第03讲 三角函数的图象与性质（十大题型）（讲义）（原卷版）

第03讲三角函数的图象与性质目录考点要求考题统计考情分析（1）理解正、余弦函数在区间[0,2]内的性质．理解正切函数在区间,22内的单调性．（2）了解函数sin()yAx的物理意义，能画出sin()yAx的图像，了解参数,,A对函数图像的影响．（3）了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数，会用三角函数解决一些简单的实际问题．2023年甲卷第12题，5分2023年天津卷第5题，5分2023年I卷第15题，5分本节命题趋势仍是突出以三角函数的图像、周期性、单调性、奇偶性、对称性、最值等重点内容展开，并结合三角公式、化简求值、平面向量、解三角形等内容综合考查，因此复习时要注重三角知识的工具性，以及三角知识的应用意识．知识点一：用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（1）在正弦函数sinyx，[02]x，的图象中，五个关键点是：3(00)(1)(0)(1)(20)22，，，，，，，，，．（2）在余弦函数cosyx，[02]x，的图象中，五个关键点是：3(01)(0)(1)(0)(21)22，，，，，，，，，．知识点二：正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中kZ）注：正（余）弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是2T；正（余）弦曲线相邻两个对称中心的距离是2T；正（余）弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离4T；知识点三：sin()yAwx与cos()(0,0)yAwxAw的图像与性质（1）最小正周期：2Tw．（2）定义域与值域：sin()yAwx，cos(yAwx）的定义域为R，值域为[-A，A]．（3）最值假设00Aw，．①对于sin()yAwx，函数sinyxcosyxtanyx图象定义域RR{|}2xxRxk，值域[11]，[11]，R周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间[22]22kk，[22]kk，()22kk，递减区间3[22]22kk，[22]kk，无对称中心(0)k，(0)2k，(0)2k，对称轴方程2xkxk无2(Z);22();2wxkkAwxkkZA当时，函数取得最大值当时，函数取得最小值②对于cos(yAwx），2(Z);2();wxkkAwxkkZA当时，函数取得最大值当时，函数取得最小值（4）对称轴与对称中心．假设00Aw，．①对于sin()yAwx，000000()sin()21sin()()sin()0sin()(,0).wxkkZwxywxxxwxkkZwxywxx当，即时，的对称轴为当，即时，的对称中心为②对于cos(yAwx），000000()cos()1cos()()cos()20cos()(,0).wxkkZwxywxxxwxkkZwxywxx当，即时，的对称轴为当，即时，的对称中心为正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与x轴交点的位置．（5）单调性．假设00Aw，．①对于sin()yAwx，[2,2]()223[2,2]().22wxkkkZwxkkkZ增区间；减区间②对于cos(yAwx），[2,2]()[2,2]().wxkkkZwxkkkZ增区间；减区间（6）平移与伸缩由函数sinyx的图像变换为函数2sin(2)33yx的图像的步骤；方法一：(2)23xxx．先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形．3sinyx向左平移个单位的图像sin()3yx的图像12所有点的横坐标变为原来的纵坐标不变sin(2)3yx的图像2所有点的纵坐标变为原来的倍横坐标不变2sin(2)3yx的图像3向上平移个单位2sin(2)33yx方法二：(2)23xxx．先周期变换，后相位变换，再振幅变换．sinyx的图像12所有点的横坐标变为原来的纵坐标不变6sin2yx向左平移个单位的图像sin2()sin(2)62yxx的图像2所有点的纵坐标变为原来的倍横坐标不变32sin(2)3yx向上平移各单位的图像2sin(2)33yx注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量x而言的，即图像变换要看“变量x”发生多大变化，而不是“角wx”变化多少．【解题方法总结】关于三角函数对称的几个重要结论；（1）函数sinyx的对称轴为()2xkkZ，对称中心为(.0)()kkZ；（2）函数cosyx的对称轴为()xkkZ，对称中心为(,0)()2kkZ；（3）函数tanyx函数无对称轴，对称中心为(,0)()2kkZ；（4）求函数sin()(0)yAwxbw的对称轴的方法；令()2wxkkZ，得2()kxkZw；对称中心的求取方法；令()wxkkZ，得kxw，即对称中心为()kbw，．（5）求函数cos()(0)yAwxbw的对称轴的方法；令()wxkkZ得2kxw，即对称中心为2(,)()kbkZw题型一：五点作图法例1．（2023·湖北·高一荆州中学校联考期中）要得到函数2π()2s3in2fxx的图象，可以从正弦函数或余弦函数图象出发，通过图象变换得到，也可以用“五点法”列表、描点、连线得到．(1)由sinyx图象变换得到函数fx的图象，写出变换的步骤和函数；(2)用“五点法”画出函数()fx在区间π7π,66上的简图．(1)用“五点作图法”在给定坐标系中画出函数fx在0,6上的图像；(2)求yfx，xR的单调递增区间；(3)当0,xm时，fx的取值范围为1,2，直接写出m的取值范围.例3．（2023·广东东莞·高一东莞市东华高级中学校联考阶段练习）函数sin2sinfxxx.(1)请用五点作图法画出函数fx在0,2π上的图象；（先列表，再画图）(2)设2mFxfx，0,2πx，当0m时，试研究函数Fx的零点的情况.【解题方法总结】（1）在正弦函数sinyx，[02]x，的图象中，五个关键点是：3(00)(1)(0)(1)(20)22，，，，，，，，，．（2）在余弦函数cosyx，[02]x，的图象中，五个关键点是：3(01)(0)(1)(0)(21)22，，，，，，，，，．题型二：函数的奇偶性例4．（2023·全国·高三专题练习）函数cossinfxxaxb，则（）A．若0ab，则fx为奇函数B．若π2ab，则fx为偶函数C．若π2ba，则fx为偶函数D．若πab，则fx为奇函数例5．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）使函数3sin2cos2fxxx为偶函数，则的一个值可以是（）A．π3B．π6C．π3D．7π6例6．（2023·湖南常德·常德市一中校考模拟预测）函数()sin(2)fxx的图像向左平移π3个单位得到函数()gx的图像，若函数()gx是偶函数，则tan（）A．3B．3C．33D．33变式1．（2023·北京·高三专题练习）已知的()sin3cosfxxx图象向左平移个单位长度后，得到函数()gx的图象，且()gx的图象关于y轴对称，则||的最小值为（）A．π12B．π6C．π3D．5π12变式2．（2023·浙江·高三期末）将函数()cos(2)fxx的图象向右平移12个单位得到一个奇函数的图象，则的取值可以是（）A．6B．3C．2D．23变式3．（2023·广东·高三统考学业考试）函数π()sin42fxx是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为π2的奇函数D．最小正周期为π2的偶函数变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数44tan2()2xxfxx的最大值为M，最小值为m，则Mm的值为（）A．0B．2C．4D．6变式5．（2023·山东·高三专题练习）设函数323tan21fxaxbxcxx，如果210f，则2f的值是（）A．-10B．8C．-8D．-7【解题方法总结】由sinyx是奇函数和cosyx是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：（1）若sin()yAx为奇函数，则()kkZ；（2）若sin()yAx为偶函数，则()2kkZ；（3）若cos()yAx为奇函数，则()2kkZ；（4）若cos()yAx为偶函数，则()kkZ；若tan()yAx为奇函数，则()2kkZ，该函数不可能为偶函数．题型三：函数的周期性例7．（2023·湖北襄阳·高三襄阳五中校考开学考试）已知1x，2x，是函数tan0,0fxx的两个零点，且12xx的最小值为3，若将函数fx的图象向左平移12个单位长度后得到的图象关于原点对称，则的最大值为（）A．34B．4C．78D．8例8．（2023·江西·南昌县莲塘第一中学校联考二模）将函数()cos2fxx的图象向右平移π02个单位长度后得到函数()gx的图象，若对满足122fxgx的12,xx，总有12xx的最小值等于π6，则（）A．π12B．π6C．π3D．5π12例9．（2023·河北·高三校联考阶段练习）函数()|sin||cos|fxxx的最小正周期为（）A．πB．3π2C．π2D．π4变式6．（2023·高三课时练习）函数()tanfxx（0）的图像的相邻两支截直线2y所得线段长为π2，则π6f的值是______.变式7．（2023·河北衡水·高三河北深州市中学校考阶段练习）下列函数中，最小正周期为的奇函数是（）A．sin4yxB．sincosyxxC．22coscos2yxxD．sin2yx变式8．（2023·全国·高三专题练习）函数()2cosfxx对于xR，都有12()()()fxfxfx，则12||xx的最小值为（）.A．4B．2C．D．2变式9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()cos(sin3cos)(0)fxxxx，如果存在实数0x，使得对任意的实数x，都有00()()(2016)fxfxfx成立，则的最小值为A．14032B．12016C．14032D．12016变式10．（2023·北京·北京市第一六一中学校考模拟预测）设函数π6()cosfxx在[π,π]的图象大致如图所示，则()fx的最小正周期为（）A．4π3B．10π9C．43D．109变式11．（2023·