第33讲 空间直线、平面的平行（精讲）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第33讲空间直线、平面的平行（精讲）题型目录一览①线面平行Ⅰ—利用三角形中位线②线面平行Ⅱ—利用平行四边形③线面平行Ⅲ—利用线面平行的性质定理④线面平行Ⅳ—利用面面平行⑤面面平行的判定定理一、直线和平面平行1．定义直线与平面没有公共点，则称此直线l与平面平行，记作l∥2．判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言线∥线线∥面如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（简记为“线线平行线面平行11lllll∥∥面∥面线∥面如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面aa∥∥3．性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言一、知识点梳理线∥面线∥线如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行lllll∥∥二、两个平面平行1．定义没有公共点的两个平面叫作平行平面，用符号表示为：对于平面和，若，则∥2．判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言判定定理线∥面面∥面如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（简记为“线面平行面面平行,,ababPab∥，∥∥线面面∥面如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行ll∥3．性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言面//面线//面如果两个平面平行，那么在一个平面中的所有直线都平行于另外一个平面////aa性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行线面平行”）////.aabb面//面线面如果两个平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线//ll【常用结论】1.证明直线与平面平行的常用方法：①利用定义，证明直线a与平面没有公共点，一般结合反证法证明；②利用线面平行的判定定理，即线线平行线面平行．辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段；③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行；2.证明面面平行的常用方法：①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；②利用面面平行的判定定理；③利用两个平面垂直于同一条直线；④证明两个平面同时平行于第三个平面．3.证明线线平行的常用方法：①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理；题型一线面平行Ⅰ—利用三角形中位线策略方法1.可以拿一把直尺放在PB位置（与PB平齐），如图一；2.然后把直尺平行往平面ACE方向移动，直到直尺第一次落在平面ACE内停止，如图二；二、题型分类精讲3.此时刚好经过点E（这里熟练后可以直接凭数感直接找到点E），此时直尺所在的位置就是我们要找的平行线，直尺与AC相交于点F，连接EF，如图三；4.此时PBEF、长度有长有短，连接PBEF、并延长刚好交于一点D，刚好构成A型模型（E为PD中点，则F也为BD中点，若E为等分点，则F也为BD对应等分点），PBEF∥，如图四．图一图二图三图四【典例1】如图，PD垂直于梯形ABCD所在平面，90ADCBAD，F为PA的中点，2PD，112ABADCD，四边形PDCE为矩形.求证：//AC平面DEF；【题型训练】一、解答题1．（2023·全国·高三专题练习）在如图所示的三棱锥DABC中，已知E为AB的中点，F为AC的中点，G为CD的中点.证明：AD//平面EFG.2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，E为PC中点，证明：//PA1234012340BCADPPDACBEEFPDACBBCADPEFEFFBCADPE平面BDE3．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为正方形，E为PB的中点.证明：//PD平面EAC.4．（2023·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱111ABCABC-中，点D是棱BC的中点．求证：1AB∥平面1ACD.5．（2023·全国·高三专题练习）在多面体111ABCCAB中，四边形11BBCC是正方形，1A为1AB的中点，求证：直线//AC平面11ABC.题型二线面平行Ⅱ—利用平行四边形策略方法1.可以拿一把直尺放在EF位置，如图一；2.然后把直尺平行往平面PAB方向移动，直到直尺第一次落在平面PAB内停止，如图二；3.此时刚好经过点B（这里熟练后可以直接凭数感直接找到点B），此时直尺所在的位置就是我们要找的平行线，直尺与PA相交于点O，连接BO，如图三；4.此时PBEF、长度相等（感官上相等即可，若感觉有长有短则考虑法一A型的平行），连接OE，刚好构成平行四边形BFEO型模型（E为PD中点，O也为PA中点，OE为三角形PAD中位线），OBEF∥，如图四．图一图二图三图四【典例1】如图所示，长方体1111ABCDABCD中，M、N分别为AB、11AD的中点，判断MN与平面11ABC的位置关系，并证明你的结论．1234012340BCADPPDACBBCADPPDACBEFEFOEFOEFO【题型训练】一、解答题1．（2023·全国·高三专题练习）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，//AECF，2AECF，G为AE的中点.求证：//CG平面DEF.2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥PABCD中，,4//,2ADBCBCAD，点E为PA的中点．求证：//BE平面PCD.3．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，E、F分别是AB、PD的中点.求证：AF//平面PEC.4．（2023·全国·高三专题练习）在直三棱柱111ABCABC-中，E，F分别是AC，11AB的中点，求证：EF∥平面11BBCC.5．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是梯形，//ABCD，2ABCD，E为棱PB的中点.证明：//CE平面PAD.题型三线面平行Ⅲ—利用线面平行的性质定理策略方法如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行【典例1】如图，已知长方体1111ABCDABCD中，2ABAD，11AA.E为11AD的中点，平面1CBE交棱1DD于点F.求证：1//BCEF；【题型训练】一、解答题1．（2023·全国·高三专题练习）在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，BCAD∥，112BCCDAD，E为线段AD的中点，平面BEF与棱PD相交于点G.求证：BEFG∥.2．（2023·全国·高三专题练习）四棱锥SABCD中，底面ABCD为矩形，平面SAD与平面SBC的交线为l，求证：直线l平行于平面ABCD.3．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形.求证：AB平面EFGH.4．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥PABC中，点E是PC的中点，点F在PB上，平面AEF与平面ABC相交于直线l，BC∥l，证明：F是PB的中点．5．（2023·全国·高三专题练习）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于,AB的点，直线PC平面ABC，,EF分别是PA，PC的中点.记平面BEF与平面ABC的交线为l，求证：直线l//平面PAC6．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥EABCD中，底面ABCD为直角梯形，且224ABAEBEBCCD，点M在棱AE上，若直线//CE平面BDM，求:EMAM的值题型四线面平行Ⅳ—利用面面平行策略方法已知平面∥平面，则平面里的任意直线均与平面平行【典例1】如图，在长方体ABCDABCD中，E，M，N分别是,,BCAECD的中点，求证：//MN平面ADDA.【题型训练】一、解答题1．（2023·全国·高三专题练习）在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，BCAD∥，112BCCDAD，E为线段AD的中点，平面BEF与棱PD相交于点G.求证：BEFG∥.2．（2023·全国·高三专题练习）四棱锥SABCD中，底面ABCD为矩形，平面SAD与平面SBC的交线为l，求证：直线l平行于平面ABCD.3．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形.求证：AB平面EFGH.4．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥PABC中，点E是PC的中点，点F在PB上，平面AEF与平面ABC相交于直线l，BC∥l，证明：F是PB的中点．5．（2023·全国·高三专题练习）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于,AB的点，直线PC平面ABC，,EF分别是PA，PC的中点.记平面BEF与平面ABC的交线为l，求证：直线l//平面PAC6．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥EABCD中，底面ABCD为直角梯形，且224ABAEBEBCCD，点M在棱AE上，若直线//CE平面BDM，求:EMAM的值题型五面面平行的判定定理策略方法常用证明面面平行的方法是在一个平面内找到两条相交直线与另一个平面分别平行或找一条直线同时垂直于这两个平面．证明面面平行关键是找到两组相交直线分别平行．【典例1】如图所示，在三棱柱111ABCABC-中，E，F，G，H分别是AB，AC，11AB，11AC的中点．求证：平面1EFA∥平面BCHG．【题型训练】一、解答题1．（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体1111ABCDABCD中，E，F分别为棱11,DDCC的中点.求证：平面1//AEC平面BDF2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱111ABCABC中，E，F分别为线段1AC，11AC的中点．(1)求证：//EF平面11BCCB．(2)在线段1BC上是否存在一点G，使平面//EFG平面11?ABBA请说明理由．3．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥PABCD中，//ABCD，2ABCD，E为PB的中点．(1)求证：//CE平面PAD.(2)在线段AB上是否存在一点F，使得平面//PAD平面CEF？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由．4．（2023·全国·高三专题练习）在圆柱12OO中，等腰梯形ABCD为底面圆1O的内接四边形，且1ADDCBC，矩形ABFE是该圆柱的轴截面，CG为圆柱的一条母线．求证：平面1//OCG平面ADE．5．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，B为ACD所在平面外一点，M、N、G分别为ABC、ABD△、BCD△的重心．求证：平面//MNG平面ACD．6．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，已知1111-ABCDABCD是棱长为3的正方体，点E在1AA上，点F在1CC上，G在1BB上，且111AEFCBG，H是11BC的中点．(1)求证：1EBFD、、、四点共面(2)求证：平面1//AGH平面1BEDF．7．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，60BAD，AC与BD交于点O，OP底面ABCD，3OP，点E，F分别是棱PA，PB的中点，连接OE，OF，EF．(1)求证：平面//OEF平面PCD；(2)求三棱锥OPEF的体积．8．（2023·全国·高三专题练习）如图：在正方体1111ABCDABCD中，M为1DD的中点.(1)求证：1BD平面AMC；(2)在线段1CC上是否存在一点N，使得平面AMC平面1BND，说明理