、两个计数原理的综合应用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．题型一：分类加法计数原理的应用例1．（2023·全国·高三专题练习）如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（）A．48B．18C．24D．36【答案】D【解析】正方体的两个顶点确定的直线有棱、面对角线、体对角线，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有21224（个）；对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个，不存在四个顶点确定的平面与体对角线垂直，所以正方体中“正交线面对”共有241236（个）.故选：D例2．（2023·四川成都·双流中学校考模拟预测）如图，小黑圆表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连．连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息（）A．26B．24C．20D．19【答案】D【解析】根据题意，结合图形知，从A到B传播路径有4条，如图所示；途径①传播的最大信息量为3，途径②传播的最大信息量为4；途径③传播的最大信息量为6，途径④传播的最大信息量为6；所以从A向B传递信息，单位时间内传递的最大信息量为346619，故选：D．例3．（2023·江苏镇江·高三扬中市第二高级中学校考阶段练习）定义：“各位数字之和为7的四位数叫好运数”，比如1006，2203，则所有好运数的个数为（）A．82B．83C．84D．85【答案】C【解析】因为各位数字之和为7的四位数叫好运数，所以按首位数字分别计算：当首位数字为7，则剩余三位数分别为0，0，0，共有1个好运数；当首位数字为6，则剩余三位数分别为1，0，0，共有3个好运数；当首位数字为5，则剩余三位数分别为1，1，0或2，0，0，共有336个好运数；当首位数字为4，则剩余三位数分别为3，0，0或2，1，0或1，1，1，共有333A110个好运数；当首位数字为3，则剩余三位数分别为4，0，0或3，1，0或2，2，0或2，1，1，共有333A3315个好运数；当首位数字为2，则剩余三位数分别为5，0，0或4，1，0或3，2，0或3，1，1或2，2，1，共有33333AA3321个好运数；当首位数字为1，则剩余三位数分别为6，0，0或5，1，0或4，2，0或4，1，1或3，3，0或3，2，1或2，2，2，共有3333333AA33A128个好运数；所以共有1361015212884个好运数，故选：C变式1．（2023·全国·高三专题练习）从1，2，3，4，5，6中选取4个数字，组成各个数位上的数字既不全相同，也不两两互异的四位数，记四位数中各个数位上的数字从左往右依次为a，b，c，d，且要求abcd，则满足条件的四位数的个数为.【答案】105【解析】由题意可知，只用2个不同的数字时，有2615C（种）选法，按照位数要求，每种数字组合组成的符合要求的四位数有3个，比如数字1和2，可以构成的四位数有1222，1122，1112，所以共有15345（个）符合要求的四位数.只用3个不同的数字时，有36C20（种）选法，按照位数要求，每种数字组合组成的符合要求的四位数有3个，比如数字1，2，3，可以构成的四位数有1123，1223，1233，所以共有20360（个）符合要求的四位数.故符合要求的四位数总共有4560105（个）.故答案为：105变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知直线方程0AxBy，若从0、1、2、3、5、7这六个数中每次取两个不同的数分别作为A、B的值，则0AxBy可表示条不同的直线．【答案】22【解析】当0A时，可表示1条直线；当0B时，可表示1条直线；当0AB时，A有5种选法，B有4种选法，可表示5420条不同的直线．由分类加法计数原理，知共可表示112022条不同的直线．故答案为：22变式3．（2023·辽宁·高三校联考开学考试）某迷宫隧道猫爬架如图所示，B，C为一个长方体的两个顶点，A，B是边长为3米的大正方形的两个顶点，且大正方形由完全相同的9小正方形拼成.若小猫从A点沿着图中的线段爬到B点，再从B点沿着长方体的棱爬到C点，则小猫从A点爬到C点可以选择的最短路径共有条.【答案】120【解析】小猫要从A点爬到C点，需要先从A点爬到B点，需要走3横3竖，则可选的路径共有36C20条，再从B点爬到C点的路径共6条，用分步乘法计数原理可得小猫可以选择的最短路径有20×6=120条.故答案为：120.【解题方法总结】分类标准的选择（1）应抓住题目中的关键词、关键元素、关键位置．根据题目特点恰当选择一个分类标准．（2）分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复，但也不能有遗漏．题型二：分步乘法计数原理的应用例4．（2023·广东深圳·高三校考阶段练习）甲、乙、丙3个公司承包6项不同的工程，甲承包1项，乙承包2项，丙承包3项，则共有种承包方式（用数字作答）.【答案】60【解析】由题意得，不同的承包方案分步完成，先让甲承包1项，有16C6种，再让乙承包2项，有25C10，剩下的3项丙承包，所以由分步乘法原理可得共有61060种方案，故答案为：60例5．（2023·全国·高三专题练习）若一个三位数同时满足：①各数位的数字互不相同；②任意两个数位的数字之和不等于9，则这样的三位数共有个．(结果用数字作答)【答案】432【解析】从百位开始讨论：（1）百位数字为1，十位数字有0,2,3,4,5,6,7,9，（除1,8外所有数字）；当十位数字为0时，个位数字为2,3,4,5,6,7,（除1,0，8，9外所有数字），所以对应的三位数有4868种；（2）百位数字为2,3,4,5,6,7,8,9，情况同（1）；综上这样的三位数共有：948432种；故答案为：432.例6．（2023·安徽亳州·高三蒙城第一中学校考阶段练习）将3名男生，2名女生排成一排，要求男生甲必须站在中间，2名女生必须相邻的排法种数有（）A．4种B．8种C．12种D．48种【答案】B【解析】先让甲站好中间位置，再让2名女生相邻有两种选法，最后再排剩余的2名男生，根据分步乘法原理得，有22222AA8种不同的排法.故选：B变式4．（2023·四川成都·高三统考开学考试）“数独九宫格”原创者是18世纪的瑞士数学家欧拉，它的游戏规则很简单，将1到9这九个自然数填到如图所示的小九宫格的9个空格里，每个空格填一个数，且9个空格的数字各不相同，若中间空格已填数字5，且只填第二行和第二列，并要求第二行从左至右及第二列从上至下所填的数字都是从小到大排列的，则不同的填法种数为（）A．72B．108C．144D．196【答案】C【解析】按题意，5的上方和左边只能从1，2，3，4中选取，5的下方和右边只能从6，7，8，9中选取．第一步，填上方空格，有4种方法；第二步，填左方空格，有3种方法；第三步，填下方空格，有4种方法；第四步，填右方空格，有3种方法.由分步计数原理得，填法总数为4343144.故选：C.变式5．（2023·全国·高三专题练习）三棱柱各面所在平面将空间分成不同部分的个数为（）A．18B．21C．24D．27【答案】B【解析】三棱柱的三个侧面将空间分成7部分，三棱柱的两个底面将空间分成3部分．故三棱柱各面所在平面将空间分成不同部分的个数为3721．故选：B．变式6．（2023·河北石家庄·高三校联考期中）临近春节，某校书法爱好小组书写了若干副春联，准备赠送给四户孤寡老人．春联分为长联和短联两种，无论是长联或短联，内容均不相同．经过调查，四户老人各户需要1副长联，其中乙户老人需要1副短联，其余三户各要2副短联．书法爱好小组按要求选出11副春联，则不同的赠送方法种数为（）A．15120B．7560C．12520D．12160【答案】A【解析】4副长联内容不同，赠送方法有44A24种；从剩余的7副短联中选出1副赠送给乙户老人，有17A7种方法，再将剩余的6副短联平均分为3组，最后将这3组赠送给三户老人，方法种数为2223222642364233CCCACCC90A．所以所求方法种数为2479015120．故选：A变式7．（2023·北京东城·高三北京市广渠门中学校考开学考试）鱼缸里有8条热带鱼和2条冷水鱼，为避免热带鱼咬死冷水鱼，现在把鱼缸出孔打开，让鱼随机游出，每次只能游出1条，直至2条冷水鱼全部游出就关闭出孔，若恰好第3条鱼游出后就关闭了出孔，则不同游出方案的种数为（）A．16B．32C．36D．48【答案】B【解析】由题意得，前2条鱼游出1条冷水鱼，1条热带鱼，第3条为另一条冷水鱼，先选出一条热带鱼，有18C种，再选出一条冷水鱼，有12C种，两条鱼可在第一条鱼和第二条鱼顺序上进行全排列，则不同游出方案的种数为112822CCA32.故选：B变式8．（2023·湖南·高三临澧县第一中学校联考开学考试）在如图所示的表格中填写1，2，3三个数字，要求每一行、每一列均有这3个数字，则不同的填法种数为（）．A．6B．9C．12D．18【答案】C【解析】先填第一行，有33A6种填法；再填第二行，有2种填法；最后填第三行，只有1种填法；不同的填法种数为62112种.故选：C.变式9．（2023·黑龙江佳木斯·高三校考开学考试）甲、乙分别从4门不同课程中选修1门，且2人选修的课程不同，则不同的选法有（）种．A．6B．8C．12D．16【答案】C【解析】甲从4