重难点突破03 三角形中的范围与最值问题（十七大题型）（解析版）

重难点突破03三角形中的范围与最值问题目录1、在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点．解决这类问题，通常有下列五种解题技巧：（1）利用基本不等式求范围或最值；（2）利用三角函数求范围或最值；（3）利用三角形中的不等关系求范围或最值；（4）根据三角形解的个数求范围或最值；（5）利用二次函数求范围或最值．要建立所求量（式子）与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量（式子）的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围（也就是函数的定义域）找完善，避免结果的范围过大．2、解三角形中的范围与最值问题常见题型：（1）求角的最值；（2）求边和周长的最值及范围；（3）求面积的最值和范围．题型一：周长问题例1．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）记ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且222coscosabcaBbAabc．(1)求C；(2)若ABC为锐角三角形，2c，求ABC周长范围．【解析】（1）在ABC中，由射影定理得coscosaBbAc，则题述条件化简为222abcab，由余弦定理得2222cosabcabC．可得1cos,0,π,2CC所以π3C.（2）在ABC中，由正弦定理得243πsinsinsin3sin3abcABC，则ABC周长43432π22(sinsin)2sinsin333ABCCabABAA，因为2ππsinsin3sin36AAA，则π24sin6ABCCA，因为ABC为锐角三角形，2π3AB，则得ππππ2π,,,62633AA，故π3sin,1,(223,6]62ABCAC．例2．（2023·甘肃武威·高三武威第六中学校考阶段练习）在锐角△ABC中，23a，(2)coscosbcAaC，（1）求角A；（2）求△ABC的周长l的范围.【解析】（1）∵(2)coscosbcAaC，2coscoscosbAaCcA，所以2sincossincossincosBAACCA，所以2sincossin()BAAC，所以2sincossinBAB，因为sin0B，所以1cos2A，0,2A，所以3A.（2）234sin32aA，所以4sinsinbcBC,所以4sinbB，24sin4sin()3cCB，所以2234sin4sin()3labcBB236sin23cosBB2343sin()6B因为△ABC是锐角三角形，且3A，所以022032BB，解得62B，所以2(,)633B，所以3sin()(,1]62B，所以(623,63]l.例3．（2023·全国·高三专题练习）在①23SABAC；②22cos1cos22BCA；③3sincoscaCcA；在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．在锐角ABC中，内角A、B、C，的对边分别是a、b、c，且______(1)求角A的大小；(2)若3a，求ABC周长的范围．【解析】（1）选①，由23SABAC可得sin3coscbAcbA，0,πA，则sin3cos0AA，可得tan3A，π3A；选②，由22cos1cos22BCA可得1cos1cos2BCA，即2cosπ2cos1AA，即22coscos10AA，0πA，则1cos1A，故1cos2A，π3A；选③，由3sincoscaCcA及正弦定理可得3sinsinsincossinACCAC，A、0,πC，则sin0C，所以，π3sincos2sin16AAA，故π1sin62A，ππ5π666A，ππ66A，因此，π3A.（2）由正弦定理可得2sinsinsinabcABC，则2sinbB，2sincC，π32sin2sin32sin2sin3abcBCBBπ3sin3cos323sin36BBB，因为ABC为锐角三角形，则π02π+2BAB，可得ππ62B，所以，ππ2π363B，则3πsin126B，故π23sin333,336abcB.变式1．（2023·全国·模拟预测）在锐角ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且coscoscbaBbA.(1)求角A的大小；(2)若1a，求ABC周长的范围.【解析】（1）由正弦定理得：sinsinsincossincosCBABBA，()CAB，sin()sinsincossincosABBABBA，sincossincossinsincossincosABBABABBA，2sincossin0BABsin0B，1cos2A，(0,)2A，3A.（2）由正弦定理：23sinsinsin3bcaBCA，则23sin3bB，23sin3cC，23CB，232sin33cB，ABC周长为2321sinsin33abcBB23221sinsincoscossin333BBB23331sincos322BB12sin6B，又锐角ABC，0,022BC，结合23CB62B，2363B，3sin126B，1312sin36B，即ABC周长的范围是(13,3].变式2．（2023·陕西西安·高三西安中学校考阶段练习）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足2a，cos2cosaBcbA．(1)求角A的大小；(2)求ABC周长的范围．【解析】（1）由余弦定理222222222acbbcaacbacbc，即222bcabc，所以2221cos22bcaAbc，因为0πA，所以π3A．（2）由正弦定理：243sinsin332bcBC，则43sin3bB，43sin3cC，由（1）2π3BC，故43432π2sinsin2sinsin333abcBCBB43314333π2sincossin2sincos24sin3223226BBBBBB因为2πππ5π03666BB，则1πsin126B，所以46abc，即周长范围是4,6．题型二：面积问题例4．（2023·全国·模拟预测）已知在锐角ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2sin,3mx，cos,cos2nxx，fxmn，0fBC．(1)求角A的值；(2)若1b，求ABC面积的范围．【解析】(1)∵2sin,3mx，cos,cos2nxx，fxmn，∴2sincos3cos2fxxxxsin23cos2xxπ2sin23x．又0fBC，∴πsin203BC．又ABC为锐角三角形，∴π22π3BC或∴5π6BC或3（舍去），∴π6A．(2)由正弦定理知sinsinsinabcABC，又∵1b，π6A，∴12sinaB，∴πsin16sin24sinBSabCB31cos31188sin88tanBBB．0,250,62BB故得到：ππ32B，∴3386S，∴ABC面积的范围为33,86例5．（2023·江苏南通·统考模拟预测）如图，某植物园内有一块圆形区域，在其内接四边形ABCD内种植了两种花卉，其中ABD△区域内种植兰花，BCD△区域内种植丁香花，对角线BD是一条观赏小道．测量可知边界60mAB，20mBC，40mADCD．（1）求观赏小道BD的长及种植区域ABCD的面积；（2）因地理条件限制，种植丁香花的边界BC，CD不能变更，而边界AB，AD可以调整，使得种植兰花的面积有所增加，请在BAD上设计一点P，使得种植区域改造后的新区域（四边形PBCD）的面积最大，并求出这个面积的最大值．【解析】（1）设mBDxc，则由余弦定理得2224060cos24060xA，2224020cos24020xC．由四边形ABCD是圆内接四边形得180AC，故coscos0AC，即2222224060402002406024020xx，解得207x（负值舍去），即207cmBD．从而1cos2A，所以60A，120C，故114060sin604020sin120800322ABCDS．答：观赏小道BD的长为207m，种植区域ABCD的面积为28003m．（2）由（1）及“同弧所对的圆周角相等”得60PA．设cmPDm，cm,0PBnmn，则13sin24BDPSmnPmn．在BDP△中，由余弦定理有222222072cosmnmnPmnmnmn434433BDPmnS，故7003BDPS（当且仅当207mn时等号成立）．而14020sin12020032BCDS，因此，种植区域改造后的新区域PBCD的面积的最大值为29003cm．答：当BDP△为等边三角形时，新区域PBCD的面积最大，最大值为29003m．例6．（2023·山东青岛·高三青岛三十九中校考期中）在①a＝2，②a＝b＝2，③b＝c＝2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，求△ABC的面积的值（或最大值）．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，三边a，b，c与面积S满足关系式：2224Sbca，且______，求△ABC的面积的值（或最大值）．【解析】∵222144sin2sin2SbcAbcAbca，∴222sincos2bcaAAbc，tan1A∵(0,)A，∴4A，选择条件①：当a＝2时，根据余弦定理，2222cos4abcbcA，∴2242cosbcbcA，∵224220,(0)bcbcbcab，∴442222bc（当且仅当b＝c422时取等），∴max12(422)2122S；选择条件②：当a＝b＝2时，∵22222cos4224abcbcAcc，∴22c，∴112sin2222222SbcA；选择条件③：当b＝c＝2，112sin222222SbcA．变式3．（2023·江苏苏州·高三常熟中学校考阶段练习）如图所示，某住宅小区一侧有一块三角形空地ABO，其中3kmOA，33kmOB，90AOB．物业管理部门拟在中间开挖一个三角形人工湖OMN，其中M，N都在边AB上（M，N均不与AB重合，M在A，N之间），且30MON．(1)若M在距离A点1km处，