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当前位置:首页 > 中学教育 > 高中教育 > 第04讲 解三角形(八大题型)(讲义)(原卷版)
第04讲解三角形目录考点要求考题统计考情分析(1)掌握正弦定理、余弦定理及其变形.(2)能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.(3)能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.2023年I卷II卷第17题,10分2023年甲卷第16题,5分2023年乙卷第18题,12分2022年I卷II卷第18题,12分高考对本节的考查不会有大的变化,仍将以考查正余弦定理的基本使用、面积公式的应用为主.从近五年的全国卷的考查情况来看,本节是高考的热点,主要以考查正余弦定理的应用和面积公式为主.知识点一:基本定理公式(1)正余弦定理:在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆半径,则定理正弦定理余弦定理公式==2sinsinsinCabcRAB2222cosabcbcA;2222cosBbcaac;2222cosCcabab.常见变形(1)2sinaRA,2sinBbR,2sinCcR;(2)sin2aAR,sinB2bR,sinC2cR;222cosA2bcabc;222cosB2cabac;222cosC2abcab.(2)面积公式:111sinsinsin222SABCabCbcAacB1()42abcSABCabcrR(r是三角形内切圆的半径,并可由此计算R,r.)知识点二:相关应用(1)正弦定理的应用①边化角,角化边::sin:sin:sinabcABC②大边对大角大角对大边sinsincoscosabABABAB③合分比:b2sinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinBsinabcabbcacacRABCABBCACAC(2)ABC△内角和定理:ABC①sinsin()sincoscossinCABABABcoscoscaBbA同理有:coscosabCcB,coscosbcAaC.②coscos()coscossinAsinBCABAB;③斜三角形中,tantantantan()1tantanABCABABtantantanCtantantanCABAB④sin()cos22ABC;cos()sin22ABC⑤在ABC中,内角ABC,,成等差数列2,33BAC.知识点三:实际应用(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角(如图①).(2)方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为α(如图②).(3)方向角:相对于某一正方向的水平角.(1)北偏东α,即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③).(2)北偏西α,即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向.(3)南偏西等其他方向角类似.(4)坡角与坡度(1)坡角:坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④,角θ为坡角).(2)坡度:坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④,i为坡度).坡度又称为坡比.【解题方法总结】1、方法技巧:解三角形多解情况在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下:A为锐角A为钝角或直角图形关系式sinabAsinbAabababab解的个数一解两解一解一解无解2、在解三角形题目中,若已知条件同时含有边和角,但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案,要选择“边化角”或“角化边”,变换原则常用:(1)若式子含有sinx的齐次式,优先考虑正弦定理,“角化边”;(2)若式子含有,,abc的齐次式,优先考虑正弦定理,“边化角”;(3)若式子含有cosx的齐次式,优先考虑余弦定理,“角化边”;(4)代数变形或者三角恒等变换前置;(5)含有面积公式的问题,要考虑结合余弦定理使用;(6)同时出现两个自由角(或三个自由角)时,要用到ABC.3、三角形中的射影定理在ABC中,coscosabCcB;coscosbaCcA;coscoscbAaB.题型一:正弦定理的应用例1.(2023·福建龙岩·高三校联考期中)在ABC中,角,,ABC所对的边分别为,,abc,若π5π4,,412aAC,则b()A.23B.25C.26D.6例2.(2023·全国·高三专题练习)在ABC中,设命题p:sinsinsinabcCAB,命题q:ABC是等边三角形,那么命题p是命题q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件例3.(2023·河南·襄城高中校联考三模)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sinsincosABC且23c,π6A,则sinsincaCA()A.83B.43C.8D.4变式1.(2023·全国·高三专题练习)在ABC中,内角,,ABC的对边分别是,,abc,若coscosaBbAc,且5C,则B()A.10B.5C.310D.25变式2.(2023·河南郑州·高三郑州外国语中学校考阶段练习)a,b,c分别为ABC内角A,B,C的对边.已知4a,sinsinsinabACcB,则ABC外接圆的面积为()A.16B.64πC.128D.256变式3.(2023·甘肃兰州·高三兰州五十一中校考期中)△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若2sinsincos3aABbAa,则ba()A.2B.3C.22D.23变式4.(2023·宁夏·高三六盘山高级中学校考期中)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若2ab,则2222sinsinsinBAA的值为()A.12B.14C.1D.12变式5.(2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos3cosbAaB,2a,则c=()A.4B.6C.22D.23【解题方法总结】(1)已知两角及一边求解三角形;(2)已知两边一对角;.sin1sinsin1AAA大角求小角一解(锐)两解-(一锐角、一钝角)小角求大角-一解-1(直角)无解-(3)两边一对角,求第三边.题型二:余弦定理的应用例4.(2023·全国·高三专题练习)已知ABC的内角,,ABC所对的边分别为,,abc满足222bcabc且3a,则sinbB()A.2B.3C.4D.23例5.(2023·河南·高三统考阶段练习)在ABC中,角,,ABC的对边分别为,,abc,若222sinsintansinsinsinBCABCA,则A()A.3B.4C.6或56D.3或23例6.(2023·全国·高三专题练习)设△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sinsinAB,且2221sincaC,则C()A.6B.π4C.π3D.34变式6.(2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,2223abc,则111tantantanABC()A.0B.1C.2D.12变式7.(2023·全国·高三专题练习)在ABC中,角ABC,,的对边分别为abc,,,且coscossinsinBCAbcC,则b的值为()A.1B.3C.32D.2【解题方法总结】(1)已知两边一夹角或两边及一对角,求第三边.(2)已知三边求角或已知三边判断三角形的形状,先求最大角的余弦值,若余弦值0,ABC0,ABC.0,ABC则为锐角三角形则为直角三角形则为钝角三角形题型三:判断三角形的形状例7.(2023·甘肃酒泉·统考三模)在ABC中内角,,ABC的对边分别为,,abc,若22sincossincosaABbBA,则ABC的形状为()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形例8.(2023·全国·高三专题练习)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos0cbA,则ABC形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形例9.(2023·全国·高三专题练习)在ABC中,若cos1cos2cos1cos2bCBcBC,则ABC的形状为()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形变式8.(2023·全国·高三专题练习)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若222bcaca,且sin2sinAC,则ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形变式9.(2023·河南周口·高三校考阶段练习)已知ABC的三个内角,,ABC所对的边分别为,,abc.若2sinsinsinsinsinAcAABbC,则该三角形的形状一定是()A.钝角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.锐角三角形变式10.(2023·全国·高三专题练习)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若22cossinsincos,aABbAB则ABC的形状为()A.等腰三角形B.等腰三角形或直角三角形C.直角三角形D.锐角三角形变式11.(2023·北京·高三101中学校考阶段练习)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若22cossinsincosaABbAB,则ABC的形状为()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等边三角形【解题方法总结】(1)求最大角的余弦,判断ABC是锐角、直角还是钝角三角形.(2)用正弦定理或余弦定理把条件的边和角都统一成边或角,判断是等腰、等边还是直角三角形.题型四:正、余弦定理与的综合例10.(2023·河南南阳·统考二模)锐角ABC是单位圆的内接三角形,角,,ABC的对边分别为,,abc,且22224cos2cosabcaAacB,则a等于()A.2B.22C.3D.1例11.(2023·河北唐山·高三开滦第二中学校考阶段练习)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,222sinsin2sin2sinabAabBabcBA.(1)求证:π03C;(2)若111tantantanBAC,求cosA.例12.(2023·重庆·统考三模)已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,sin()tansinsinABCAB.(1)求222acb;(2)若2cos3B,求sinA.变式12.(2023·山东滨州·统考二模)已知ABC的三个角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2coscoscos212coscosBCAAABC.(1)若BC,求A;(2)求222bca的值.变式13.(2023·全国·高三专题练习)在ABC中,()(sinsin)(sinsin)acACbAB,则C()A.π6B.π3C.2π3D.5π6变式14.(2023·青海·校联考模拟预测)在ABC中,内角A,B,C所对应的边分别是a,b,c,若ABC的面积是22234bca,则A()A.π3B.2π3C.π6D.5π6变式15.(2023·全国·校联考三模)已知a,b,c分别为ABC的内角A,B,C的对边,22223cossin22BBacac.(1)求证:a,b,c成等比数列;(2)若222sin3sinsin4BAC,求cosB的值.变式16.(2023·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sinsin2BCcaC(1)求角A的大小;(2)若1b,21sin7B,求边c及cos(2)BA的值.【解题方法总结】先利用平面向量的有关知识如向量数量积将向量问题转化为三角
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