第03讲 三角函数的图象与性质（十大题型）（讲义）（解析版）

第03讲三角函数的图象与性质目录考点要求考题统计考情分析（1）理解正、余弦函数在区间[0,2]内的性质．理解正切函数在区间,22内的单调性．（2）了解函数sin()yAx的物理意义，能画出sin()yAx的图像，了解参数,,A对函数图像的影响．（3）了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数，会用三角函数解决一些简单的实际问题．2023年甲卷第12题，5分2023年天津卷第5题，5分2023年I卷第15题，5分本节命题趋势仍是突出以三角函数的图像、周期性、单调性、奇偶性、对称性、最值等重点内容展开，并结合三角公式、化简求值、平面向量、解三角形等内容综合考查，因此复习时要注重三角知识的工具性，以及三角知识的应用意识．知识点一：用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（1）在正弦函数sinyx，[02]x，的图象中，五个关键点是：3(00)(1)(0)(1)(20)22，，，，，，，，，．（2）在余弦函数cosyx，[02]x，的图象中，五个关键点是：3(01)(0)(1)(0)(21)22，，，，，，，，，．知识点二：正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中kZ）注：正（余）弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是2T；正（余）弦曲线相邻两个对称中心的距离是2T；正（余）弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离4T；知识点三：sin()yAwx与cos()(0,0)yAwxAw的图像与性质（1）最小正周期：2Tw．（2）定义域与值域：sin()yAwx，cos(yAwx）的定义域为R，值域为[-A，A]．（3）最值假设00Aw，．①对于sin()yAwx，函数sinyxcosyxtanyx图象定义域RR{|}2xxRxk，值域[11]，[11]，R周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间[22]22kk，[22]kk，()22kk，递减区间3[22]22kk，[22]kk，无对称中心(0)k，(0)2k，(0)2k，对称轴方程2xkxk无2(Z);22();2wxkkAwxkkZA当时，函数取得最大值当时，函数取得最小值②对于cos(yAwx），2(Z);2();wxkkAwxkkZA当时，函数取得最大值当时，函数取得最小值（4）对称轴与对称中心．假设00Aw，．①对于sin()yAwx，000000()sin()21sin()()sin()0sin()(,0).wxkkZwxywxxxwxkkZwxywxx当，即时，的对称轴为当，即时，的对称中心为②对于cos(yAwx），000000()cos()1cos()()cos()20cos()(,0).wxkkZwxywxxxwxkkZwxywxx当，即时，的对称轴为当，即时，的对称中心为正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与x轴交点的位置．（5）单调性．假设00Aw，．①对于sin()yAwx，[2,2]()223[2,2]().22wxkkkZwxkkkZ增区间；减区间②对于cos(yAwx），[2,2]()[2,2]().wxkkkZwxkkkZ增区间；减区间（6）平移与伸缩由函数sinyx的图像变换为函数2sin(2)33yx的图像的步骤；方法一：(2)23xxx．先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形．3sinyx向左平移个单位的图像sin()3yx的图像12所有点的横坐标变为原来的纵坐标不变sin(2)3yx的图像2所有点的纵坐标变为原来的倍横坐标不变2sin(2)3yx的图像3向上平移个单位2sin(2)33yx方法二：(2)23xxx．先周期变换，后相位变换，再振幅变换．sinyx的图像12所有点的横坐标变为原来的纵坐标不变6sin2yx向左平移个单位的图像sin2()sin(2)62yxx的图像2所有点的纵坐标变为原来的倍横坐标不变32sin(2)3yx向上平移各单位的图像2sin(2)33yx注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量x而言的，即图像变换要看“变量x”发生多大变化，而不是“角wx”变化多少．【解题方法总结】关于三角函数对称的几个重要结论；（1）函数sinyx的对称轴为()2xkkZ，对称中心为(.0)()kkZ；（2）函数cosyx的对称轴为()xkkZ，对称中心为(,0)()2kkZ；（3）函数tanyx函数无对称轴，对称中心为(,0)()2kkZ；（4）求函数sin()(0)yAwxbw的对称轴的方法；令()2wxkkZ，得2()kxkZw；对称中心的求取方法；令()wxkkZ，得kxw，即对称中心为()kbw，．（5）求函数cos()(0)yAwxbw的对称轴的方法；令()wxkkZ得2kxw，即对称中心为2(,)()kbkZw题型一：五点作图法例1．（2023·湖北·高一荆州中学校联考期中）要得到函数2π()2s3in2fxx的图象，可以从正弦函数或余弦函数图象出发，通过图象变换得到，也可以用“五点法”列表、描点、连线得到．(1)由sinyx图象变换得到函数fx的图象，写出变换的步骤和函数；(2)用“五点法”画出函数()fx在区间π7π,66上的简图．【解析】（1）步骤1：把sinyx图象上所有点向左平移2π3个单位长度，得到函数2πsin()3yx的图象；步骤2：把2πsin()3yx图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），得到函数2πsin(2)3yx的图象；步骤3：最后把函数2πsin(2)3yx的图象的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到函数2π2sin(2)3yx的图象．或者步骤1：步骤1：把sinyx图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），得到函数sin2yx的图象；步骤2：把sin2yx图象上所有点向左平移π3个单位长度，得到函数π2πsin2()sin(2)33yxx的图象；步骤3：最后把函数2πsin(2)3yx的图象的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到函数2π2sin(2)3yx的图象．（2）因为2π2[π,3π],3x列表：2π23xπ3π22π5π23πxπ65π122π311π127π6y02020例2．（2023·北京·高一首都师范大学附属中学校考阶段练习）已知函数ππ2sin36fxx(1)用“五点作图法”在给定坐标系中画出函数fx在0,6上的图像；(2)求yfx，xR的单调递增区间；(3)当0,xm时，fx的取值范围为1,2，直接写出m的取值范围.【解析】（1）因为ππ2sin36fxx，当0,6x时，πππ13π,3666x，列表如下：x015241126ππ36xπ6π2π3π22π13π6y120201作图如下：（2）因为ππ2sin36fxx，令ππππZ362xkk，解得31Zxkk，令ππππ2π2πZ2362kxkk，解得6261Zkxkk，所以yfx的递增区间为62,61kkkZ（3）0,xm，,36636mx，又12fx，由（1）的图象可知，12m，m的取值范围是1,2．例3．（2023·广东东莞·高一东莞市东华高级中学校联考阶段练习）函数sin2sinfxxx.(1)请用五点作图法画出函数fx在0,2π上的图象；（先列表，再画图）(2)设2mFxfx，0,2πx，当0m时，试研究函数Fx的零点的情况.【解析】（1）3sin,0π()sin,π2πxxfxxx，按五个关键点列表：x0π2π3π22πsinx01010()sin2sinfxxx03010描点并将它们用光滑的曲线连接起来如下图所示：（2）因为()()2mFxfx，所以()Fx的零点个数等价于()yfx与2my图象交点的个数，设2mt，0m，则1t当20log3m，即13t时，()Fx有2个零点；当2log3m，即3t时，()Fx有1个零点；当2log3m，即3t时，()Fx有0个零点.【解题方法总结】（1）在正弦函数sinyx，[02]x，的图象中，五个关键点是：3(00)(1)(0)(1)(20)22，，，，，，，，，．（2）在余弦函数cosyx，[02]x，的图象中，五个关键点是：3(01)(0)(1)(0)(21)22，，，，，，，，，．题型二：函数的奇偶性例4．（2023·全国·高三专题练习）函数cossinfxxaxb，则（）A．若0ab，则fx为奇函数B．若π2ab，则fx为偶函数C．若π2ba，则fx为偶函数D．若πab，则fx为奇函数【答案】B【解析】fx的定义域为R，对A：若0ab，cossinfxxaxa，若fx为奇函数，则00f，而0cossin0faa不恒成立，故fx不是奇函数；对B：若π2ab，πcossincoscos2fxxaxaxaxa，coscoscoscos()fxxaxaxaxafx，故fx为偶函数，B正确；对C：若π2ba，πcossin2cos2fxxaxaxa，2cos()fxxafx，故fx不是偶函数，故C错误；对D：若πab，cosπsincossinfxxbxbxbxb，若fx为奇函数，则00f，而0cossin0fbb不恒成立，故fx不是奇函数；故选：B例5．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）使函数3sin2cos2fxxx为偶函数，则的一个值可以是（）A．π3B．π6C．π3D．7π6【答案】A【解析】由π3sin2cos22sin(2)6fxxxx，因为fx为偶函数，可得πππ,Z62kk，所以ππ,Z3kk，令0k，可得π3.故选：A.例6．（2023·湖南常德·常德市一中校考模拟预测）函数()sin(2)fxx的图像向左平移π3个单位得到函数()gx的图像，若函数()gx是偶函数，则ta