第06讲 函数的概念及其表示（精讲）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第06讲函数的概念及其表示（精讲）题型目录一览①给出函数解析式求解定义域②抽象函数定义域的求法③函数值域的求法④函数解析式的求法⑤分段函数的应用★【文末附录-函数的概念及其表示思维导图】1.函数的概念(1)一般地，给定非空数集A，B，按照某个对应法则f，使得A中任意元素x，都有B中唯一确定的y与之对应，那么从集合A到集合B的这个对应，叫做从集合A到集合B的一个函数.记作：)(xfyx，Ax.集合A叫做函数的定义域，记为D，集合)({xfyy，}Ax叫做值域，记为C.(2)函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射.(3)函数表示法：函数书写方式为)(xfy，Dx(4)函数三要素：定义域、值域、对应法则.(5)同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同.2.基本的函数定义域限制求解函数的定义域应注意：（1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；（5）三角函数中的正切tanyx的定义域是,xxR且,2xkxkZ；（6）已知fx的定义域求解fgx的定义域，或已知fgx的定义域求fx的一、知识点梳理定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.3.基本初等函数的值域(1))0(kbkxy的值域是R.(2))0(2acbxaxy的值域是：当0a时，值域为}44{2abacyy；当0a时，值域为}44{2abacyy．(3))0(kxky的值域是}0{yy.(4)0(aayx且)1a的值域是)0(，.(5)0(logaxya且)1a的值域是R.4.分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．题型一给出函数解析式求解定义域策略方法已知函数的具体解析式求定义域的方法(1)简单函数的定义域：若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．【典例1】求下列函数的定义域：(1)322fxx；二、题型分类精讲(2)0211fxxx；(3)31fxxx；(4)2111xfxxx.【题型训练】一、单选题1．下列四组函数中，两个函数表示的是同一个函数的是（）A．222xxxf与2fxxB．23logfxx＝与3logfxx＝C．2fxx与fxxD．33(1)fxx与1fxx2．函数2ln(1)4xyx定义域为（）A．(1,2)B．(1,2]C．(1,2)D．(1,2]二、填空题3．函数51log21yx的定义域是__________.4．函数1lgsincos2yxx的定义域是_________．三、解答题5．求下列函数的定义域：（1）3()4xfxx；（2）2()fxx；（3）26()32fxxx；（4）4()1xfxx.6．已知函数21lg(34)1xyxxx的定义域为M，（1）求M；（2）当xM时，求2()234xxfxa(3)a的最小值．题型二抽象函数定义域的求法策略方法抽象函数的定义域的求法(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．提醒：明确定义域是自变量“x”的取值范围．【典例1】求下列函数的定义域：(1)已知函数()fx的定义域为[1，2]，求函数(21)yfx的定义域；(2)已知函数(21)yfx的定义域[1，2]，求函数()fx的定义域；(3)已知函数(21)yfx的定义域[1，2]，求函数(21)yfx的定义域.【题型训练】一、单选题1．若函数fx的定义域为0,4，则函数2gxfx的定义域为（）A．22,B．0,2C．2,6D．2,42．已知函数1yfx的定义域为1,2，则函数21yfx的定义域为（）A．1,12B．3,22C．1,1D．3,53．函数fx的定义域为2,4，则21fxyx的定义域为（）A．1,8B．4,11,8C．1,2D．1,11,2二、填空题4．若已知函数41fx的定义域为0,m，则可求得函数21fx的定义域为0,2；问实数m的值为______．5．已知函数(1)fx的定义域为[2,3]，则函数11fx的定义域___________.三、解答题6．已知函数(12)fx的定义域为1,12A.(1)求()fx的定义域B；(2)对于（1）中的集合B，若xB，使得21axx成立，求实数a的取值范围.7．已知函数2xfx的定义域是0,3，设22gxfxfx，(1)求gx的定义域；(2)求函数gx的最大值和最小值.题型三函数值域的求法策略方法函数值域的求法主要有以下几种（1）观察法:根据最基本函数值域（如2x≥0,0xa及函数的图像、性质、简单的计算、推理，凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域.（2）配方法：对于形如20yaxbxca的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义城求出函数的值域.（3）图像法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型.（4）基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等.（5）换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形yaxbcxd的值城，可通过换元将原函数转化为二次型函数.（6）分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化内便于分析.（7）判别式法：把函数解析式化为关于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判别式求值域，一般地，形如yAxB，2axbxc或22axbxcydxexf的函数值域问题可运用判别式法（注意x的取值范围必须为实数集R）.(8)单调性法：先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域.对于形如dcxbaxy或dcxbaxy的函数，当ac0时可利用单调性法.【典例1】试求下列函数的值域.(1)211fxx，10123x，，，，(2)222fxxx(3)541xfxx(4)1yxx【题型训练】一、解答题1．求下列函数的值域：(1)y＝2x＋1；(2)y＝x2－4x＋6，x∈[1，5)；(3)y＝311xx；(4)y＝x＋x．二、单选题2．函数32fxx，1,3,5x，则fx的值域是（）A．1713,,B．0,C．1,D．R3．下列四个函数：①3yx；②1yx；③2210yxx；④,01,0xxyxx．其中定义域与值域相同的函数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．下列函数中，值域是0,的是（）A．221yxxB．21xyx，0,xC．2221yxx，NxD．11yx三、多选题5．已知函数412xfxx，则（）．A．fx的值域是4yyB．fx的定义域为2xC．202620228ffD．202320198ff6．下列函数最小值为2的是（）A．246yxxB．1yxxC．122xxyD．ln2yx四、填空题7．函数21,1,11fxxx的值域为__________.（结果用区间表示）8．函数22211xyx的值域为________.题型四函数解析式的求法策略方法函数解析式的常见求法【典例1】（1）已知fx是一次函数，且满足3129fxfxx，求fx的解析式．（2）若对任意实数x，均有292fxfxx，求fx的解析式．【典例2】（1）已知123fxx，求fx的解析式；（2）已知3232fxfxxxx，求fx的解析式．【题型训练】一、单选题1．已知函数fx满足2 21465fxxx，则fx（）A．259fxxxB．259fxxxC．259fxxxD．2 59fxxx2．一次函数fx满足123fff，且234fff（），则fx的解析式为（）A．23fxxB．32fxxC．1fxxD．21fxx3．已知定义在R上的单调函数fx，其值域也是R，并且对于任意的,Rxy，都有fxfyxy，则2022f等于（）A．0B．1C．22022D．20224．设fx是定义域为R的单调函数，且34ffxx，则（）A．11fB．01fC．12fD．23f二、填空题5．已知函数2(1)4fxxx，则(21)fx__________．6．已知2111xfxx，则fx的值域为______.7．设定义在0,上的函数gx满足121gxxgx，则gx___________.三、解答题8．在①2(23)46fxxx，②2()2()33fxfxxx，③对任意实数x，y，均有22()2()233fxyfyxxyyxy这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答.已知函数()fx满足，求()fx的解析式.9．求下列函数的解析式(1)若2112fxxxx，求fx的表达式．(2)已知323fxfxx，求fx的表达式．(3)已知fx是二次函数,且满足01,12ffxfxx,求fx.题型五分段函数的应用策略方法1．分段函数求值的策略(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值．(2)当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．2．求参数或自变量的值解决此类问题时，先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与该段函数的自变量的取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)即可．3．分段函数与不等式问题解由分段函数构成的不等式，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论．如果分段函数的图象比较容易画出，也可以画出函数图象后，结合图象求解．【典例1】已知()fx22,0,21,0xxxxx(1)求(2),((3))fff(2)若()6faa，求实数a的值【题型训练】一、单选题1．设1232e,(2),()log1,(2),xxfxxx则((2))ff（）A．1B．1C．2D．42．函数2,