第28练 等差数列（精练：基础+重难点）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第28练等差数列（精练）一、单选题1．（2023·全国·统考高考真题）记nS为等差数列na的前n项和．若264810,45aaaa，则5S（）A．25B．22C．20D．15【答案】C【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列na的公差和首项，再根据前n项和公式即可解出；方法二：根据等差数列的性质求出等差数列na的公差，再根据前n项和公式的性质即可解出．【详解】方法一：设等差数列na的公差为d，首项为1a，依题意可得，2611510aaadad，即135ad,又48113745aaadad，解得：11,2da，所以515455210202Sad．故选：C.方法二：264210aaa，4845aa，所以45a，89a，从而84184aad，于是34514aad，所以53520Sa．故选：C.2．（2023·全国·统考高考真题）记nS为数列na的前n项和，设甲：na为等差数列；乙：{}nSn为等差数列，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】C刷真题明导向【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.，【详解】方法1，甲：na为等差数列，设其首项为1a，公差为d，则1111(1)1,,222212nnnnSSSnnndddSnadadnannn，因此{}nSn为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，乙：{}nSn为等差数列，即111(1)1(1)(1)nnnnnnSSnSnSnaSnnnnnn为常数，设为t，即1(1)nnnaStnn，则1(1)nnSnatnn，有1(1)(1),2nnSnatnnn，两式相减得：1(1)2nnnananatn，即12nnaat，对1n也成立，因此na为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件，C正确.方法2，甲：na为等差数列，设数列na的首项1a，公差为d，即1(1)2nnnSnad，则11(1)222nSnddadnan，因此{}nSn为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：{}nSn为等差数列，即11,(1)1nnnSSSDSnDnnn，即1(1)nSnSnnD，11(1)(1)(2)nSnSnnD，当2n时，上两式相减得：112(1)nnSSSnD，当1n时，上式成立，于是12(1)naanD，又111[22(1)]2nnaaanDanDD为常数，因此na为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件.故选：C3．（2022·全国·统考高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，,,,AABBCCDD是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中1111,,,DDCCBBAA是举，1111,,,ODDCCBBA是相等的步，相邻桁的举步之比分别为11111231111,0.5,,DDCCBBAAkkkODDCCBBA．已知123,,kkk成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则3k（）A．0.75B．0.8C．0.85D．0.9【答案】D【分析】设11111ODDCCBBA，则可得关于3k的方程，求出其解后可得正确的选项.【详解】设11111ODDCCBBA，则111213,,CCkBBkAAk，依题意，有31320.2,0.1kkkk，且111111110.725DDCCBBAAODDCCBBA，所以30.530.30.7254k，故30.9k，故选：D4．（2021·北京·统考高考真题）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长12345,,,,aaaaa(单位:cm)成等差数列，对应的宽为12345,,,,bbbbb(单位:cm),且长与宽之比都相等，已知1288a，596a，1192b，则3bA．64B．96C．128D．160【答案】C【分析】设等差数列na公差为d，求得48d，得到3192a，结合党旗长与宽之比都相等和1192b，列出方程，即可求解.【详解】由题意，五种规格党旗的长12345,,,,aaaaa(单位:cm)成等差数列，设公差为d，因为1288a，596a，可得519628848513aad，可得3288(31)(48)192a，又由长与宽之比都相等，且1192b，可得3113aabb，所以3131192192=128288abba.故选：C.5．（2023·全国·统考高考真题）已知等差数列na的公差为23，集合*cosNnSan，若,Sab，则ab（）A．－1B．12C．0D．12【答案】B【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答.【详解】依题意，等差数列{}na中，112π2π2π(1)()333naanna，显然函数12π2πcos[()]33yna的周期为3，而Nn，即cosna最多3个不同取值，又{cos|N}{,}nanab，则在123cos,cos,cosaaa中，123coscoscosaaa或123coscoscosaaa，于是有2πcoscos()3，即有2π()2π,Z3kk，解得ππ,Z3kk，所以Zk，2ππ4πππ1cos(π)cos[(π)]cos(π)cosπcosπcos333332abkkkkk.故选：B6．（2021·北京·统考高考真题）已知na是各项均为整数的递增数列，且13a，若12100naaa，则n的最大值为（）A．9B．10C．11D．12【答案】C【分析】使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式求得n可能的最大值，然后构造数列满足条件，即得到n的最大值．【详解】若要使n尽可能的大，则，递增幅度要尽可能小，不妨设数列是首项为3，公差为1的等差数列，其前n项和为，则，，所以11n.对于，，取数列各项为(1,2,10)n，1125a,则1211100aaa，所以n的最大值为11．故选：C．二、填空题7．（2022·全国·统考高考真题）记nS为等差数列na的前n项和．若32236SS，则公差d．【答案】2【分析】转化条件为112+226adad，即可得解.【详解】由32236SS可得123122+36aaaaa，化简得31226aaa，即112+226adad，解得2d.故答案为：2.三、解答题8．（2023·全国·统考高考真题）记nS为等差数列na的前n项和，已知21011,40aS．(1)求na的通项公式；(2)求数列na的前n项和nT．【答案】(1)152nan(2)2214,71498,8nnnnTnnn【分析】（1）根据题意列式求解1,ad，进而可得结果；（2）先求nS，讨论na的符号去绝对值，结合nS运算求解.【详解】（1）设等差数列的公差为d，由题意可得211011110910402aadSad，即1111298adad，解得1132ad，所以1321152nann，（2）因为213152142nnnSnn，令1520nan，解得152n，且*nN，当7n时，则0na，可得2121214nnnnTaaaaaaSnn；当8n时，则0na，可得121278nnnTaaaaaaaa222777221477141498nnSSSSSnnnn；综上所述：2214,71498,8nnnnTnnn.9．（2023·全国·统考高考真题）已知na为等差数列，6,2,nnnanban为奇数为偶数，记nS，nT分别为数列na，nb的前n项和，432S，316T．(1)求na的通项公式；(2)证明：当5n时，nnTS．【答案】(1)23nan；(2)证明见解析.【分析】（1）设等差数列na的公差为d，用1,ad表示nS及nT，即可求解作答.（2）方法1，利用（1）的结论求出nS，nb，再分奇偶结合分组求和法求出nT，并与nS作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出nS，nb，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出nT，并与nS作差比较作答.【详解】（1）设等差数列na的公差为d，而6,21,N2,2nnnankbkank，则112213316,222,626babaadbaad，于是41314632441216SadTad，解得15,2ad，1(1)23naandn，所以数列na的通项公式是23nan.（2）方法1：由（1）知，2(523)42nnnSnn，23,21,N46,2nnnkbknnk，当n为偶数时，12(1)34661nnbbnnn，213(61)372222nnnTnn，当5n时，22371()(4)(1)0222nnTSnnnnnn，因此nnTS，当n为奇数时，22113735(1)(1)[4(1)6]52222nnnTTbnnnnn，当5n时，22351(5)(4)(2)(5)0222nnTSnnnnnn，因此nnTS，所以当5n时，nnTS.方法2：由（1）知，2(523)42nnnSnn，23,21,N46,2nnnkbknnk，当n为偶数时，21312412(1)3144637()()222222nnnnnnnTbbbbbbnn，当5n时，22371()(4)(1)0222nnTSnnnnnn，因此nnTS，当n为奇数时，若3n，则132411231144(1)61()()2222nnnnnnnTbbbbbb235522nn，显然111Tb满足上式，因此当n为奇数时，235522nTnn，当5n时，22351(5)(4)(2)(5)0222nnTSnnnnnn，因此nnTS，所以当5n时，nnTS.10．（2023·全国·统考高考真题）设等差数列na的公差为d，且1d．令2nnnnba，记,nnST分别为数列,nnab的前n项和．(1)若2133333,21aaaST，求na的通项公式；(2)若nb为等差数列，且999999ST，求d．【答案】(1)3nan(2)5150d【分析】（1）根据等差数列的通项公式建立方程求解即可；（2）由{}nb为等差数列得出1ad或12ad，再由等差数列的性质可得50501ab，分类讨论即可得解